高中数学高考 2021届高三大题优练4 立体几何（文） 教师版(1)

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     例1．如图，在三棱锥中，，，，D为棱AB上一点，，棱AC的中点E在平面PAB上的射影F在线段PD上．（1）证明：平面PDE；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）取的中点，如图：由，，所以，且，又，所以，，且，因为为的中点，所以，则，则，即，又E在平面PAB上的射影F在线段PD上，则平面，所以，由，平面PDE，所以平面PDE．（2）由（1）可知平面，所以，又，为的中点，所以，，平面，所以平面，又平面，所以，由，，所以，所以，由，所以，所以，由．例2．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，，是中点，是中点，是与的交点，点在线段上．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）连接，因为是中点，是中点，且几何体为三棱柱，所以，又因为平面，平面，所以平面；又且，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，且，，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．（2）由（1）知平面平面，所以点到平面的距离点到平面的距离，记点到平面的距离为，因为，所以，因为，且且侧棱底面，所以，所以，又，所以，所以，所以点到平面的距离为．例3．如图①，在等腰三角形中，，，，满足，．将沿直线折起到的位置，连接，，得到如图②所示的四棱锥，点满足．（1）证明：平面；（2）当时，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）如图，在棱上取点满足，连接，．∵，∴且．又，，可得且．∴且，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面．（2）如图，分别取，的中点，，连接，，，，由题意，知，，，．在中，．在中，∵，∴，∴．又∵，，，平面，∴平面．∵，∴三棱锥的体积．又∵，∴三棱锥的体积．例4．如图，已知三棱柱中，底面，，，，，，分别为棱，的中点．（1）求异面直线与所成角的大小；（2）若为线段的中点，试在图中作出过，，三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求该截面分三棱柱成两部分（较小部分与较大部分）的体积的比值．【答案】（1）；（2）作图见解析，．【解析】（1）连接，则为的中位线，故为所求异面直线所成的角．又，，且，故平面，．在中，，，故，故异面直线与所成角的大小为．（2）取中点，连接、、，则，即四点共面，则梯形为所求截面的多边形．连接，，，，，． 
1．如图，四边形是边长为的菱形且，平面平面，，，，．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）∵四边形是边长为的菱形，，又平面平面，且平面平面，平面，又平面，，又，，平面，平面．（2）因为，平面，平面，面且平面，所以，又，．2．如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，，，平面平面．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：因为平面平面，平面平面且，所以平面，又因为平面，所以，因为，，平面，平面，所以平面．（2）因为，平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，所以，取中点，连接，因为，，平面平面，所以平面，即棱锥的高为，又知，所以．3．已知四边形，，，．现将沿边折起，使得平面平面，．点在线段上，平面将三棱锥分成两部分，．（1）求证：平面；（2）若为的中点，求到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1），，即为等边三角形，由，知为中点，，取中点，连接，则，平面平面，平面平面，平面，面，，又，，平面，平面，，又，平面．（2）为的中点，的边长为，，由（1）知平面，又为的中点，到平面的距离为，连接．由（1）知：，，，，，∴，由（1）知，平面，面，，则，设到平面的距离为，由，得，即，到平面的距离为．4．如图，已知三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧面为菱形，为其两对角线的交点，，，，分别为，的中点，顶点在底面的射影为底面中心．（1）求证：平面，且平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】如图所示：取的中点，连接，，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，又平面，所以平面．因为侧面为菱形，，，所以，，则，，又，所以在中，，所以，因为，所以，又，且，所以平面．（2）由（1）知平面，所以是三棱锥的高，又，则，所以平行四边形是矩形，所以，则，则，所以．5．如图，已知点为正方形所在平面外一点，是边长为2的等边三角形，点是线段的中点，平面平面．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：连接，设，连接．∵底面是正方形，∴为的中点，又∵是线段的中点，∴是的中位线，∴，∵平面，平面，∴平面．（2）解：在正方形中，，又∵平面平面，且平面平面，∴平面．∵是等边三角形，且是线段的中点，∴，∴．6．如图所示的五面体中，四边形是正方形，平面平面，，．（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）取的中点，连接．因为，，所以是等边三角形，又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，所以．因为四边形是正方形，所以，，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）由（1）知平面．又，所以平面，因为平面，平面，可得平面，因为平面平面，平面，所以，又因为平面，平面，所以平面，所以，所以，所以三棱锥的体积为．7．在如图所示的空间几何体中，平面平面，与均是等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．（1）求证：平面；（2）求多面体的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】证明：（1）取中点，连接．由题意，为的平分线，且，．设点是点在平面上的射影，由已知得，点在上，连接，则平面．平面平面，平面平面，，平面，同理可得平面，又平面，．和平面所成的角为，即，，四边形为平行四边形，，平面．（2），，又面，，，，．