高中数学高考 2021届高三大题优练6 立体几何 教师版

这是一份高中数学高考 2021届高三大题优练6 立体几何 教师版，共17页。试卷主要包含了已知四边形，，，，如图，在三棱锥中，，，，如图，在四棱锥中，，，，等内容，欢迎下载使用。
     例1．已知四边形，，，．现将沿边折起，使得平面平面，．点在线段上，平面将三棱锥分成两部分，． （1）求证：平面；（2）若为的中点，求到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1），，即为等边三角形，由，知为中点，，取中点﹐连接，则，平面平面，平面平面，平面，面，，又，，平面，平面，，又，平面．（2）为的中点，的边长为，．由（1）知平面，又为的中点，到平面的距离为，连接，由（1）知：，，，，，∴，由（1）知，平面，面，，则，设到平面的距离为，由，得，即，到平面的距离为．例2．如图，四边形是边长为的正方形，，将三角形沿折起使平面平面．（1）若为上一点，且满足，求证：；（2）若二面角的余弦值为，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：因为面面，面面，面，，所以面，又面，所以，又，，所以面，又面，所以．（2）取中点，连接OP，因为，所以．又平面平面，所以平面．以为坐标原点，分别以方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则有，，，，可得，，，设为平面的一个法向量，则有，即，不妨令，则；设为平面的一个法向量，则有，即，不妨令，则，因为，可得，解得，所以．例3．如图，在三棱锥中，，，．（1）证明：；（2）有三个条件；①；②直线与平面所成的角为；③二面角的余弦值为．请你从中选择一个作为条件，求直线与平面所成的角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）选任何一个，结果均为．【解析】（1）取中点，连接，，则，又，，，所以，所以，所以，，，平面，所以平面，又平面，所以．（2）在上取点，使得，连接，，由于与是平面内相交直线，所以平面，以为轴建立空间直角坐标系，如图，，，因此，同理．选①，，则是等边三角形，，，则，，，，，，，设平面的一个法向量是，则，取，则，即，记直线与平面（即平面）所成的角为，则．选②，由平面，得是（即）与平面所成的角，所以，，以下同选①．选③，作，垂足为，连接，由平面，平面，所以，又，平面，而平面，所以，所以是二面角，即二面角的平面角，已知，则，，所以，以下同选①．  
1．在三棱柱中，平面平面，，，，点，分别为、的中点．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）由题意，为等边三角形且分别为的中点，∴面面，面，面面，∴面，而面，即，又∵，，即，∴，又，∴平面．（2）为中点，连接、，则为中位线，由（1）知：面，∴在中，，，则，∴，，而，若到平面的距离为h，∴，则，即到平面的距离为．2．如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，，，平面平面．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：因为平面平面，平面平面，且，所以平面，又因为平面，所以，因为，，平面，平面，所以平面．（2）如图，取中点，连接，，因为平面平面，为等腰直角三角形，所以平面．易知三条直线两两垂直，分别以为轴建立空间直角坐标系．则，，，，，，，，设平面的法向量为，则，所以，令，得，由（1）知平面，所以平面的法向量为，，由图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．3．如图①，在等腰三角形中，，，，满足，．将沿直线折起到的位置，连接，，得到如图②所示的四棱锥，点满足．（1）证明：平面；（2）当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）如图，在棱上取点满足，连接，．∵，∴且．由题意，知且，∴且，即四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面．（2）如图，分别取，的中点，，连接，，．由题意，知，，，．在中，．在中，，而，∴，又，，，平面，∴平面．以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，，．∴，，，．设平面的一个法向量为，由，得，令，得；设平面的一个法向量为，由，得，令，得，∴．∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．4．如图，在四棱锥中，，，，．（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）如图，取的中点，连接，，，∵，∴．∵，，，∴四边形为等腰梯形，且．∵，，∴，∴，∴．∵，平面，，∴平面，又平面，∴．（2）由（1）知平面，又平面，∴平面平面．∵平面平面，∴过点作于点，则平面，∴为直线与平面所成的角．在等边三角形中，易得．在中，，，∴．又，∴在中，，∴，即直线与平面所成角的正弦值为．5．如图所示的多面体中，平面，平面，，且，，，．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求证：平面；（3）求二面角的余弦值．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．【解析】（1）由平面，知为直线与平面所成角的平面角，∴，即可得．（2）在中，，即，∴，则，所以，又∵平面，平面，∴，又，∴面．（3）由（2），以为原点，分别以，，为，，轴正方向，建立如下图所示空间直角坐标系，在中，知，则，，，，，即，，，设面的一个法向量，，则，取，得；设面的一个法向量，，则，取，得，，又二面角为锐角，∴二面角的余弦值为．6．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，，，点是的中点．（1）求证：平面；（2）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值；不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，．【解析】（1）证明：连接，在中，因为，，，所以．因为点是的中点，所以．在中，，，，由余弦定理，有，所以，所以．在中，，，满足，所以，又，所以平面．（2）如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，设，，在中，，而，得，所以．平面的一个法向量为，直线与平面所成角为．因为，，，所以，因为，所以，得，所以或(舍)，所以．7．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，平面平面，为棱上一点．（1）在平面内能否作一条直线与平面垂直？若能，请画出直线并加以证明；若不能，请说明理由；（2）若时，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）过作，交棱于，为所求作的直线，因为平面平面，且，所以平面，又因为，所以平面．（如证明平面、或寻找上任意一点作平行线、垂线都可）（2）取中点，中点，连接，则平面，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．则可得，，，，则，．设平面的法向量为，易得，不妨取，因为，所以，所以，设与平面所成角为，则．所以与平面所成角的正弦值为．