高中数学高考 2020-2021学年下学期高三5月月考卷 文科数学（B卷）-教师版(1)

2020-2021学年下学期高三5月月考卷

文科数学（B）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由可得，可得，

所以集合，，

所以，故选C．

2．已知复数（为虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，

所以，故选D．

3．命题“若，则且”的否定是（    ）

A．若，则且 B．若，则且

C．若，则或 D．若，则或

【答案】D

【解析】因为“若p则q”的否定是“若p则非q”，

所以命题“若，则且”的否定是“若，则或”，

故选D．

4．某学校决定从该校的2000名高一学生中采用系统抽样（等距）的方法抽取50名学生进行体质分析，现将2000名学生从1至2000编号，已知样本中第一个编号为7，则抽取的第26个学生的编号为（    ）

A．997 B．1007 C．1047 D．1087

【答案】B

【解析】按照等距系统抽样的定义，2000名学生分50组，即40人一组，第1组1~40，第2组41~80，…，第50组1961~2000；

若第一个编号为7，则后面每组的编号都比前一组多40，可以求得第26个学生的编号为，

故选B．

5．已知函数在上为减函数，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由函数在上为减函数，

可得函数在上大于零，且为减函数，，

故有，解得，故选A．

6．已知双曲线右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，而，

所以是等边三角形，到直线的距离为，

又，渐近线方程取，即，

所以，化简得，故选B．

7．直线关于对称的直线方程为（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【解析】设直线上一点关于直线对称点的坐标为，

则，整理可得，，

即直线关于对称的直线方程为，故选A．

8．在数列中，且，则它的前项和（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，，，

因此，，故选A．

9．已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意，所以，①

同理得，

即．②

①×2＋②得，即，

所以，故选B．

10．已知函数，则下列说法中正确的是（    ）

A．的一条对称轴为 B．在上是单调递减函数

C．的对称中心为 D．的最大值为

【答案】B

【解析】对于A，，

不是的对称轴，A错误；

对于B，，当时，，

令，则其在上单调递增，

又在上单调递减，

由复合函数单调性知：在上单调递减，B正确；

对于C，

，

不是的对称中心，C错误；

对于D，，

，当时，，D错误，

故选B．

11．如图，菱形的边长为，，将其沿着对角线折叠至直二面角，连接，得到四面体，则此四面体的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】取的中点，连接、，

因为、都是边长为的等边三角形，且为的中点，

则，，

所以，二面角的平面角为，且，

设、分别为、的外心，

过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，

设，易知，同理可得，

，，，平面，

平面，，同理可得，

所以，四边形是边长为的正方形，

由正弦定理可得，，

因此，四面体的外接球的表面积为，故选D．

12．已知函数，则函数的零点个数是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【解析】因为，所以，

令，解得，所以在上单调递减，

令，解得或，所以在和上单调递增，函数图象如下所示：

当时，令，得或；

又时，；时，，，

所以使得，

要使，即或或，

即或或，

由函数图象易知，，与都有两个交点，

故或或各有两个零点，

故函数有6个零点，故选D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为，则的最小值为________．

【答案】

【解析】由题设知，可得，

∴，

当且仅当时等号成立，

故答案为．

14．宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中秦九韶､李冶､杨辉和朱世杰成就最为突出，被誉为“宋元数学四大家”．现从秦九韶的《数书九章》､李冶的《测圆海镜》《益古演段》､杨辉的《详解九章算法》､朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》这六部著作中任选2本研读，则必选《数书九章》的概率是___________．

【答案】

【解析】由题意知：必选《数书九章》的选法有种，

而所有可能的选法有种，

∴必选《数书九章》的概率为，故答案为．

15．若函数在区间内存在极大值，则的取值范围是___________．

【答案】

【解析】依题意得，由，得或．

或时，；时，，

所以0是的极大值点，2是的极小值点，

因函数在区间内存在极大值，

所以，即，

故答案为．

16．在平面直角坐标系中，若圆上存在两点、满足：，则实数的最大值是________．

【答案】

【解析】由题得，圆C的圆心为，在直线上，

当圆心距离x轴的距离越远，越小，

如图所示：当时，圆心C在x轴上方，若、为圆的切线且，此时a取得最大值，此时，有，即，解可得，

故答案为．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

（1）求A；

（2）若，求的面积的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由已知得，

，，

由余弦定理得，

，．

（2）由余弦定理得，即，

当且仅当时，等号成立，

，

∴面积最大值为．

18．（12分）如图，四棱锥的底面为正方形，所有棱长都是1，分别是棱的中点．

（1）求过三点的平面截棱锥所得截面的面积；

（2）设过三点的平面为，求点到平面的距离．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设过三点的平面为，

由已知得平面与平面有一个公共点，

则平面与平面有且只有一条过点的交线，

取中点，连接，

因为分别是棱的中点，连接，

得，，所以，

所以是平而与平而的唯一一条交线，

设平面与交于点，所以过三点的平面截棱锥所得截面为，

因为为正方形，所有棱长都是1，所以，

设交于点，则，且，

所以．

（2）设点到平面的距离为，

由（1）得，

又因为，所以，

即点到平面的距离为．

19．（12分）为进一步提升学生学习数学的热情，学校举行了数学学科知识竞赛．为了解学生对数学竞赛的喜爱程度是否与性别有关，现对高中部200名学生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表：

已知在这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢数学竞赛的概率为．

（1）将2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为喜欢数学竞赛与性别有关？

（2）从上述不喜欢数学竞赛的学生中男生抽取3人，女生抽取2人，再在这5人中抽取3人，调查其喜欢的活动类型，求抽取的3人中至少有一名女生的概率．

参考公式及数据：．

【答案】（1）填表见解析，没有90%的把握认为；（2）．

【解析】（1）在这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢数学竞赛的概率为，

喜欢数学竞赛的人数为（人），

不欢数学竞赛的人数为80人，

，

没有90%的把握认为喜欢数学竞赛与性别有关．

（2）记3名男生为，，，2名女生为，，

则5人中抽取3人的所有可能情况为，，，，，，，，，，共10种结果，

其中3人中至少有一名女生的9种，

所以所求概率．

20．（12分）已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过椭圆右焦点且不重合于轴的动直线与椭圆相交于、两点，探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，．

【解析】（1）由题意，椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，

以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切，

可得，解得，，，

所以椭圆的标准方程为．

（2）①当直线的斜率存在时，设直线方程为，

联立方程组，整理得，

由，且，，

假设轴上存在定点，使得为定值，

则

，

要使得为定值，则的值与无关，

所以，解得，

此时为定值，定点；

②当直线的斜率不存在时，，，，

则，，可得，

综上所述，在轴上存在定点，使得为定值．

21．（12分）已知函数．

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）若，求．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由题意知定义域为，，

得，，

所以在处的切线方程为．

（2）令，则，

，，

所以在上为增函数，

又因为．

①时，，，，

，使得，

当时，，此时函数单调递减，则，与题意不符；

②时，，，，，使得，

当时，，所以在上单调递增，

则，与题意不符；

③时，，

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，则，

综上所述，当时，．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系xOy中，曲线（为参数，），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）在直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线过点，分别与，交于A，B两点，求．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）曲线（为参数，），

转换为普通方程为．

曲线的极坐标方程为，根据，

整理得，

转换为直角坐标方程为．

（2）倾斜角为的直线过点，整理得，

由于直线与分别与，交于、两点，

所以，解得或（舍去），

，解得（舍去）或，

故．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数．

（1）当时，解不等式；

（2）若函数的最大值为2，求的最小值．

【答案】（1）；（2）最小值为．

【解析】（1）当时，，即，

两边平方得，即，解得，

故不等式的解集为．

（2）函数，

所以，即，

当且仅当时等号成立，即时，最大值为，

又因为函数的最大值为2，

，即，

，

当且仅当，即，取等号，

的最小值为．