高中数学高考 2020-2021学年下学期高三5月月考卷 文科数学（A卷）-学生版(1)

2020-2021学年下学期高三5月月考卷

文科数学（A）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设且，，则α是β成立的（    ）

A．充分非必要条件  B．必要非充分条件

C．充要条件  D．既非充分又非必要条件

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知数列为等差数列，首项，公差，前n项和，则（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

4．下列函数中，既是奇函数，又是减函数的是（    ）

A．   B．

C．  D．

5．设z1、z2为复数，下列命题一定成立的是（    ）

A．如果，那么

B．如果，那么

C．如果，a是正实数，那么

D．如果，a是正实数，那么

6．已知向量，且，则（    ）

A． B． C．1 D．

7．勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛（1829﹣1905）首先发现，所以以他的名字命名．其作法为：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形内部的概率为（    ）

A． B． C． D．

8．若直线被圆所截弦长最短，则（    ）

A．4 B．2 C． D．

9．定义在上的奇函数满足，且在上为增函数，若方程在区间上有四个不同的根，，，，则的值

为（    ）

A．8 B． C．0 D．

10．直线分别与及交于两点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

11．设点P在内且为的外心，，如图，若，，的面积分别为，x，y，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

12．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动．如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个点，，，满足，，则该“鞠”的表面积为（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．某口罩生产工厂为了了解口罩的质量，现利用随机数表对生产的50只口罩进行抽样检测，先将50个零件进行编号为01，02，03，…，50，从中抽取10个样本，下图提供随机数表的第2行到第4行，若从表中第3行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是__________．

32 21 18 34 29  78 64 54 07 32  52 42 06 44 38  12 23 43 56 77  35 78 90 56 42

84 42 15 53 31  34 57 86 01 36  25 30 07 32 86  23 45 78 89 07  23 68 96 08 04

32 56 78 08 43  67 89 53 55 77  34 89 94 83 75  22 53 55 78 32  45 77 89 23 45

14．将函数的图象向右平行移动个单位长度得到函数的图象，

若，则___________．

15．若x，y满足约束条件，则的最大值是_________．

16．设为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为__________．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）设为等差数列的前项和．已知，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

18．（12分）现代信息技术给我们的生活带来了革命性的变化，手机已成为人们生活中的必备品，但使用手机上网玩游戏已成为一个严重的社会问题，特别是在校学生过度玩手机，已严重影响了其身心和学业的发展，某校为了解学生使用手机的情况，随机调查了100名学生，对他们每天使用手机上网的时间进行了统计分析，得到如下的统计表：

（1）以样本估计总体，在该校中任取一名学生，则该生使用手机上网时间不低于1小时的概率约是多少？

（2）对样本中使用手机上网时间不低于小时的学生，采用分层抽样的方法抽取人，再在这人中随机抽取人，求抽取的人使用手机上网时间均低于小时的概率；

（3）进一步的统计分析发现，在使用手机上网低于1小时的学生中，综合素质考核为“优”的有人，在使用手机上网不低于1小时的学生中，综合素质考核为“优”的有人，问：能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为综合素质考核为“优”与使用手机上网时间有关？

附，，．

19．（12分）已知四边形是直角梯形，，，，，，分别为，的中点(如图1)，以为折痕把折起，使点到达点的位置且平面平面(如图2)．

（1）求证：；

（2）求点到平面的距离．

20．（12分）已知椭圆，离心率，且过点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线上有一点P，且与x轴交于Q点，过Q的直线l交椭圆C于A，B两点，交直线于M点，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

21．（12分）已知函数（其中为自然对数的底数），是函数的导函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）设，如果对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）．以坐标原点为极点，

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线与直线的普通方程；

（2）设直线与曲线相交于，两点，点，求的值．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数．

（1）若关于的方程有唯一实数解，求实数的值；

（2）对（1）中的值，若正实数，满足，试比较与大小，

并说明理由．

2020-2021学年下学期高三5月月考卷

文科数学（A）答案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】A

【解析】若“且”则“”成立；

当，时，满足，但且不成立，

故且”是“”的充分非必要条件，故选A．

2．【答案】D

【解析】，，

所以，故选D．

3．【答案】C

【解析】由题意及等差数列前n项和公式，知，

∴，故选C．

4．【答案】B

【解析】对于A，反比例函数为奇函数，在和都为减函数，

但在整个定义域内不是减函数，所以A不合题意；

对于B，因为，

所以（）为奇函数，

令，则，

所以在上为减函数，所以在上为减函数，所以B正确；

对于C，为奇函数，在为增函数，所以C不合题意；

对于D，因为，

所以为奇函数，

因为在上为增函数，所以在和都为减函数，

但在整个定义域内不是减函数，所以D不合题意，

故选B．

5．【答案】D

【解析】选项A，若，则有，但，故A不正确；

选项B，若，则有，但，故B不正确；

选项C，若为虚数，显然不可能有，故C不正确；

选项D，因为，则，若，即，

而，故D正确，

故选D．

6．【答案】A

【解析】由题意：，

，

又，所以，解得，

故选A．

7．【答案】B

【解析】如图，设，

以B为圆心的扇形的面积为，

∴的面积为，

∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形的面积，

即为，

故勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为，故选B．

8．【答案】C

【解析】直线过定点，

因这直线被圆所截弦长最短，

所以点为弦的中点，

故圆心与点连线与直线垂直，

则，解得，

故选C．

9．【答案】B

【解析】因为，所以，

所以，周期为8，

又因为是奇函数，在上为增函数，

作出函数的大致图象如图所示：

由图象可知在区间上的四个不同的根，，，，两个关于直线对称，两个关于直线对称，

所以，故选B．

10．【答案】B

【解析】解法一：设，，

则，，

即，

记，则，

当时，；当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

当时，，即的最小值为．

解法二：过向直线做垂线，垂足为，

，要使最小，则最小，即到直线的距离最小，

将直线平移至与曲线相切，切点即为所求点．

设切点为，由，可得，解得，

切点为，

，，，即最小值为．

故选B．

11．【答案】B

【解析】因为，所以，

设外接圆半径为r，所以，解得，

设，，则，

，，

故

，

当时，等号成立．

故选B．

12．【答案】B

【解析】由已知得，均为等边三角形．如图所示，

设球心为，的中心为，

取的中点，连接，，，，，，

则，，得平面，

且可求得，

而，所以．

在平面中过点作的垂线，与的延长线交于点，

由平面，得，

故平面，过点作于点，则四边形是矩形，

则，，

，．

设球的半径为，，

则由，，

得，，解得，，

故三棱锥外接球的表面积，故选B．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】

【解析】从表中第3行第4列开始向右读取数据，依次为

所以得到的第5个样本编号是，故答案为．

14．【答案】

【解析】将函数的图象向右平行移动个单位长度，

得到函数的图象，

因为，所以，

则

，

故答案为．

15．【答案】2

【解析】由题意作出可行域，如图所示：

由得点，

所以，当时，，

故答案为2．

16．【答案】

【解析】由抛物线的方程可得焦点，

由题意可知，显然直线存在斜率，

设直线的方程为，设，，

联立，整理可得，

，

由抛物线的性质可得，，

所以，

故答案为．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设等差数列的公差为，

由题意可知，解得，，

所以数列的通项公式为．

（2）由（1）知，当时，，所以；

当时，，所以，

故．

18．【答案】（1）；（2）；（3）在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为综合素质考核为“优”与使用手机上网时间有关．

【解析】（1）在样本中使用手机上网时间不低于1小时的频率为，以样本估计总体，在该校学生中取一人，其使用手机上网时间不低于1小时的概率约是．

（2）用手机上网时间不低于小时的学生共30人，使用分层抽样，

则上网时间在区间内的有3人，记；在区间内的有2人，记作A，B；在区间内的有1人，记作．

从这6人中抽取2人，基本事件为，，，，，，，，，，，，，，共15个，

其中抽取的人使用手机上网时间均低于小时的个，

故所求的概率为．

（3）统计结果列联表为

，

所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为综合素质考核为“优”与使用手机上网时间有关．

19．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：连接，

因为，为的中点，所以，

因为四边形是直角梯形，，所以是矩形，所以，

又，，所以，

所以四边形是正方形，是等腰直角三角形，

又为的中点，所以，

又，所以与都是等腰直角三角形，

所以，所以，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

又平面，所以．

（2）设的中点为，连接，

因为平面平面，所以点到的距离，

又，所以，

由（1）可知，，所以，

设点到平面的距离为，

由等体积法可得，所以，解得，

所以点到平面的距离为．

20．【答案】（1）；（2）只有当直线l与x轴重合时存在，此时．

【解析】（1）由题意得，解得，，

所以椭圆C方程为．

（2）①当直线l的斜率为零时，

根据椭圆的对称性，不妨设点，，则，

设点，则，，

有，所以；

②当直线l的斜率不为零时，设直线l的方程为，

，，，

联立，可得，

则，，

故，

易得，则，

假设存在实数，则，

即不是常数，无解，

综上，只有当直线l与x轴重合时，．

21．【答案】（1）递增区间为，递减区间为；（2）．

【解析】（1），

由，得，即；

由，得，即，

所以函数的递增区间为，递减区间为．

（2）由，

所以在上恒成立等价于恒成立，

即，

令，所以，

由（1）的结论知在上为增函数，

∴，．

①当，即时，恒成立，

所以在上为增函数，即，符合题意；

②当时，即时，恒成立，

所以在上为减函数，即，不符合题意；

③当时，存在，使，

当时，，即在上为减函数；

当时，，即在上为增函数，

所以，不合题意，

综上：实数的取值范围为．

22．【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）由曲线的参数方程为，（为参数），

消去曲线的参数方程中的参数，可得，

所以曲线的普通方程为，

由直线的极坐标方程为，化简得，

因为，，

代入可得直线的普通方程为．

（2）将直线的普通方程化为参数方程为（为参数），

代入曲线，整理可得，

而．

设，是方程的两个实数根，则，，

所以．

23．【答案】（1）；（2），答案见解析．

【解析】（1）①当时，，

函数在上单调递减，此时函数的值域为；

②当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，此时函数的值域为；

③当时，，函数在上单调递增，此时函数的值域为，

因此，为使关于的方程有唯一实数解，只需．

（2）与的大小关系为，

证明如下：由及，知，

，，

，

当且仅当，即，时等号成立，

．