高中数学高考 2020-2021学年下学期高三3月月考卷 文科数学（B卷）-教师版(1)

20-2021学年下学期高三3月月考卷

文科数学（B）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，集合中至少有2个元素，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为集合中至少有2个元素，所以，解得，故选D．

2．若，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】设，则在上单调递增，

因为，所以，即，可得，

所以由“”可以得出“”，

若，则，即，

因为在上单调递增，所以，

所以由可以得出，

所以若，，则“”是“”的充要条件，故选C．

3．棣莫弗公式（为虚数单位，）是由法国数学家棣莫弗（1667—1754）发现的．根据棣莫弗公式，在复平面内复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】由题意，

对应点坐标为，是第一象限角，正弦，余弦都为正数，

即对应点的横坐标和纵坐标均为正，点在第一象限，故选A．

4．若下面的程序框图输出的是30，则条件①可为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】循环前，，，

第1次判断并循环，，，第2次判断并循环，，，

第3次判断并循环，，，第4次判断并循环，，，

第5次判断不满足条件①并退出循环，输出，

条件①应该是或，故选B．

5．已知时，不等式恒成立，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，因为时，不等式恒成立，

可转化为关于的函数，

则对应任意恒成立，

则满足，解得或，

即的取值范围为，故选C．

6．已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心．

已知，则角A的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】取的中点D，则，

，∴，

又∵，

当且仅当时等号成立，∴，故选A．

7．已知正方体棱长为6，如图，有一球的球心是的中点，半径为2，平面截此球所得的截面面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵正方体的棱长为6，∴正方体对角线为，

所以球心到平面的距离，

由题得平面截此球所得的截面是圆，

又球半径，设截面圆半径为，则，∴，故选A．

8．关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，最著名的属普丰实验和查理实验，受其启发，我们可以设计一个算法框图来估计的值（如图），若电脑输出的的值为29，那么可以估计的值约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意知，100对之间的随机数满足，

满足且的点对应的平面区域（如图中阴影部分）的面积为，

因为共产生了100对内的随机数，

其中能使且的有对，

所以，解得，故选A．

9．设等差数列和的前项和分别为和，且，若，

则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意可得，，

则，解得，故选A．

10．对任意，用表示，中的较小者，记为．

若，，下列关于函数的说法错误的是（    ）

A．函数是偶函数 B．方程有三不等实数解

C．函数在区间单调递增 D．函数最大值为1，无最小值

【答案】C

【解析】的图象关于轴对称，所以函数是偶函数，故选项A正确；

图象与轴有三个交点，所以方程有三不等实数解，故选项B正确；

函数在区间单调递减，在区间单调递增，故选项C不正确；

当时，取得最大值，没有最小值，故选项D正确，

故选C．

11．设为坐标原点，，是椭圆（）的左、右焦点，若在椭圆上存在点满足，且，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为为的中点，故，

所以，

故，

故，

所以，

又，

故，故，故选A．

12．设函数在区间上单调，且

，当时，取到最大值2，若将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图象，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】函数的最大值为2，，

在区间上单调，所以，即，

，即，

，是函数的对称轴，

，是函数的对称中心，

，和是函数相邻的对称轴和对称中心，

，得，

当时，取到最大值2，，，

当时，，

，根据题意可知，

，

，，解得，．

的解集是，故选A．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则______．

【答案】

【解析】，所以，函数在区间上为增函数，

由已知条件可得，，

，解得，

故答案为．

14．邢台市物价部门对市区的天一城、北国商城、恒大城、家乐园、中北世纪城5家商场的某件商品在7月15号一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：

已知销售量与价格之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是，且，则其中的______．

【答案】10

【解析】依题意，，

代入回归直线方程得①，

根据题意②，

解①②组成的方程组得，故答案为．

15．已知点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】由直线，即，此时直线恒过点，

则直线的斜率，直线的斜率，

若直线与线段相交，则，即，

所以实数的取值范围是．

16．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】设，其中，则，

设．

①当时，对任意的恒成立，此时，函数在上单调递减，

当时，，

对于函数，该函数的对称轴为直线，

函数在上单调递增，当时，，

所以，当时，，不合乎题意；

②当时，令，可得，列表如下：

所以，．

（i）当时，即当时，，

则，不合乎题意；

（ii）当时，即当时，则，此时，即．

对于函数，，

所以，当时，，，则对任意的恒成立，

综上所述，实数的取值范围是，故答案为．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知数列的前项和为，且，．

（1），求证：数列是等比数列；

（2）设，求证：数列是等差数列．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】（1），，

两式相减，得，即，

，

，，

又由题设，得，即，，

∴是首项为3，公比为2的等比数列．

（2）由（1）得，，

，即，

∴数列是首项为，公差为的等差数列．

18．（12分）在三棱锥中，平面，，，点在棱上且是的外心，点是的内心，．

（1）求证：平面平面；

（2）求点到平面的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）延长交于点，

又是直角三角形的外心，∴，

即是的中点，，∴是正三角形，

又是的中心，∴是的中点，即．

∵平面，平面，∴．

∵，∴平面，且平面，

∴平面平面．

（2）法一：连接，，即求点到平面的距离．

∵，∴，

又平面，即，

∴．

在等边中，，有．

∴在中，，，，

有．

由（1）知：平面，由平面，知．

在中，，，有．

∴，

∴综上有．

法二：连接，，由，知，

∵平面，则，

∴．

在等边中，，有．（亦可使用正弦定理）

在中，，，，

有．

由（1）知平面，且平面，则．

在中，，，有，

所以，得．

19．（12分）某电器企业统计了近年的年利润额（千万元）与投入的年广告费用（十万元）的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令，，得到相关数据如表所示：

（1）从①；②；③，三个函数中选择一个作为年广告费用和年利润额的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；

（2）根据（1）中选择的回归类型，求出与的回归方程；

（3）预计要使年利润额突破亿，下一年应至少投入多少广告费用？（结果保留到万元）

参考数据：，．

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

【答案】（1）选择回归类型更好；（2）；（3）下一年应至少投入万元广告费用．

【解析】（1）由散点图知，年广告费用和年利润额的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，且与呈正相关．

所以选择回归类型更好．

（2）对两边取自然对数，得，

，，则，

由表中数据得，

所以，所以，

所以年广告费用和年利润额的回归方程为．

（3）由（2），知，令，得，得，

所以，所以（十万元）．

故下一年应至少投入万元广告费用．

20．（12分）已知平面内的两个定点，，，平面内的动点满足

．记的轨迹为曲线．

（1）请建立适当的平面直角坐标系，求的方程；

（2）过做直线交曲线于，两点，若点是线段的中点，点满足，求面积的最大值，并求出此时直线的方程．

【答案】（1）；（2），．

【解析】（1）以，的中点为原点，，所在直线为轴建立直角坐标系，

由椭圆定义可知的轨迹为为椭圆，，，，

即．

（2），设直线，，，

，代入得，

由于恒成立，则有，，

，

点到直线的距离，

则，

当且仅当：，即时取等号，

又由于，知，

所以面积的最大值为，

此时．

21．（12分）已知函数．

（1）判断的单调性；

（2）若方程有唯一实根，求证：．

【答案】（1）在上是减函数，在上是增函数；（2）证明见解析．

【解析】（1）因为，所以，则，

所以，函数在上是增函数，且，

所以，当时，；当时，，

所以在上是减函数，在上是增函数．

（2）设，则，

因为是增函数，又，，

所以存在唯一的，使得．

当时，，此时，函数单调递减；

当时，，此时，函数单调递增，

所以，．

方程有唯一实根，则，

且，即，消去得，

设，则，

所以，函数在上是减函数，

因为，，所以，即．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）当时，求出的普通方程，并说明该曲线的图形形状；

（2）当时，P是曲线上一点，Q是曲线上一点，求的最小值．

【答案】（1），是以，为端点的线段；（2）．

【解析】（1）当时，消t得，

是以，为端点的线段．

（2）当时，曲线的普通方程为椭圆，

由，，得曲线的普通方程为直线，

由，得，

，

可知直线与椭圆相离，则的最小值为P到直线的距离最小值，

则，

当时，有最小值．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），

∴或或，解得，

不等式的解集为．

（2）因为，

当时可取到等号，所以，

令，则为上的增函数，且，

所以，

故的取值范围为．