高中数学高考 2020-2021学年下学期高三5月月考卷 理科数学（B卷）-教师版(1)

2020-2021学年下学期高三5月月考卷

理科数学（B）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，

由于，，所以，故选B．

2．如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分不必要条件，那么丙是甲的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】∵甲是乙的充要条件，∴甲、乙等价；

又∵丙是乙的充分不必要条件，∴丙是甲的充分不必要条件，

故选A．

3．若复数满足：（为虚数单位），则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，所以，，故选D．

4．函数的图象可能是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】因为，所以的图象关于对称，

又，故选B．

5．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们研究过图1中的1，3，6，10，…，这样的数称为三角形数；类似地，图2中的1，4，9，16，…，这样的数称为正方形数；图3中的1，5，15，30，…，这样的数称为正五边形数．那么正五边形数的第2021项小石子数是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【解析】设正五边形数构成数列，则，，

且当时，，

于是，

故，故选A．

6．向量，满足，．若的最小值为，则（    ）

A．0 B．4 C．8 D．16

【答案】C

【解析】，所以，

，

由题意，解得，故选C．

7．一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其它正整数整除的数叫做素数．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过20的素数中，随机地取两个不同的数，其和等于20的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】在不超过20的素数2，3，5，7，11，13，17，19中，

随机地取两个不同的数，基本事件总数，

其和等于20包含的基本事件有，，

其和等于20的概率是，故选C．

8．在中，角的对边为，则“”成立的必要不充分条件为（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】B

【解析】时，ABC均成立，D不一定成立，

A．，因为是三角形内角，所以，A错误；

B．，则，，

或，即或，B正确；

C．，则，所以，，C错；

D．时，由正弦定理得，

即，，D错，

故选B．

9．圆内接四边形ABCD中，，，，，则面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】若，则，

∴在中，，

在中，，

∴，

则，

∴，而，故，

∴，故选B．

10．函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围

是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以，

函数在上有且仅有一个极值点，

在上只有一个变号零点．

令，得．

设在单调递减，在上单调递增，，

又，，得当，在上只有一个变号零点，

故选B．

11．已知定义在上的函数满足，且当时，，

则关于的不等式（其中）的解集为（    ）

A．  B．或

C．  D．或

【答案】A

【解析】任取，由已知得，即，

所以函数单调递减．

由可得，

即，

所以，即，

即，

又因为，所以，

此时原不等式解集为，故选A．

12．已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与双曲线的左､右支分别交于点，，且，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】过作于点，设，

因为直线的倾斜角为，所以在直角三角形中，，，

由双曲线的定义可得，所以，

同理可得，所以，即，

所以，因此，

在直角三角形中，，

所以，所以，则，

故选A．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．展开式中项的系数为________．

【答案】

【解析】的展开式的通项为，

令，解得，

所以的展开式中项为，

令，解得，

所以的展开式中项为，

所以展开式中项为，

所以展开式中项的系数为，

故答案为．

14．曲线及围成的平面区域如图所示，向正方形中随机投入一个质点，则质点落在阴影部分区域的概率为___________．

【答案】

【解析】由，得或，

所以阴影部分的面积为，

，

所以质点落在阴影部分区域的概率为，

故答案为．

15．已知函数，为奇函数，则下述四个

结论：

①；

②若在上存在零点，则的最小值为；

③在上单调递增；

④在有且仅有一个极大值点．

其中正确的是________．

【答案】③

【解析】，则，

则，

为奇函数，则，，

，，，①错误；

由可得，则，

即函数的零点为，且该函数零点绝对值的最小值为，

所以，的最小值为，②错误；

，当时，，此时函数单调递增，③正确；

对于函数，由，可得，

所以，函数在内无极大值点，④错误，

故答案为③．

16．设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是___________．

【答案】

【解析】当，函数在上单调递增，

且时，；时，，

所以不可能存在唯一的整数，使得，所以不符合题意；

当时，由于，所以，

令，，其定义域为，

则，令，即，解得．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以在处取极大值也是最大值，

又由、，当时，，

画出函数的大致图象，

又由函数的图象是恒过点的直线，

所以作出函数和的大致图象（如图），

过点的直线介于、之间时满足条件，

直线过点时，的值为2；

该直线过点时，的值为，

由图知的取值范围是，故答案为．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知数列的前项和为，且满足．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）因为①

当时，，得，

当时，②，①②两式相减得，

即，

所以数列是以2为公比，以2为首项的等比数列．

（2）由（1）知，即．

∵，

则．

18．（12分）如图①，在中，，，，为上一点，．

现将沿翻折至图②所示，使得平面平面．

（1）若点在上，满足．求证：平面；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）在平面内作，垂足为点，

由于平面平面，平面平面，平面，

所以平面．

又平面，所以．

由已知，，所以平面．

（2）平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

，，则，故，

所以，、、、、．

，，．

设平面、平面的法向量分别为、．

由，得，令，可取；

由，即，令，可取，

所以，，

由图知二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值为．

19．（12分）为了迎接十四运，提高智慧城市水平，西安公交公司近期推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表下所示：

根据以上数据，绘制了散点图．

（1）根据散点图判断，在推广期内，与（均为大于零的常数），哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；

（2）根据（1）的判断结果及表中的数据，建立与的回归方程，并预测活动推出第天使用扫码支付的人次；

（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表：

西安公交六公司车队为缓解周边居民出行压力，以万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为万元．已知该线路公交车票价为元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠．预计该车队每辆车每个月有万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，请你估计这批车辆需要几年（结果取整数年）才能盈利？

参考数据：

其中其中，，

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

【答案】（1）（均为大于零的常数）适宜；（2），活动推出第天使用扫码支付的人次为人；（3）需要年才能盈利．

【解析】（1）根据散点图判断，在推广期内，（均为大于零的常数），适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型．

（2）根据（1）的判断结果，两边取对数得，

其中，，，，，

，，

，．

当时，，

活动推出第天使用扫码支付的人次为人．

（3）设一名乘客一次乘车的费用为元，

由题意知：所有可能取值为，，，，

，，

，，

，

假设这批车需要年才能开始盈利，

则，解得，

需要年才能盈利．

20．（12分）已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，若，求实数的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）由题意得，

当时，在上，恒成立，所以在上单调递增；

当时，由，得；，得，

所以此时在上单调递减，在上单调递增，

综上所述：当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增．

（2）当时，取，

则，

而，显然不成立，故为正数．

当时，设，

则 ，

令，得；，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

若恒成立，即在上恒成立，

所以只需，即恒成立，也即，

当时，，所以成立．

当时，设，则，

当时，恒成立，所以在上单调递增，且，

所以此时由，即，故，

综上可得满足条件的的范围是．

21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C外一点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，记的斜率分别为，且．

①求P点轨迹方程；

②求证：的面积为定值．

（参考公式：过椭圆上一点的切线方程为）

【答案】（1）；（2）①；②证明见解析．

【解析】（1），

∴椭圆C的方程为．

（2）①设，过点P直线方程设为，

由，

消元得，

由直线与椭圆相切，

化简得，

∴，

∴点轨迹方程为．

②设，，则，，

因为过点，∴，

∴方程为，

由，

，

∴，，

∴，∴的面积为定值．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，直线的参数方程为(t为参数，为直线的倾斜角)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）写出曲线C的直角坐标方程；

（2）已知点，直线与曲线C交于两点，求证：．

【答案】（1）（）；（2）证明见解析．

【解析】（1）因为，故，即（）．

（2）由直线的参数方程可得在直线，

设，，

由及可得，

而为此方程的两个不同的解，

故，，所以异号，

又，

，

所以．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数，函数，．

（1）求不等式的解集；

（2）若函数的最小值为，且正实数，满足，求的最大值．

【答案】（1）；（2）2．

【解析】（1）不等式可化为，

当时，则原不等式可化为，解得，所以；

当时，则原不等式可化为，解得，所以无解；

当时，则原不等式可化为，解得或，

所以，

综上，原不等式的解集为或．

（2），

当时，不满足条件；

当时，，

此时的最小值为，则，解得；

当时，，

此时的最小值为，则，解得，舍去，

∴．

∵，

∴，∴的最大值为2，

当且仅当时，“”成立．