高中数学高考 2020-2021学年下学期高三3月月考卷 文科数学（A卷）-学生版(1)

20-2021学年下学期高三3月月考卷

文科数学（A）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集为，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．是的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

3．对任意实数，在以下命题中，正确的个数有（    ）

①若，则；②若，则；

③若，则；④若，则．

A． B． C． D．

4．中，点为上的点，且，若，则的值是（    ）

A．1 B． C． D．

5．已知，，则等于（    ）

A． B． C． D．

6．自然奇数列：1，3，5，…，按如下方式排成三角数阵，第行最后一个数为，则的最小值为（    ）

A． B． C．91 D．

7．已知四棱锥的顶点都在球O的球面上，底面是矩形，平面底面，为正三角形，，则球O的表面积为（    ）

A． B． C． D．

8．抛物线的焦点为．对于上一点，若的准线上只存在一个点，使得为等腰三角形，则点的横坐标为（    ）

A．2 B．4 C．5 D．6

9．假设2个分类变量X和Y的2×2列联表如下：

对于同一样本，以下数据能说明和有关系的可能性最大的一组是（    ）

A．， B．， C．， D．，

10．已知，若函数有4个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．已知，且，为虚数单位，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，当时，恒成立，则m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．总体由编号为00，01，，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从下列随机数表第1行的第9列开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第4个个体的编号为________．

14．如图，正四棱锥S­ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，

则这点取自正四棱锥内的概率为________．

15．在复平面内，等腰直角三角形以为斜边（其中为坐标原点），若对应的复数，则直角顶点对应的复数_____________．

16．已知是抛物线上一动点，是圆关于直线的对称的曲线上任意一点，则的最小值为__________．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知函数的最大值为，且的最小正周期为．

（1）若，求的最小值和最大值；

（2）设的内角、、的对应边分别为、、，为的中点，若，，，求的面积．

18．（12分）三棱柱中，平面平面，，，，为中点．

（1）证明；平面平面；

（2）若，求点到平面的距离．

19．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，的周长为8，为坐标原点．

（1）求椭圆的方程；

（2）求面积的最大值．

20．（12分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，，，，，进行分组，已知测试分数均为整数，现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据，则得到体育成绩的折线图如下：

（1）若体育成绩大于或等于70分的学生为“体育良好”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计该校高一年级学生“体育良好”的人数；

（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取3人，求所抽取的3名学生中，至少有1人为非“体育良好”的概率；

（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，，，且，，，当三人的体育成绩方差最小时，写出，，的一组值（不要求证明）．

注：，其中．

21．（12分）已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）对任意，求证：．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

直线的参数方程为，曲线C的极坐标方程，

（1）写出直线l的普通方程与曲线C直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C相交于两点A，B，若点，求的值．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数．

（1）当时，求的最小值；

（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

2020-2021学年下学期高三3月月考卷

文科数学（A）答案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】D

【解析】由，得，即，

故，

所以，故选D．

2．【答案】A

【解析】若，则，故充分性成立；

若，如，，则，故必要性不成立，

故是的充分不必要条件，故选A．

3．【答案】B

【解析】①因为，则，根据不等式性质得，故正确；

②当，时，，而，故错误；

③因为，所以，即，，故正确；

④当，时，，故错误，

故选B．

4．【答案】C

【解析】由可知，，

则有，

所以，，，，故选C．

5．【答案】C

【解析】，所以，

解得，故选C．

6．【答案】D

【解析】由题意知：

，

，

，

…，

，

累加得，则，

∴，

函数在上递减，在上递增，且．

当时，，

当时，，

比较可得：当时，取最小值为，故选D．

7．【答案】D

【解析】令所在圆的圆心为，则圆的半径，

因为平面底面，所以，

所以球的半径，所以球的表面积，故选D．

8．【答案】D

【解析】所以准线垂直时，由抛物线的定义可得，此时为等腰三角形，

作线段的垂直平分线交准线于点，则，

此时为等腰三角形，

因为若的准线上只存在一个点，使得为等腰三角形，

所以与重合，所以，所以，

所以为等边三角形，

，，

所以，

整理可得，解得或（舍），

所以则点的横坐标为，故选D．

9．【答案】B

【解析】的观测值，

根据2×2列联表和独立性检验的相关知识，当， 一定时，，相差越大，

与相差就越大，就越大，即和有关系的可能性越大，

选项B中与其它选项相比相差最大，故选B．

10．【答案】C

【解析】由题意有4个零点，即有4个零点．

设，则恒过点，所以函数与的图象有4个交点，

在同一直角坐标系下作出函数与的图象，如图．

由图象可知，当函数过点和时，

即时，此时函数与的图象恰有3个交点；

当时，函数与的图象至多有2个交点；

当时，若函数与的图象相切时，设切点为，则，

所以，所以，解得，

所以，此时函数与的图象恰有3个交点；

当时，两函数图象至多有两个交点．

所以若要使函数有4个零点，则，故选C．

11．【答案】B

【解析】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．

表示圆C上的点到的距离，

的最大值是，故选B．

12．【答案】D

【解析】由题意，若显然不是恒大于零，故．（由4个选项也是显然可得）

，则在上恒成立；

当时，等价于，

令，，在上单调递增．

因为，，所以，

即，

再设，令，

时，；时，，

在上单调递增，在上单调递减，

从而，所以，故选D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】58

【解析】由题意，从随机数表第1行的第9列数字0开始，从左到右依次选取两个数字的结果为00，18，00(舍去)，18(舍去)，38，58，

故选出来的第4个个体编号为58，故答案为58．

14．【答案】

【解析】设球的半径为R，

则所求的概率为，故答案为．

15．【答案】或

【解析】因为，所以，点的坐标为．

设点的坐标为，则．

由题意得，，

所以，解得或，

所以复数或，

故答案为或．

16．【答案】

【解析】圆的圆心，半径，

设圆心关于直线对称的点为，则，解得，

所以曲线的方程为，圆心为，

设，则，

又，，

，即，所以，

故答案为．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1），；（2）．

【解析】（1），为锐角，且．

所以，解得，

由题意可得，

因为为锐角，且，可得，

．

当时，，，．

（2），，即，

，，则，．

，，

所以，

，

即，即，

，解得，

因此，．

18．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）∵平面平面，且，

∴平面，

∵平面，∴，

连接，由，，可知是等边三角形，

∵为中点，∴，

∵．，，

∴平面，

而平面，故平面平面．

（2）等积法：设到平面的距离为，

，

其中，，

由（1）知：，与，，

故．

19．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设椭圆半焦距为，由题意可知，，

由离心率有，，

所以椭圆方程为，

（2）设直线，联立方程组，

消去，得，

设，，有，，

由，

所以的面积，

函数，令，

则，

因为，所以，，

所以在上单调递增，

因为，所以，当且仅当时取等号，

所以，所以面积的最大值为．

20．【答案】（1）750；（2）；（3）（或）．

【解析】（1）体育成绩大于或等于分的学生有人，人．

（2）记体育成绩在[60，70)的2名学生编号为1，2，体育成绩在[80，90)的3名学生编号为3，4，5，

从中任取3人，有123，124，125，134，135，145，234，235，245，345，共10种不同的情况，

每种情况都是等可能的，至少有1人为非“体育良好”，

即“至少有1人体育成绩在”，记作事件，

只有345是不含1、2的，∴有9种不同的情况，∴．

（3）（或）．

21．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．

【解析】（1）由题意得，的定义域为，，

当时，恒成立，∴在上单调递增；

当时，令，解得；令，解得，

∴在上单调递增，在上单调递减．

（2）要证，即证．

令，则．

令，则，

易得在上单调递增，且，，

∴存在唯一的实数，使得，

∴在上单调递减，在上单调递增．

∵，，

∴当时，；当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴，

综上，，即．

22．【答案】（1），；（2）．

【解析】（1），代入第二个方程得到，

所以方程为，

根据，代入曲线C的极坐标方程，得到．

（2）将直线l的参数方程化为代入曲线，

得，

设A、B两点在直线l中对应的参数为，则，，，

所以．

23．【答案】（1）最小值为；（2）．

【解析】（1）当时，，

由解析式可知，在和上单调递减，且在处连续，在上单调递增，

故在处取得最小值，且，所以的最小值为．

（2），，，

又，，，，

．

即在上恒成立，

令在上单调递减，，

，解得，

综上，的取值范围为．