高中数学高考 2020-2021学年下学期高三3月月考卷 理科数学（B卷）-教师版(1)

020-2021学年下学期高三3月月考卷

理科数学（B）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】或，

，

，故选B．

2．若纯虚数满足，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意得，

则，解得，故选D．

3．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（    ）

A． B． C． D．0

【答案】B

【解析】设第次循环后输出，，解得，

可知第505次循环后结束循环，此时，，故选B．

4．若实数、满足约束条件，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：

联立，解得，即点，

平移直线，当直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最大，

此时取最大值，即，故选D．

5．曲线在点P处的切线平行于直线，则点P坐标为（    ）

A． B．和 C．和 D．

【答案】B

【解析】设切点，

由函数，可得，

可得切线的斜率为，

因为曲线在点P处的切线平行于直线，

所以，解得，

当时，可得，此时；

当时，可得，此时，

故选B．

6．已知函数的部分图象如图所示，则关于函数下列说法正确的是（    ）

A．的图象关于直线对称

B．的图象关于点对称

C．在区间上是增函数

D．将的图象向右平移个单位长度可以得到的图象

【答案】C

【解析】将代入，则，

，，即，

，则，解得，

由图可得，即，

又，则可得，，

，

，则的图象不关于直线对称，故A错误；

，的图象不关于点对称，故B错误；

时，，可得单调递增，故C正确；

将的图象向右平移个单位长度可以得到，故D错误，

故选C．

7．已知、、均为单位向量，且满足，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由于、、均为单位向量，则，

由，可得，所以，，

即，所以，，

由，可得，

即，

解得．

所以，

，

故选B．

8．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（    ）

①若，则；②若，则使的最大的为15；③若，，则中最大；④若，则．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【解析】①若，则，

因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以，，

那么，故①不成立；

②若，则，

因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，

所以，，，，

则使的最大的为15，故②成立；

③，，则，

因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以中的最大项是，故③正确；

④若，则，但，不确定的正负，故④不正确，

故选B．

9．由数字、、、、、组成没有重复数字的四位数，定义个位数字比十位数字大、千位数字是偶数、百位数字为奇数的没有重复数字的四位数为“特征数”．从组成的所有没有重复数字的四位数中任取一个，则这个四位数是“特征数”的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由数字、、、、、组成没有重复数字的四位数，共有(个)，

第一步，考虑千位数字，情况有(种)，

第二步，考虑百位数字，情况有(种)，

第三步，同时考虑个位数字和十位数字，情况有(种)，

故共有(种)，

从所有没有重复数字的四位数中任取一个，则这个数是“特征数”的概率为，故选A．

10．设为等腰三角形，，，为边上的高，将沿翻折成，若四面体的外接球半径为，则线段的长度为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【解析】如图，

设等腰三角形的外心为，四面体的外接球的球心为，

连接，则平面，

由已知求得，又四面体的外接球半径为，

，即等腰三角形的外接圆的半径为，

又由已知可得，由正弦定理可得，

得，可得，则，故选C．

11．已知椭圆的左､右焦点分别为，(如图)，过的直线交于，两点，且轴，，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，，

将代入椭圆方程知，解得，即，

过点作轴，则，

又，，得，，

所以点的坐标为，即，

又点在椭圆上，，即，

又，，，即，故选D．

12．已知，函数，若时，恒成立，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，可得，

所以，

设，则上式等价于对于恒成立，

因为，所以在单调递增，

所以对于恒成立，即，

因为，所以对于恒成立，

令，则，

，

由，可得；由，可得，

所以在单调递增，在单调递减，

所以，可得，

所以实数的最小值为，故选D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．的展开式中的系数为_________．

【答案】

【解析】由二项展开式的性质和组合数的计算，可得的展开式中项为：

，

所以的展开式中的系数为，

故答案为．

14．定义在上的函数满足，当时，．若不等式对任意恒成立，则实数的最小值为________．

【答案】

【解析】由已知得，

由函数式可得，

所以不等式可化为，

得到．

因为是上的增函数，所以，

即对任意恒成立，

当时显然不满足对任意恒成立，

所以，即，故答案为．

15．________．

【答案】

【解析】由题意，可得，

故答案为．

16．将杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1、…记作数列，若数列的前n项和为，则_____________．

【答案】2114

【解析】使得每行的序数与该行的项数相等，则第行最后项在数列中的项数为，

设位于第行，则，解得，

且第11行最后一项在数列中的项数为．

位于杨辉三角数阵的第12行第3个．

而第一行各项和为，第二行各项和为，第三行各项的和为．

依此类推，第行各项的和为．

，

故答案为．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知函数．

（1）当时，求出函数的最大值，并写出对应的的值；

（2）的内角、、的对边分别为、、，若，，求的最小值．

【答案】（1）当时，函数取最大值；（2）最小值为．

【解析】（1）函数

，

，所以，，

当时，即当时，函数取最大值．

（2）由题意，化简得，

，，，解得．

在中，根据余弦定理，得．

由，知，即，

当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为．

18．（12分）如图，在直四棱柱中，上､下底面均为菱形，且，点M为的中点．

（1）求证：平面；

（2）若，求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）四边形为菱形，，为等边三角形，

又为中点，，

又，，

四棱柱为直四棱柱，平面，

又平面，，

平面，，平面．

（2）连接，交于点，以为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设平面的法向量，则，

令，则，，；

设平面的法向量，则，

令，则，，，

，

由图形知：二面角为锐二面角，二面角的余弦值为．

19．（12分）2020年11月24日我国使用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号月球探测器，12月17日嫦娥五号返回器携带月球样品在预定地区安全着陆，探月工程嫦娥五号任务取得圆满成功．某大学为此举行了与嫦娥系列探测工程有关的知识测试，测试满分为分，该校某专业的名大一学生参加了学校举行的测试，记录这名学生的分数，将数据分成组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图：

（1）估计这名学生测试分数的中位数；

（2）把分数不低于分的称为优秀，已知这名学生中男生有人，其中测试优秀的男生有人，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为测试优秀与性别有关：

附：

．

（3）对于样本中分数在，的人数，学校准备按比例从这组中抽取人，在从这人中随机抽取人参与学校有关的宣传活动，记这人分数不低于分的学生数为，求的分布列．

【答案】（1）；（2）列联表见解析，没有的把握认为测试优秀与性别有关；（3）分布列见解析．

【解析】（1）设这名学生测试分数的中位数为，

由前5组频率之和为，前6组频率之和为，可得，

所以，．

（2）列联表如下：

，

所以没有的把握认为测试优秀与性别有关．

（3）由题意可知，人中分数在内的共有人，分数不低于分的学生有人，

的取值依次为．

，，，

，

所以的分布列为

20．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合．

（1）求抛物线C的方程及其准线方程；

（2）记，若抛物线C上存在两点B，D，使为以P为顶点的等腰三角形，求直线的斜率的取值范围．

【答案】（1）抛物线C方程为，准线为；（2）．

【解析】（1）由椭圆方程可得其右焦点为，

抛物线与椭圆右焦点重合，，即，

故抛物线C的方程为，准线为．

（2）设直线的方程为，

联立直线与抛物线方程，可得，

则，可得，

设，，，，

设中点为，则，，

为以P为顶点的等腰三角形，则，

则，整理可得，

，则，解得或，

故直线的斜率的取值范围为．

21．（12分）已知函数，．

（1）求函数的极值；

（2）若在上有且只有一个零点，求实数的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）函数的定义域为，

当时，函数无极值；

当时，，

若，令，则；令，则，

所以函数在单调递增，在单调递减，

所以的极小值为，无极大值；

若，令，则；令，则，

所以函数在单调递增，在单调递减，

所以的极大值为，无极小值．

（2）令，，

当时，，所以在单调递增，

所以，所以，

由题可知：在上有且只有一个零点，

即在上有且只有一个根，

等价于在上有且只有一个根，

等价于函数与函数的图象在只有一个交点，

，

令，则，

，

当时，，所以在单调递增，

则，所以在单调递增，

则，所以在单调递增，

所以，所以．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

（2）直线与曲线交于两点，设点的坐标为，求的值．

【答案】（1）曲线，直线；（2）．

【解析】（1）曲线，直线．

（2）设(为参数)，

将的参数方程代入，得，

，

故，，

，

故．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若为的最小值，实数，，满足，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1），

当时，由，得；

当时，由，得；

当时，由，得，

综上知：不等式的解集为．

（2）由（1）知：，为减函数；

，为减函数；

，为增函数，

故在时取得最小值，故，则，

则

．