高中数学高考 2021届小题必练13 导数及其应用-教师版

1．根据导数几何意义求解函数切线问题．

2．根据导数正负求解函数单调性．

3．利用函数极值点求函数最值．

4．通过导数求出单调性和极值，分析函数图象讨论求解恒成立问题．

1．【2020全国Ⅰ卷文】曲线的一条切线的斜率为，则该切线的方程为       ．

【答案】

【解析】由题意可得，

设切点为，则，得，

∴，∴切点坐标为，

∴切线方程为，即．

【点睛】设出切点，根据导数几何意义求出切点坐标，由点斜式求出切线方程．

2．【2020全国Ⅲ卷文】设函数，若，则________．

【答案】

【解析】，，解得．

【点睛】求出，根据，求出．

一、单选题．

1．若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】显然，不是函数的零点，令，得，

构造函数，，则，

令，得到；令，得到且，

即函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，

所以函数有极小值，

画出函数的图象，如图所示，

由图像可知，

当时，直线与的图象不可能有两个交点；

当，只需，的图象与直线即有两个不同的交点，

即函数恰有两个不同的零点，

∴的取值范围为，故选B．

2．函数在区间上的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】对于函数，．

当时，；当时，．

所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．

所以，，故选C．

3．已知函数，则其单调增区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由，函数定义域为，

求导，令，得或（舍去），

所以单调增区间是，故选A．

4．函数是上的单调函数，则的范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】函数是上的单调函数，

即或(舍)在上恒成立，

，解得，故选D．

5．已知函数，若直线过点，且与曲线相切，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设切点坐标为，

，，直线的斜率为，

所以，直线的方程为，

将点的坐标代入直线的方程得，解得，

因此，直线的斜率为，故选B．

6．已知函数的图像与x轴切于点，则的极值为（    ）

A．极大值为，极小值为0 B．极大值为0，极小值为

C．极小值为，极大值为0 D．极小值为0，极大值为

【答案】A

【解析】由题意，函数，则，

因为函数的图像与轴切于点，

则，且，

联立方程组，解得，，

即，则，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

所以函数的极大值为，极小值为，故选A．

7．已知偶函数对于任意的满足（其中是函数的

导函数），则下列不等式中成立的是（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】D

【解析】试题分析：令，因，

故由题设可得，即函数在上单调递增且是偶函数．

又因，故，即，

所以，故应选D．

8．已知函数，，若恰有个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由恰有个零点，即方程恰有个实数根．

即函数的图像与的图像有三个交点，如图．

与函数的图像恒有一个交点，即函数与有两个交点．

设与函数相切于点，

由，所以，得，

所以切点为，此时，切线方程为，

将向下平移可得与恒有两个交点，

所以，故选D．

二、多选题．

9．关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．是的极大值点

B．函数有且只有个零点

C．存在正整数，使得恒成立

D．对任意两个正实数，，且，若，则

【答案】BD

【解析】对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数，

∴时，，函数单调递减；

时，，函数单调递增，

∴是的极小值点，故A错误；

对于B选项，，∴，

∴函数在上单调递减，

又∵，，

∴函数有且只有1个零点，故B正确；

对于C选项，若，可得，

令，则，

令，则，

∴在上，，函数单调递增；

上，，函数单调递减，

∴，∴，

∴在上函数单调递减，函数无最小值，

∴不存在正实数，使得成立，故C错误；

对于D选项，由，，可知，，

要证，即证，且，

由函数在是单调递增函数，

所以有，

由于，所以，

即证明，

令，

则，所以在是单调递减函数，

所以，即成立，

故成立，所以D正确，

综上，故正确的是BD，故选BD．

10．设函数，若方程有六个不等的实数根，则实数a

可取的值可能是（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】BC

【解析】当时，，则，

由，得，即，此时为减函数；

由，得，即，此时为增函数，

即当时，取得极小值，作出的图象如图：

由图象可知当时，有三个不同的x与对应，

设，方程有六个不等的实数根，

所以在内有两个不等的实根，

设，

即，，，

则实数a可取的值可能是，1，故选BC．

11．对于函数，下列说法正确的是（    ）

A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点

C． D．若在上恒成立，则

【答案】ACD

【解析】由题意，函数，可得，

令，即，解得，

当时，，函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递减，

所以当时，函数取得极大值，极大值为，所以A正确；

由当时，，

因为在上单调递增，所以函数在上只有一个零点，

当时，可得，所以函数在上没有零点，

综上可得函数在只有一个零点，所以B不正确；

由函数在上单调递减，可得，

由于，，

则，

因为，所以，即，

所以，所以C正确；

由在上恒成立，即在上恒成立，

设，则，

令，即，解得，

所以当时，，函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递减，

所以当时，函数取得最大值，最大值为，

所以，所以D正确，

故选ACD．

12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，在单调递增

B．当时，在处的切线为轴

C．当时，在存在唯一极小值点，且

D．对任意，在一定存在零点

【答案】AC

【解析】对于A，当时，，，

因为时，，，即，

所以在上单调递增，故A正确；

对于B，当时，，，

则，，

即切点为，切线斜率为，故切线方程为，故B错误；

对于C，当时，，，，

当时，，，则恒成立，

即在上单调递增，

又，，

因为，所以，

所以存在唯一，使得成立，

所以在上单调递减，在上单调递增，即在存在唯一极小值点，

由，

可得，

因为，所以，则，故C正确；

对于选项D，，，

令，得，

，，则，

令，得，则，

令，得，则，此时函数单调递减，

令，得，则，此时函数单调递增，

所以时，取得极小值，

极小值为，

在的极小值中，最小，

当时，单调递减，

所以函数的最小值为，

当时，即时，函数与无交点，

即在不存在零点，故D错误，

故选AC．

三、填空题．

13．已知三个函数，，．

若，，都有成立，求实数b的取值范围________．

【答案】

【解析】由题知，，

．

在上单调递增；在上单调递减，

易知在区间上的最大值为，

，，都有成立，

即在上的最大值大于等于在上的最大值，

即，即，解得，

故答案为．

14．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】当时，，显然恒成立，此时；

当时，等价于；

当，等价于．

构造函数，求导得，

当时，，此时函数单调递减，且，

只需，即可满足恒成立；

当时，，此时函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

所以在上的最小值为，

只需，即可满足恒成立．

综上，实数需满足，即，

故答案为．

15．已知函数恰有3个不同的零点，则的取值范围是_______．

【答案】

【解析】，，

由，得或，此时函数单调递增，

由，得，此时函数单调递减，

即当时，函数取得极大值，

即当时，函数取得极小值，

若函数恰有3个不同的零点，

则且，

则，则，

即的取值范围是，故答案为．

16．已知在内有且仅有一个零点，则______，

当时，函数的值域是，则______．

【答案】，

【解析】，，

令，可得，

在内有且仅有一个零点，则必有，

且极小，则，

此时在，，，

又，，，，

故的值域是，即，，

所以．