高中数学高考 2021届小题必练16 导数及其应用（理）-教师版

函数是高中数学内容的主干知识，是高考考查的重点．高考中主要考查函数的概念与表示，函数的奇偶性、单调性、极大（小）值、最大（小）值和周期性；考查幂函数、对数函数的图像和性质以及函数的应用；考查导数的概念、导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，重点考查利用导数的方法研究函数的单调性、极大（小）值、最大（小）值，研究方程不等式．

对函数和导数的考查侧重于理解和应用，试题有一定的综合性，并与数学思想方法紧密结合，对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等都进行深入的考查，题型能力立意的命题原则．

1．【2020全国高考真题（理）】函数的图像在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，，，

因此，所求切线的方程为，即，

故选B．

【点睛】本题考查利用导数求解函数图象的切线方程，考查计算能力．

2．【2019天津高考真题（理）】已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵，即，

①当时，；

②当时，，

故当时，在上恒成立，

若在上恒成立，即在上恒成立，

令，则，

当，函数单增；当，函数单减，

故，所以．

当时，在上恒成立，

综上可知，的取值范围是，故选C．

【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．

一、选择题．

1．函数的图象在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由，得，

所以，，

所以切线方程为，故选A．

2．曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】的导数为，

可得曲线在点处的切线斜率为，

所以曲线在点处的切线方程为，

即，故选A．

3．设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的

取值范围是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】，

，，，

，．

点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，，

，，故选B．

4．记函数的导函数为，则函数在内的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，，

，

令，解得，

在内的递增区间为，故选C．

5．已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数的取值范围是（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】B

【解析】由于，

则，故函数为奇函数．

故原不等式，可转化为，即；

又，由于，故，

所以恒成立，

故函数单调递增，则由，可得，即，

解得，

故选B．

6．已知实数，满足，则对任意的正实数，的最小值

为（    ）

A． B．8 C． D．18

【答案】B

【解析】由题意可知，该问题可转化为求圆上任意一点，

到曲线上任意一点的距离的最小值的平方，

不妨设圆为圆，其圆心为，半径为，

因为圆外任意一点到圆上一点的距离的最小值为该点到圆心的距离减去半径，

所以只需求曲线上到圆心距离最小的点为，

则点满足曲线在点处的切线与直线垂直，

因为点在曲线上，所以，

令，则，则，

即曲线在点处的切线的斜率为，

又因为，，

所以直线的斜率为，所以，

即，解得，

所以点坐标为，

又因为，所以，

所以圆上任意一点到曲线上任意一点的距离的最小值的平方为

，

所以的最小值为8，故选B．

7．已知函数，若不等式对于任意的非负实数都成立，求实数

的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】不等式对于任意的非负实数都成立，

即对于任意的非负实数都成立，

令，，

因为，所以在上递减，

所以，

所以问题转化为恒成立，

令，则，由，可得；，可得．

所以在上递增，在上递减，

所以，所以，故选C．

8．已知函数，若，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，

当时，，单调递减，不存在，使得；

当时，，单调递增，不存在，使得，

，

令，，则，，，

设，则，

令，解得，

当时，；当时，，

则在上单调递增，在上单调递减，

，

本题正确选项C．

9．已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围

是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【解析】，且，

所以函数为单调递减的奇函数，因此，

即，选A．

10．已知函数，方程恰有两个不同的实数根、，

则的最小值与最大值的和（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】作出函数的图象如下图所示：

由图象可知，当时，直线与函数的图象有两个交点、，

，则，可得，则，

构造函数，其中，则．

当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增，

所以，，

，，显然，．

因此，的最大值和最小值之和为，

故选C．

11．设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，

∵，即，即，故是奇函数，

由于函数在上存在导函数，所以，函数在上连续，则函数在上连续．

∵在上有，∴，

故在单调递增，

又∵是奇函数，且在上连续，∴在上单调递增，

∵，

∴，

即，∴，故，

故选B．

12．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】A

【解析】作与图象如下：

由整理得，

当直线与圆相切时，

则，解得，对应图中分界线①；

再考虑直线与曲线相切，设切点坐标为，

对函数求导，得，则所求切线的斜率为，

所求切线的方程为，直线过定点，

将点的坐标代入切线方程得，解得，

所以，切点坐标为，，对应图中分界线③；

当直线过点时，则有，解得，对应图中分界线②，

由于函数有三个零点，

由图象可知，实数的取值为，故选A．

二、填空题．

13．（2020·广西柳州·高三二模（理））设曲线在点处的切线方程为，则_________．

【答案】

【解析】设，

因为，根据导数的几何意义可知，，

所以，解得，

故答案为．

14．（2020·江苏鼓楼·南京师大附中高三月考）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是_________．

【答案】

【解析】，．

在时有两个根，

令，，

当时，；当时，，

在单调递增，在单调递减，且，

当时，；当时，，

与要有两个交点，

，

故答案为．

15．若函数在区间内存在单调减区间，则实数a的取值范围

为_______．

【答案】

【解析】，

因为在上存在单调区间，故在有部分图象在轴下方．

若，即时，则，即，故；

若，即时，则，即，无解；

若，则，即，，

故，

故答案为．

16．函数满足，当时，，若有个不同的实数解，则实数的取值范围是_________．

【答案】

【解析】当时，，．

当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增，

所以，函数在处取得极小值，

又，则函数的图象关于直线对称，

令，作出函数的图象如下图所示：

由于关于的方程有个不同的实数解，

则关于的二次方程有两个大于的实数根，

由二次方程根的分布可得，解得，

综上所述，实数的取值范围是，

故答案为．