高中数学高考 2021届小题必练2 复数-教师版

1．复数的概念

①通过方程的解，认识复数．

②理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．

2．复数的运算

掌握复数代数表示的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．

3．*复数的三角表示

通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数形式与三角表示之间的关系，了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．

1．【2020全国山东卷】（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】．

【点睛】复数代数形式的四则运算，是高考的常规考查，也是高考的重点，一般都是很基础的题目．

2．【2020浙江卷】已知，若（是虚数单位）是实数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为是实数，则虚部为，所以，即，故选C．

【点睛】复数的基本概念，是高考的常规考查．

一、单选题．

1．“”是“复数为纯虚数”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】当时，，则为纯虚数，

可知“”是“复数为纯虚数”的充分条件；

当为纯虚数时，，解得，

可知“”是“复数为纯虚数”的必要条件，

综上所述，“”是“复数为纯虚数”的充要条件．

2．已知，，下列选项中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为复数不能比较大小，所以A，B不正确，

又，，所以，

故C不正确，D正确，

故选D．

3．已知，复数z的实部为，虚部为，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由已知，得，由，得，所以，

所以．故选C．

4．设复数，，则以下结论中正确的是（    ）

A．复数对应的点在第一象限 B．复数一定不是纯虚数

C．复数对应的点在实轴上方 D．复数一定是实数

【答案】C

【解析】因为的，所以方程有两根，

所以的值可正可负，也可以为0，所以A、B不正确；

又，所以D不正确，C正确，

故选C．

5．已知为虚数单位，则复数的实部与虚部分别为（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】A

【解析】因为，所以的实部与虚部分别为，，故选A．

6．已知为复数的共轭复数，为虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【解析】由题设可得，则，

其对应的点为，位于第二象限，故选B．

7．已知复数，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ）

A．  B．的虚部为

C．对应的点位于复平面的第三象限 D．

【答案】D

【解析】复数，故，

复数的虚部为，对应的点位于第二象限，，故选D．

8．复数的三角形式是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】

，

故选B．

二、多选题．

9．设，其中，则以下结论不正确的是（    ）

A．对应的点在第一象限 B．一定不为纯虚数

C．对应的点在实轴的下方 D．一定为实数

【答案】ABD

【解析】，不可能为实数，所以D错误；

对应的点在实轴的上方，

又与对应的点关于实轴对称，对应的点在实轴的下方，所以C正确；

当，，对应的点在第二象限，所以A错误；

当，，可能为纯虚数，所以B错误．

10．关于复数，下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则 B．为实数的充要条件是

C．若是纯虚数，则 D．若，则

【答案】ABC

【解析】因为，可得，即，所以A是正确的；

若复数为实数，可得，反之，当时，复数为实数，所以B是正确的；

，若是纯虚数，则且，所以C正确；

由，即，所以，，所以，所以不正确．

11．已知复数，所对应的向量为，则有关下列说法正确的是（    ）

A．的代数形式为

B．的一个辐角为

C．的模为

D．向量绕点逆时针旋转得到的复数为

【答案】ABD

【解析】，A正确；

辐角为，B正确；

，C错；

向量绕点逆时针旋转得到的复数为，D正确．

12．已知，和都是实数，若复数在复平面上对应的点在第四象限，则实数可取

的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】设，则，

，

∵和都是实数，∴，解得，

知，

∴，

∵在复平面上对应的点在第四象限，

∴，即，∴，

∴，

即实数的取值范围是．

三、填空题．

13．已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为       ．

【答案】

【解析】因为，所以，故，填．

14．已知为虚数单位，复数，则等于_____．

【答案】

【解析】因为，所以．

15．互为共轭复数，且，则_________．

【答案】

【解析】设，，则有，，

则，，

由，得，

由复数相等的意义有，解得，，

所以，故．

16．已知，，则       ，      ．

【答案】，

【解析】

，

．