高中数学高考 2021届小题必练16 导数及其应用（文）-教师版(1)

函数是高中数学内容的主干知识，是高考考查的重点．高考中主要考查函数的概念与表示，函数的奇偶性、单调性、极大（小）值、最大（小）值和周期性；考查幂函数、对数函数的图像和性质以及函数的应用；考查导数的概念、导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，重点考查利用导数的方法研究函数的单调性、极大（小）值、最大（小）值，研究方程不等式．

对函数和导数的考查侧重于理解和应用，试题有一定的综合性，并与数学思想方法紧密结合，对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等都进行深入的考查，题型能力立意的命题原则．

1．【2018全国高考真题（文）】设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，

所以，，

所以，，

所以曲线在点处的切线方程为，

化简可得，故选D．

【点睛】该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果．

2．【2019全国高考真题（文）】曲线在点处的切线方程为（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】C

【解析】当时，，即点在曲线上．

，，

则在点处的切线方程为，

即，故选C．

【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．

一、选择题．

1．函数的图象在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由，得，

所以，，

所以切线方程为，故选A．

2．若函数是定义在上的奇函数，则的图像在点处的切线方程为（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【解析】由题意得，所以，所以，

则，所以，

又，所以所求的切线方程为，

即，故选D．

3．记函数的导函数为，则函数在内的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，，

，

令，解得，

在内的递增区间为，故选C．

4．已知函数，若不等式对于任意的非负实数都成立，求实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】不等式对于任意的非负实数都成立，

即对于任意的非负实数都成立，

令，，

因为，所以在上递减，

所以，所以问题转化为恒成立，

令，则，

由，可得；，可得．

所以在上递增，在上递减．

所以，所以．

故选C．

5．已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数的取值范围是（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】B

【解析】由于，则，

故函数为奇函数．

故原不等式，可转化为，即；

又，由于，故，

所以恒成立，

故函数单调递增，则由，可得，即，

解得，故选B．

6．已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围

是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【解析】，且，

所以函数为单调递减的奇函数，因此，

即，选A．

7．设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，

∵，即，

即，故是奇函数，

由于函数在上存在导函数，所以，函数在上连续，

则函数在上连续．

∵在上有，∴，

故在单调递增，

又∵是奇函数，且在上连续，∴在上单调递增，

∵，

∴，

即，∴，故，

故选B．

8．已知函数，若对恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，

令，则，

令，解得；令，解得，

故在递减，在递增，

故，

令，解得；令，解得，

故在递减，在递增，

故，解得，

故选A．

9．已知，若关于x的方程有5个不同的实根，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，则方程为，

解得，且，，

当时，，则，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

可知在处取得极小值；

当时，，则，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

可知在处取得极大值，

如图作出函数的图象，

要使关于x的方程有5个不同的实根，

有，解得，故选B．

10．若实数满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，故可得，，

故点，可理解为函数，上的任意两点．

又，令，故可得，

即函数在处的切线与平行，

又切线方程为，

则函数在处的切线方程与直线之间的距离，

，

故的最小值即为，故选D．

11．定义在上的函数，恒有成立，且，对任意的，

则成立的充要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，得函数关于对称，

由得，

当时，，此时函数为增函数，

当时，，此时函数为减函数，

因为，

若时，函数在上为增函数，满足对任意的，，此时；

若，∵函数关于对称，则，

则，

由，得，此时，即；

即对任意的，，得；

反之也成立，

所以对任意的，则成立的充要条件为“”．

故选B．

12．若函数无极值点则实数a的取值范围是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】，，

由函数无极值点知，至多1个实数根，

，解得，

实数a的取值范围是，故选B．

二、填空题．

13．设曲线在点处的切线方程为，则__________．

【答案】

【解析】设，因为，

根据导数的几何意义可知，，

所以，解得．

故答案为．

14．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是_________．

【答案】

【解析】，．

在时有两个根，

令，，

当时，，当时，，

在单调递增，在单调递减，且，

当时，；当时，，

与要有两个交点，，

故答案为．

15．若函数在区间内存在单调减区间，则实数a的取值范围为_______．

【答案】

【解析】，

因为在上存在单调区间，故在有部分图象在轴下方．

若，即时，则，即，故；

若，即时，则，即，无解；

若，则，即，，

故，

故答案为．

16．已知函数，，若对于任意的，，都有成立，则实数的取值范围为_________．

【答案】

【解析】因为，所以，

令，解得或，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

又因为，，

所以函数在上的最大值为，

因为对于任意的，，都有成立，

所以对于任意的，都有成立，

所以对于任意的，都有恒成立，

所以对于任意的，都有恒成立，

所以对于任意的，都有恒成立，

所以，

令，则，

令，则（），

所以在上单调递减，

又因为，所以函数在上有，在上有，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以在上有最大值，

所以，

故答案为．