高中数学高考 2021届小题必练7 直线与圆-学生版
展开1.直线与方程.
①理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
②能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
③掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式).
2.斜截式与一次函数的关系.
①能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
②掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
3.圆与方程
①掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.
②能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.
4.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
5.空间直角坐标系
了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置;会推导空间两点间的距离公式.
1.【2020全国Ⅰ卷理科】已知,直线,为上的动点,
过点作的切线,,切点为,,当最小时,直线的方程为( )
A.B.C.D.
2.【2020全国 = 2 \* ROMAN II卷理科】若过点的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线的距离
为( )
A.B.C.D.
一、单选题.
1.已知圆,点是圆内一点,过点的圆的最短弦所在的直线为,
直线的方程为,那么( )
A.,且与圆相离B.,且与圆相切
C.,且与圆相交D.,且与圆相离
2.已知圆与直线相切,则圆与直线相交
所得弦长为( )
A.B.C.D.
3.若直线与圆相切,则直线与圆的
位置关系是( )
A.相交B.相切C.相离D.不确定
4.已知圆,直线,为任意实数,则直线
与圆的位置关系是( )
A.相切B.相交C.相离D.与的值有关
5.动圆与定圆相外切,且与直线相切,则动圆的圆心满足的方程
为( )
A.B.
C.D.
6.若直线与圆有两个不同的公共点,那么点与圆的位置关系是( )
A.点在圆外B.点在圆内C.点在圆上D.不能确定
7.已知圆与直线及都相切,圆心在直线上,则圆的方程为( )
A.B.
C.D.
8.已知圆,直线.若直线上存在点,以为圆心且半径为的圆与圆有公共点,则的取值范围( )
A.B.
C.D.
二、多选题.
9.已知圆方程为与直线,下列选项正确的是( )
A.直线与圆必相交B.直线与圆不一定相交
C.直线与圆相交且所截最短弦长为D.直线与圆可以相切
10.已知圆与圆的圆心不重合,
直线.下列说法正确的是( )
A.若两圆相交,则是两圆的公共弦所在直线
B.直线过线段的中点
C.过直线上一点(在两圆外)作两圆的切线,切点分别为,,则
D.直线与直线相互垂直
11.已知圆与直线相切于点,圆被轴所截得的弦长为,则下列结论正确的
是( )
A.圆的圆心在定直线上B.圆的面积的最大值为
C.圆的半径的最小值为D.满足条件的所有圆的半径之积为
12.已知直线过点与圆相切,则的方程( )
A.B.
C.D.
三、填空题.
13.圆与圆的公共弦所在的直线方程是 .
14.若圆和圆关于对称,圆与相切,则满足条件的直线有________条.
15.圆上的点关于直线的对称点仍在圆上,且圆与直线相交所得的弦长为,则圆的方程为 .
16.已知直线与圆无公共点,为圆的直径,若在直线上存在点
使得,则直线的斜率的取值范围是 .
答案与解析
1.【答案】D
【解析】解法一:∵为上的动点,设,
∵,即,
∴的圆心,半径为,
∴.
依题意可知在中,,
∴,
∴,
∴,当时,取得最小值.
此时过作的其中一条切线为,
设的方程为,则,
又∵,∴,
∴直线的方程为,化简得.
解法二:,
因为,
所以最小,即最小,此时与直线垂直,
,
直线与直线的交点,
过直线外一点作的切线所得切点弦所在直线方程为,
所以选D.
【点睛】考查直线和圆的位置关系、最值问题.
2.【答案】B
【解析】设圆心为,则半径为,圆过点,
则,解得或,
所以圆心坐标为或,圆心到直线的距离都是.
【点睛】考查直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式.
一、单选题.
1.【答案】A
【解析】∵点在圆内部,∴,
由题意知,当时,过点的弦最短,此时,
而的斜率,∴,
又∵圆心到直线的距离,∴与圆相离,故选A.
2.【答案】D
【解析】圆心到直线的距离为,
解得或,
因为,所以,所以圆,
圆心到直线的距离为,
所以圆与直线相交所得弦长为,故选D.
3.【答案】A
【解析】圆的方程可化为,故圆心为,半径.
由于直线和圆相切,所以,
结合,解得,
所以直线的方程为,即.
圆的圆心为,半径为,到直线的距离为,
所以直线与圆相交,故选A.
4.【答案】B
【解析】将直线的方程整理为,
由,得,所以直线过定点,
因为,所以点在圆内部,所以直线和圆恒有个交点,
即直线和圆相交,故选B.
5.【答案】B
【解析】设点坐标为,,动圆的半径为,
则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得,,,
即,化简得,
∴动圆圆心轨迹方程为,故选B.
6.【答案】A
【解析】因为直线与圆有两个公共点,
所以有,即,
因为点与的圆心的距离为,圆的半径为,
所以点在圆外,故选A.
7.【答案】B
【解析】圆心在上,圆心的纵橫坐标值相反,显然能排除C、D;
验证:中圆心到两直线的距离是,
圆心到直线的距离是,故A错误,故选B.
8.【答案】C
【解析】直线上存在点,以为圆心且半径为的圆与圆有公共点,
则,只需,
即圆的圆心到直线的距离,
,,或,故选C.
二、多选题.
9.【答案】AC
【解析】由题意,圆的圆心,半径,
直线变形得,得直线过定点,
∵,
∴直线与圆必相交,故A对,B、D错;
由平面几何知识可知,当直线与过定点和圆心的直线垂直时,弦长有最小值,
此时弦长为,故C对,
故选AC.
10.【答案】ACD
【解析】联立两圆方程得,
整理得,为两圆的公共弦所在直线,故A正确;
设圆的半径为,圆的半径为,,,
线段的中点为,
则,
,
所以当两圆半径相等时成立,故B错误;
设,则,
由切线长定理得,
,
所以,即,故C正确;
因为,,所以直线的斜率,
直线的斜率为,则,所以直线相互垂直,故D正确,
故选ACD.
11.【答案】ABD
【解析】∵圆与相切于,∴与垂直,
∴直线斜率为,则在直线,即上,A正确;
设,∴圆半径,
∴圆被轴截得的弦长为,解得或,
当时,圆面积最大,为,B正确;
当时,圆半径最小,为,C错误;
满足条件的所有半径之积为,D正确,
故选ABD.
12.【答案】AC
【解析】当斜率不存在时,成立;
当斜率存在时,设直线方程为,即,
圆心到直线的距离为,
因为直线与圆相切,所以,解得,
所以直线方程为,
综上:直线方程为或,故选AC.
三、填空题.
13.【答案】
【解析】∵,,∴,∴,
即所求直线方程为.
14.【答案】
【解析】圆,圆心为,半径,
圆心关于对称的点为,
故圆,
圆与圆相切,则或,
解得或或,
故答案为.
15.【答案】
【解析】设所求圆的圆心为,半径为,
∵点关于直线的对称点仍在这个圆上,
∴圆心在直线上,∴,①,且;②
又直线截圆所得的弦长为,
且圆心到直线的距离为,
根据垂径定理得,即③,
由方程①②③组成方程组,解得,
∴所求圆的方程为.
16.【答案】
【解析】∵直线与圆无公共点,
∴,即,∴,
由,可得,即,
故在直线上存在点,使得;
即在直线上存在点,使得.
∴圆心到直线的距离小于等于,∴,即,
综上:,故答案为.
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