新高考2021届高考数学小题必练7直线与圆

这是一份新高考2021届高考数学小题必练7直线与圆，共9页。试卷主要包含了直线与方程，斜截式与一次函数的关系，圆与方程，空间直角坐标系，已知圆，直线，已知圆与圆的圆心不重合，等内容，欢迎下载使用。

1．直线与方程．
①理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
②能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
③掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．
2．斜截式与一次函数的关系．
①能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
②掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
3．圆与方程
①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．
②能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．
4．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
5．空间直角坐标系
了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；会推导空间两点间的距离公式．
1．【2020全国Ⅰ卷理科】已知，直线，为上的动点，
过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解法一：∵为上的动点，设，
∵，即，
∴的圆心，半径为，
∴．
依题意可知在中，，
∴，
∴，
∴，当时，取得最小值．
此时过作的其中一条切线为，
设的方程为，则，
又∵，∴，
∴直线的方程为，化简得．
解法二：，
因为，
所以最小，即最小，此时与直线垂直，
，
直线与直线的交点，
过直线外一点作的切线所得切点弦所在直线方程为，
所以选D．
【点睛】考查直线和圆的位置关系、最值问题．
2．【2020全国II卷理科】若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离
为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设圆心为，则半径为，圆过点，
则，解得或，
所以圆心坐标为或，圆心到直线的距离都是．
【点睛】考查直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式．
一、单选题．
1．已知圆，点是圆内一点，过点的圆的最短弦所在的直线为，
直线的方程为，那么（）
A．，且与圆相离B．，且与圆相切
C．，且与圆相交D．，且与圆相离
【答案】A
【解析】∵点在圆内部，∴，
由题意知，当时，过点的弦最短，此时，
而的斜率，∴，
又∵圆心到直线的距离，∴与圆相离，故选A．
2．已知圆与直线相切，则圆与直线相交
所得弦长为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圆心到直线的距离为，
解得或，
因为，所以，所以圆，
圆心到直线的距离为，
所以圆与直线相交所得弦长为，故选D．
3．若直线与圆相切，则直线与圆的
位置关系是（）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【答案】A
【解析】圆的方程可化为，故圆心为，半径．
由于直线和圆相切，所以，
结合，解得，
所以直线的方程为，即．
圆的圆心为，半径为，到直线的距离为，
所以直线与圆相交，故选A．
4．已知圆，直线，为任意实数，则直线
与圆的位置关系是（）
A．相切B．相交C．相离D．与的值有关
【答案】B
【解析】将直线的方程整理为，
由，得，所以直线过定点，
因为，所以点在圆内部，所以直线和圆恒有个交点，
即直线和圆相交，故选B．
5．动圆与定圆相外切，且与直线相切，则动圆的圆心满足的方程
为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设点坐标为，，动圆的半径为，
则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，，，
即，化简得，
∴动圆圆心轨迹方程为，故选B．
6．若直线与圆有两个不同的公共点，那么点与圆的位置关系是（）
A．点在圆外B．点在圆内C．点在圆上D．不能确定
【答案】A
【解析】因为直线与圆有两个公共点，
所以有，即，
因为点与的圆心的距离为，圆的半径为，
所以点在圆外，故选A．
7．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】圆心在上，圆心的纵橫坐标值相反，显然能排除C、D；
验证：中圆心到两直线的距离是，
圆心到直线的距离是，故A错误，故选B．
8．已知圆，直线．若直线上存在点，以为圆心且半径为的圆与圆有公共点，则的取值范围（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】直线上存在点，以为圆心且半径为的圆与圆有公共点，
则，只需，
即圆的圆心到直线的距离，
，，或，故选C．
二、多选题．
9．已知圆方程为与直线，下列选项正确的是（）
A．直线与圆必相交B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交且所截最短弦长为D．直线与圆可以相切
【答案】AC
【解析】由题意，圆的圆心，半径，
直线变形得，得直线过定点，
∵，
∴直线与圆必相交，故A对，B、D错；
由平面几何知识可知，当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，
此时弦长为，故C对，
故选AC．
10．已知圆与圆的圆心不重合，
直线．下列说法正确的是（）
A．若两圆相交，则是两圆的公共弦所在直线
B．直线过线段的中点
C．过直线上一点（在两圆外）作两圆的切线，切点分别为，，则
D．直线与直线相互垂直
【答案】ACD
【解析】联立两圆方程得，
整理得，为两圆的公共弦所在直线，故A正确；
设圆的半径为，圆的半径为，，，
线段的中点为，
则，
，
所以当两圆半径相等时成立，故B错误；
设，则，
由切线长定理得，
，
所以，即，故C正确；
因为，，所以直线的斜率，
直线的斜率为，则，所以直线相互垂直，故D正确，
故选ACD．
11．已知圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则下列结论正确的
是（）
A．圆的圆心在定直线上B．圆的面积的最大值为
C．圆的半径的最小值为D．满足条件的所有圆的半径之积为
【答案】ABD
【解析】∵圆与相切于，∴与垂直，
∴直线斜率为，则在直线，即上，A正确；
设，∴圆半径，
∴圆被轴截得的弦长为，解得或，
当时，圆面积最大，为，B正确；
当时，圆半径最小，为，C错误；
满足条件的所有半径之积为，D正确，
故选ABD．
12．已知直线过点与圆相切，则的方程（）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】当斜率不存在时，成立；
当斜率存在时，设直线方程为，即，
圆心到直线的距离为，
因为直线与圆相切，所以，解得，
所以直线方程为，
综上：直线方程为或，故选AC．
三、填空题．
13．圆与圆的公共弦所在的直线方程是．
【答案】
【解析】∵，，∴，∴，
即所求直线方程为．
14．若圆和圆关于对称，圆与相切，则满足条件的直线有________条．
【答案】
【解析】圆，圆心为，半径，
圆心关于对称的点为，
故圆，
圆与圆相切，则或，
解得或或，
故答案为．
15．圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆与直线相交所得的弦长为，则圆的方程为．
【答案】
【解析】设所求圆的圆心为，半径为，
∵点关于直线的对称点仍在这个圆上，
∴圆心在直线上，∴，①，且；②
又直线截圆所得的弦长为，
且圆心到直线的距离为，
根据垂径定理得，即③，
由方程①②③组成方程组，解得，
∴所求圆的方程为．
16．已知直线与圆无公共点，为圆的直径，若在直线上存在点
使得，则直线的斜率的取值范围是．
【答案】
【解析】∵直线与圆无公共点，
∴，即，∴，
由，可得，即，
故在直线上存在点，使得；
即在直线上存在点，使得．
∴圆心到直线的距离小于等于，∴，即，
综上：，故答案为．