高中数学高考 2021届高三大题优练9 圆锥曲线探索性问题 学生版

例1．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，且椭圆上存在点与点关于直线对称．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆只有一个公共点，点，是轴上关于原点对称的两点，且点，在直线上的射影分别为，，判断是否存在点，，使得为定值，若存在，求出，的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2），存在点，或，，使得为定值，该定值为2．

【解析】（1）因为点在椭圆上，所以．

由题意知，

因为点与点关于直线对称，所以点的坐标为，

代入椭圆的方程，得，即，所以，

与联立并求解，得，，

所以椭圆的标准方程为．

（2）存在点，，使得为定值．

当直线的斜率存在时，设其方程为，

将代入，得，

则，得．

设，则，点到直线的距离，

点到直线的距离，

所以，

当，即时，，为定值，

所以存在点，或，，使得；

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

，或，均满足．

综上，存在点，或，，

使得为定值，该定值为2．

例2．已知双曲线实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．

（1）求双曲线的方程；

（2）若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，．

【解析】（1）设双曲线的焦距为，

因为离心率为2，所以，，

联立，得，

所以点的坐标为，

因为，所以的面积为，所以，

双曲线的方程为．

（2）设，，直线的方程为，

直线的方程为，直线的方程为，

联立，所以点的横坐标为，

联立，得，

，，

所以

，

直线与直线的交点在直线上．

1．椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为．抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦点与交于，与交于．

（1）求椭圆及抛物线的方程；

（2）是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

2．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，当与轴垂直时，的周长为．

（1）求的方程：

（2）在轴上是否存在点，使得恒成立(为坐标原点)？若存在求出坐标，若不存在说明理由．

3．已知椭圆的离心率为，且过点．

（1）求C的方程；

（2）点M，N在C上，且，，D为垂足，问是否存在定点Q，使得为定值，

若存在，求出Q点；若不存在，请说明理由．

1．【答案】（1）椭圆，抛物线；（2）存在，．

【解析】（1）设椭圆焦点，

由题意得，解得，即椭圆焦点为，

所以抛物线的焦点为，所以，解得，

所以抛物线的方程为，

又椭圆得离心率为，所以，得．

又，得．

所以椭圆的方程为．

（2）由题意得，直线不与x轴平行，

设直线的方程为，并设，，，，

联立与，消去，整理得，

，，，

所以，

所以，

联立与，消去，整理得，

，，

所以，

得，

当，即时，为常数．

故存在，使为常数．

2．【答案】（1）；（2）存在，点坐标为．

【解析】（1）当与轴垂直时，，，

从而有，解得，

所以的方程为．

（2）设，，，

由题可知直线斜率不为零，设，

代入抛物线方程消去，得，

从而，，①

由，可得，

而，

将①代入，从而得恒成立，所以，

因此存在点满足题意，点坐标为．

3．【答案】（1）；（2）存在，答案见解析．

【解析】（1）由题意可得，解得，，

故椭圆方程为．

（2）设点，，

若直线斜率存在时，设直线的方程为，

代入椭圆方程，消去并整理得，

可得，，

因为，所以，即，

根据，，

代入整理可得，

所以，

整理化简得，

因为不在直线上，所以，

故，所以，

于是的方程为，

所以直线过定点；

当直线的斜率不存在时，可得，

由，得，

得，结合，可得，

解得或，当时与点的横坐标重合舍去，

此时直线过点．

令为的中点，即，

若与不重合，则由题设知是的斜边，

故；

若与重合，则，

故存在点，使得为定值．