高中数学高考 2021届高三大题优练8 圆锥曲线探究性问题（理） 教师版(1)

例1．已知椭圆的离心率，过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在第一象限，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）在轴上是否存在点，满足对于过点的任一直线与椭圆交于，两点，都有为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在点，满足为定值．

【解析】（1）由，及，得，

设椭圆方程为，联立方程组，得，

则，

所以，所以，

所以椭圆的方程为．

（2）①当直线不与轴重合时，设，

联立方程组，得．

设，，，则有，，

于是

，

若为定值，则有，得，，

此时；

②当直线与轴重合时，，，

也有，

综上，存在点，满足为定值．

1．已知椭圆，长轴为4，不过原点O且不平行于坐标轴的直线l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l过右焦点，问y轴上是否存在点D，使得三角形ABD为正三角形，若存在，求出点D；

若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）不存在这样的点D，理由见解析．

【解析】（1）由题意可知，所以，

设点，，A，B在椭圆上，

．．．．．．．．．．．．．．①

．．．．．．．．．．．．．．．②

因为，．．．．．．．．．．．．．．③

由①-②，得，即，

所以，

由③得，，

椭圆C方程为．

（2）设直线，联立，得，

，，

，

，

假设存在点D，则MD的直线方程为，

，

所以，

，

若为等边三角形，则，

即，方程无实数解，

不存在这样的点D．

2．设为坐标原点，抛物线与过点的直线相交于，两个点．

（1）求证：；

（2）试判断在轴上是否存在点，使得直线和直线关于轴对称．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，．

【解析】（1）由题意得，过点T的直线不与x轴平行，故设直线，

设，，

联立，消去得，

∴，，

∴，∴，

∴，即．

（2）假设存在这样的点，设，

由（1）知，，，

由和关于轴对称知，，

又

，

解得，

即存在这样的点．

3．已知椭圆的离心率为，为椭圆上一点，为椭圆上不同两点，为坐标原点，

（1）求椭圆的方程；

（2）线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点，使为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，．

【解析】（1）由，可设，，则，

方程化为，

又点在椭圆上，则，解得，

因此椭圆的方程为．

（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立直线和椭圆的方程，消去得，

化简得，

，

当时，取得最大值，即此时，

又，，

则，即，

令，则，

因此平面内存在两点，使得；

②当直线的斜率不存在时，设，则，

，即当取得最大值．

此时中点的坐标为，满足方程，

即．

4．如图，抛物线的焦点为，四边形为正方形，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于两点，交直线于点．

（1）若为线段的中点，求直线的斜率；

（2）若正方形的边长为，直线，，的斜率分别为，，，则是否存在实数，使得？若存在，求出；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，．

【解析】（1）如图所示，过，分别向作垂线，垂足为，，

设中点为，过向作垂线垂足为，

则，

又，，

在中，，∴直线的斜率为．

（2）正方形边长为，，抛物线方程为，，

设，，，

方程为，得，

，

由，得，

，

，，

，，

，

即存在常数，使得成立．

5．在平面直角坐标系中，已知点，点B在直线上，点M满足，，点M的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程；

（2）点P在曲线C上，且横坐标为2，问：是否在曲线C上存在D，E两点，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，说明的个数；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，1个．

【解析】（1）因为，

所以，

则，即M到A点的距离等于M到直线的距离，

故M是以A为焦点，以直线为准线的抛物线，其方程为．

（2）由已知得，

设，，直线的斜率为k，则直线的斜率为，

则，联立抛物线方程，消y可得，

则有，，

同理可得，，

由，可得，

整理得，即，

则有（1）或（2），

将后，（1）即为（2）所以分析（1）即可．

令，，

当或时，；当时，，

故极大值为，

极小值为，

故只有1个零点．

综上，有1个，是以P为直角顶点的等腰直角三角形．