高中数学高考 2021届高三大题优练7 圆锥曲线中的探究性问题（文） 教师版(1)

例1．椭圆与椭圆有共同的焦点，且椭圆的离心率，点分别为椭圆的左顶点和右焦点，直线过点且交椭圆于两点，设直线的斜率分别为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在直线，使得，若存在，求出直线方程；不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）存在直线，满足．

【解析】（1）由题意可知椭圆中，，

由离心率，可得，

又知，

所以椭圆的标准方程为．

（2）右焦点，右顶点，

假设存在直线，满足，

若直线斜率不存在时，，不合题意，舍去；

设直线的方程为，

联立方程，化简得，

由题意易知恒成立，

设直线与椭圆的两个交点为，，

则

，

所以，

即直线，化简得，

综上可知，存在直线，满足．

例2．已知椭圆，长轴为4，不过原点O且不平行于坐标轴的直线l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l过右焦点，问y轴上是否存在点D，使得三角形ABD为正三角形，若存在，求出点D；

若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）不存在这样的点D，理由见解析．

【解析】（1）由题意可知：，所以，

设点，，A，B在椭圆上，

．．．．．．．．．．．．．．①，   ．．．．．．．．．．．．．．．②

因为，．．．．．．．．．．．．．．③

由①-②，得，即，

所以，

由③得，，

椭圆C方程为．

（2）设直线，联立，得，

，，

，

，

假设存在点D，则MD的直线方程为，

，

所以，

，

若为等边三角形，则，

即，方程无实数解，

不存在这样的点D．

1．已知右焦点为的椭圆经过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）经过的直线与椭圆分别交于、（不与点重合），直线、分别与轴交于、，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，直线的方程为．

【解析】（1）因为椭圆经过点，

且该椭圆的右焦点为．

所以，解得，

因此，椭圆的标准方程为．

（2）存在直线，使得，理由如下：

若直线与轴垂直，则直线过点，不合乎题意，

由已知可设所在直线的方程为，

代入椭圆的方程，得，

，

设、，则，，

记直线、的斜率分别为、，

欲使直线满足，只需．

因为、、三点共线，所以，即．

即

，

由，即，可得．

所以存在直线，使得，

此时直线的方程为，即．

2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，，椭圆经过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设经过点的直线与椭圆交于，两点，试判断是否存在定点，使得

．若定点存在，求出该定点；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，定点为．

【解析】（1）∵，∴在中，，

∴，∴，∴，

∴椭圆方程可化为．

又椭圆经过点，∴，解得，

∴，

故椭圆的方程为．

（2）若直线的斜率存在，

∵直线经过定点，∴不妨设直线的方程为，，，

联立，消去整理得，

∴，，，

设定点为，

则，，

，

∴，解得，∴，

∴ 当斜率存在时，存在定点，使得；

若直线的斜率不存在时，不妨令交点，，点显然满足，

综上，存在定点，使得．

3．已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，椭圆上的点到点的距离之和等于4．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，满足？若存在，

求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在直线满足条件，其方程为．

【解析】（1）由题意得，所以，

故椭圆的标准方程为．

（2）若存在满足条件的直线，则直线的斜率存在，设其方程为，

代入椭圆的方程得．

设，两点的坐标分别为，，

所以，所以，

且，．

因为，即，

所以，即．

所以，解得．

又因为，所以．

所以存在直线满足条件，其方程为．

4．已知椭圆的离心率，并且经过定点．

（1）求椭圆E的方程；

（2）问是否存在直线，使直线与椭圆交于A，B两点，满足，若存在求m值；若不存在说明理由．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）将代入椭圆方程，可得，

又，，解得，，，

即有椭圆的方程为．

（2）设，，

由，

所以，，

，

由，

得，

解得，

又方程要有两个不等实根，，所以，

的值符合上面条件，所以．

5．已知椭圆的离心率是，是椭圆的左、右焦点，点为椭圆的右顶点，点为椭圆的上顶点，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线过右焦点且交椭圆于两点，点是直线上的任意一点，直线的斜率分别为，问是否存在常数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），则，

，即，

又，，

代入上式中得到，，，于是，，

故椭圆的方程为．

（2）由（1）知的坐标为．

设，，．

①当直线的斜率不为零时，设的方程为．

联立消去，得，

∴，，

∴

，

又∵，∴；

②当直线的斜率为零时，显然有，

∴仍成立，

综上知，存在，使得成立．