高中数学高考 2021届高三大题优练9 导数与零点有关的问题（理） 学生版(1)

例1．已知函数，．

（1）求函数的极值点；

（2）若关于的方程至少有两个不相等的实根，求的最大值．

【答案】（1）极大值点为，不存在极小值点；（2）最大值为．

【解析】（1）函数的定义域为，

．

令，得或(舍)．

当时，，∴单调递增；

当时，，∴单调递减，

则当时，函数取得极大值，

故函数的极大值点为，不存在极小值点．

（2）由可得，

∴．

设，则，

令，则，

令，可得或(舍)．

所以在上，，单调递减；

在上，，单调递增，

所以函数的最小值为．

又，所以当时，，

又当时，，

因此必存在唯一，使得，

当变化时，，，的变化情况如表：

当时，有极大值，

当时，有极小值．

又，，且当时，，

所以，可得时，直线与函数至少有两个交点，

所以的最大值为．

例2．已知函数，．

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）讨论函数的零点个数．

【答案】（1）；（2）答案不唯一，见解析．

【解析】（1）当时，，，，，

所以曲线在处的切线方程为．

（2）函数的定义域为，．

①当时，，无零点；

②当时，，

令，得；令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以有最大值．

当，即时，无零点；

当，即时，只有一个零点；

当，即时，，，

令，则，

则在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以，

因此当时，，．

因为，所以，于是．

又在上单调递增，，且，所以在上有唯一零点．

，

当时，，令，其中，则，

令，，则，

所以在上单调递增，，

所以在上单调递增，，

故当时，．

因为，所以，即，

所以．

由，得，即，得，于是．

又，，在上单调递减，所以在上有唯一零点．

故时，有两个零点；

③当时，由，得，则，

又当时，，所以，无零点．

综上可知，或时，无零点；

时，只有一个零点；

时，有两个零点．

例3．已知在有零点．

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1），．

①当时，在时恒成立，

在上递增，，不符合题意；

②当时，，

当时，；当时，，

在上递增，在上递减，

，当时，，满足题意；

③当时，在时恒成立，

在上递减，，不符合题意，

综上所述，的取值范围是．

（2）由（1）知，，

要证明，只要证明，

设，，

，

，即，

另一方面：要证明，只要证明，

即证明，

，即证，

设，，则，

所以当时，，即，

所以成立．

1．已知函数(为自然对数的底数)．

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）当时，函数有两个零点，求m的取值范围．

2．已知函数，其中．

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）求证：在区间上有唯一极小值点．

3．设，已知函数，．

（1）当时，证明：当时，；

（2）当时，证明：函数有唯一零点．

4．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围．

5．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）求证：当时，函数有且只有三个零点．(参考数据：，，)

6．已知函数（ …是自然对数的底数）．

（1）若在内有两个极值点，求实数a的取值范围；

（2）时，讨论关于x的方程的根的个数．

1．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）时，，且，

而，，

所求切线方程为，即．

（2）由，得，

设，，

依题意只需函数与直线在上有两个交点．

，当时，，则为增函数，

设与相切时的切点为，

而切线斜率，则切线方程为，

当切线过时，，即，

即，得或(舍)，

此时，切线斜率，其切线方程为，斜率，

又恒在直线上，当倾斜角变大时，由切线变成割线，满足有两个交点，

则斜率，故函数有两个零点，则．

2．【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）当时，，则，

∴，

又，∴所求切线方程为，即．

（2）由题意得．

令，则，

因为和均在上单调递增，

所以在上单调递增，

又，，

∴存在唯一实数，使得，

则当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

又，则，即，即，，

∴，，，

∴存在唯一实数，使得，

∴当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

∴在区间上有唯一极小值点．

3．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】，

令，

（1）证明：要证原不等式，只需证：当时，，

则对任意的恒成立．

所以，函数在上单调递增，因此，即原不等式成立．

（2）（i）由（1）可得当时，，

故函数在上没有零点；

（ii）当时，，

令，，

则递增，且，

，在上存在唯一零点，记为，

当，，此时，函数单调递减；

当时，，此时，函数单调递增，

，，，，

在上存在唯一零点，当时，．

故当，；当时，，

在上递增，在上递减，且．

令，当时，则，

函数在上递增，，，

取，且，则，

则有，

又，由零点存在定理可得，在上存在唯一的零点．

综上可证：函数在上有唯一零点．

4．【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）．

【解析】（1）因为，所以，且．

令，得；令，得，

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）由题意，，

因为函数有且只有一个零点，

所以方程有且只有一个实数根．

两边同时除以，得．

令，则，即，

设，则，

，

由题意，函数有且只有这一个零点．

令，．

（i）当，

即时，，，此时单调递增，符合题意；

（ii）当时，方程有两根，设为，

则，，所以，

所以当时，；当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

①当时，，所以，即．

又因为时，，所以在上存在零点，所以此时不符合题意；

②当时，

因为，，所以，所以，

由，当时，，

可得在上存在零点，所以此时不符合题意；

③当时，易得，，

由，当且无限接近于0时，，可得在上存在零点，所以此时不符合题意，

综上，实数的取值范围是．

5．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．

【解析】（1）解：．

若，由，得．

由，得；由，得，

所以在上单调递减，在上单调递增；

若，由，得或．

当时，由，得；由，得或，

所以在上单调递减，在，上单调递增；

当时，在上恒成立，所以在上单调递增；

当时，由，得；由，得或，

所以在上单调递减，在，上单调递增．

（2）证明：由（1）知，当时，在上单调递减，

在，上单调递增，

所以，

，

令，则．

令，则，

所以在上单调递增，

所以，

所以，从而在上单调递减，

所以，即，

又当时，，即，

又，该式关于单调递减，

所以，

所以，

因为在上单调递增，且，

所以函数在区间上有且只有一个零点．

令，显然单调递减，

所以，

所以．

因为在上单调递减，且，

所以函数在区间有且只有一个零点．

，该式关于单调递减，

所以．

因为在上单调递增，且，

所以函数在上有且只有一个零点．

综上所述：当时，函数有且只有三个零点．

6．【答案】（1）；（2）答案见解析．

【解析】（1）由题意可求得，

因为在内有两个极值点，所以在内有两个不相等的变号根，

即在上有两个不相等的变号根．

设，则．

①当时，，，

所以在上单调递增，不符合条件．

②当时，令得，

当，即时，，，

所以在上单调递减，不符合条件；

当，即时，，，

所以在上单调递增，不符合条件；

当，即时，在上单调递减，上单调递增，

若要在上有两个不相等的变号根，

则，解得，

综上所述，．

（2）设，

令，则，所以在上单调递增，在上单调递减．

（ⅰ）当时，，则，所以．

因为，，所以，因此在上单调递增；

（ⅱ）当时，，则，所以．

因为，，，，即，

又，所以，因此在上单调递减，

综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当时，，

当，即时，没有零点，故关于x的方程根的个数为0，

当，即时，只有一个零点，故关于x的方程根的个数为1，

当，即时，

①当时，，

要使，可令，即；

②当时，，

要使，可令，即，

所以当时，有两个零点，故关于x的方程根的个数为2，

综上所述：当时，关于x的方程根的个数为0，

当时，关于x的方程根的个数为1，

当时，关于x的方程根的个数为2．