高中数学高考 2021届高三大题优练2 数列 教师版

这是一份高中数学高考 2021届高三大题优练2 数列 教师版，共14页。试卷主要包含了已知数列的前n项和为，，，且等内容，欢迎下载使用。
     例1．已知数列的前n项和为，，，且．（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；（2）在①；②；③，这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答．已知数列满足________，求的前n项和．注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．【答案】（1）证明见解析，；（2）答案见解析．【解析】（1）当时，因为，所以，两式相减得，所以．当时，因为，所以，又，故，于是，所以是以4为首项，2为公比的等比数列．所以，两边除以，得．又，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，即．（2）若选①：，即，因为，所以．两式相减得，所以．若选②：，即，所以．若选③：，即，所以．例2．已知数列是各项均为正数的等比数列，且，．数列满足．（1）求数列，的通项公式；（2）若数列的前项和为，求证：．【答案】（1），；（2）证明见解析．【解析】（1）设数列的公比为，由，得，又，得，解的或（舍去），∴．又，∴，即，得．当时，，得，∴，即，∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，故．（2）由（1），记，则，由，可知．当为奇数时，；当为偶数时，，综上所述，．例3．如图，在平面直角坐标系中，已知个圆、、、与轴和直线均相切，且任意相邻两圆外切，其中圆．（1）求数列的通项公式；（2）记个圆的面积之和为，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，且直线过点，在直线上，，如下图所示：设圆、分别切轴于点、，过点作，垂足为点，则，其中，，，，可得，，则，为等比数列且首项为，公比为，．（2）．  
1．已知等差数列的公差为，前项和为，且．（1）求公差的值；（2）若，是数列的前项和，求使不等式成立的的最小值．【答案】（1）；（2）5．【解析】（1）由，即，化简得，解得．（2）由，，得，所以，所以，由，解得，所以n的最小值为5．2．已知数列的前项和．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），当时，，即，当时，，，，验证知，当时，也成立．综上，．（2）据（1）求解知，．又，，，数列的前项和，①，②①-②，得，，．3．已知数列的前项和为，若()，且的最大值为25．（1）求的值及通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1），()；（2）．【解析】（1）由题可得，，所以当为偶数时，，解得；当为奇数时，，此时无整数解，综上可得：，．①时，．②当时，，当时也成立．综上可得：，所以，()．（2），①②两式相减得，，则，则．4．已知数列是递增的等比数列，前3项和为13，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）数列的首项，其前项和为，且       ，若数列满足，的前项和为，求的最小值．在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题．①；②；③．【答案】（1）；（2）答案见解析．【解析】（1）设数列的公比为，则由前3项和为13，且，，成等差数列，得，所以，所以，即，解得或，又因为是递增的等比数列，所以，所以，所以，所以．（2）选择①因为，所以，两式相减得，即，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故，因此，因为恒成立，即，，，…，所以．选择②由知是以为首项，2为公差的等差数列，所以，所以，因为，即，，，…，所以．选择③由知是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，所以，当n为奇数时，由于，故；当n为偶数时，由于，故，由在n为偶数时单调递增，所以当时，，综上所述：的最小值为．5．已知递增的等比数列满足：，．（1）求的前n项和；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题可知，，由递增的等比数列或（舍），所以．（2）由（1）知，所以，所以数列的前项和，数列的前项和．6．已知数列为各项非零的等差数列，其前项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），，．（2），当为偶数时，；当为奇数时，，所以．7．已知为等差数列，数列的前和为，，，___________．在①，②这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】条件选择见解析；（1），；（2）．【解析】选①解：（1）设等差数列的公差为，，，，，，，由，得，当时，，即，所以是一个以2为首项，2为公比的等比数列，．（2）由（1）知，，，．选②解：（1）设等差数列的公差为，，，，，，．，，，令，得，即，，．（2）解法同选①的第（2）问解法相同．8．已知正项等比数列，满足，是与的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设等比数列的公比为，因为是与的等差中项，所以，解得或（舍去），因为数列为正项数列，所以，所以，因为，所以，又因为，所以，所以．（2）由（1）得，所以，因为，所以，所以，当为偶数时，，；当为奇数时，，，所以．