高考数学二轮专题大题优练1 数列(2份打包，教师版+原卷版)

例1．已知为等差数列，为等比数列，的前项和为，且，，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，为数列的前项和，求．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

所以，，

，解得或(舍去)，

则，．

（2）因为，

所以①

①，得②

①-②，得

，

故．

例2．已知等差数列为递减数列且首项，等比数列前三项依次为，，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）设等差数列的公差为，

由题意得，或（舍），

，

又，，公比，．

（2），，

，

．

例3．已知数列为等比数列，，其中，，成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设数列的公比为，

因为，所以，，

因为是和的等差中项，所以．

所以，化简得，

因为公比，所以，所以，

所以．

（2）因为，所以，，

所以，

即．

1．已知等比数列的前项和为，给出条件：①；②，且．若__________，请在这两个条件中选一个填入上面的横线上并解答．

（1）求的值及数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

2．在①；②；③，，．这三个条件中任选一个，

补充在下面问题中，并解决该问题．

问题：已知数列满足______（），若，求数列的前项和．

3．在①，，成等差数列；②，，成等比数列；③，，成等差数列，

这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．

已知正项等比数列的前项和为，且，______．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求的前项和．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

4．已知数列对任意的都满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和为．

5．已知等比数列的前项和为，且，数列满足，

其中．

（1）分别求数列和的通项公式；

（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．

6．设等差数列的前n项和为，首项，且．数列的前n项和为，

且满足，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

7．已知数列是等差数列，其前n项和为，且，．数列为等比数列，

满足，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前n项和．

8．已知正项等比数列，满足，是与的等差中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

1．【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】（1）选条件①，

方法一：当时，；

当时，由，得，

．

因为数列是等比数列，所以，即，

所以数列的通项公式为，．

方法二：当时，，

当时，，

当时，，

所以，等比数列的公比为，

当时，．

满足，则，解得．

所以，．

选条件②，

方法一：当时，由，可得，

两式相减得，即，

因为数列是等比数列，且，

所以数列的通项公式为，，

又当时，，解得．

方法二：当时，，

当时，，，

所以，等比数列的公比为，且，，

所以，解得．

（2）由（1）可知，，

即

因此，

．

2．【答案】．

【解析】若选①：因为，①

所以当时，，②

①②，得，即，

所以数列为等比数列，

当时，，解得，

所以．

所以，

所以，③

，④

③④，得，

所以．

若选②：因为，①，

所以当时，，

当时，，②

①②，得，

因为符合上式，所以对一切都成立．

所以，

所以，③

，④

③④，得，

所以．

若选③：由，

，知数列是等比数列，

设数列的公比为，则，即，

所以，解得，

所以．

所以，

所以，①

，②

①②，得，

所以．

3．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）方案一：选条件①．

设数列的公比为，由题意知．

因为，，成等差数列，所以，

所以，即，

又，所以，解得（舍去）或．

又，所以，

所以．

方案二：选条件②．

设数列的公比为，由题意知．

因为，，成等比数列，所以，

所以，

又，所以，解得（舍去）或．

又，所以，

所以．

方案三：选条件③．

设数列的公比为，由题意知．

因为，，成等差数列，

所以，即．

又，所以，解得（舍去）或，

所以，

所以．

（2）由（1）知，

所以．

4．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由题意，数列满足，

当时，，

两式相减，可得，即，

又由当时，，满足上式，

所以数列的通项公式为．

（2）由（1）可得，

所以，

即数列的前项和为．

5．【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）设等比数列的公比为，

由已知，可得，

两式相减可得，即，

整理得，可知，

已知，令，得，

即，解得，

故等比数列的通项公式为，

由，，得，

那么，

以上个式子相乘，可得，

，

又满足上式，

所以的通项公式．

（2）若在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，

则，即为，

整理得，

所以，

，

两式相减得，

所以．

6．【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）设数列的公差为d，且，

又，

则，所以，

则，

由可得，

两式相减得，，

又，所以，

故是首项为1，公比为3的等比数列，

所以．

（2）设，

记的前n项和为．则，

，

两式相减得，

，所以．

7．【答案】（1）；；（2）．

【解析】（1）设数列的公差是d，数列是的公比是q．

由题意得，所以，所以；

∴，，

∴，∴．

（2）由（1）知

∴

．

8．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设等比数列的公比为，

因为是与的等差中项，

所以，解得或（舍去），

因为数列为正项数列，所以，所以，

因为，所以，

又因为，所以，

所以．

（2）由（1）得，所以，

因为，

所以

，

所以

，

当为偶数时，，；

当为奇数时，，，

所以．