2023高三数学二轮热点题型专项突破专题21 球的切与接问题（新高考全国通用）

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球的切与接问题高考定位球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，基本属于必考题目．而且球相关的特殊距离，即球面距离是一个备考的重点，要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，更应特别加以关注的．题目一般属于中档难度，往往单独成题，或者在解答题中以小问的形式出现．专题解析（1）补形 （2）找球心 （3）作球心 （4）平面化 （5）动态切接专项突破类型一、补形例1-1．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，平面，，，，若三棱锥的所有顶点都在球上，则球的半径为（ ）A． B． C． D．练．空间四面体中，，，，则该四面体的外接球的表面积为_________练、（广东省七校联合体2021届高三下学期第三次联考16）．如图，在四棱锥中，，平面，底面为正方形，且.若四棱锥的每个顶点都在球的球面上，则当时，球的表面积为___________；当四棱锥的体积取得最大值时，二面角的正切值为___________.例1-2. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（ ）A． B． C． D．练．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且，则四棱锥外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．练．（2019•新课标Ⅰ，理12）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为　　A． B． C． D．例1-3、（广东省梅州市2021届高三下学期3月总复习质检T16）．已知球是三棱锥的外接球，，，点是的中点，且，则球的表面积为____________.练．已知三棱锥SABC中，SA平面ABC，且SA＝4，AB＝AC＝2，BAC＝120，则三棱锥SABC的外接球的表面积为_____．例1-4.（广东省湛江市湛江一中2021届高三下学期3月模拟T8）．四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面，底面为梯形，，且，则此球的表面积等于（　　）A． B． C． D．练.【2020年高考全国Ⅰ卷理T10】已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 例1-5．（2021•泉州二模）如图是一个由6个正方形和8个正三角形围成的十四面体，其所有顶点都在球的球面上，若十四面体的棱长为1，则球的表面积为　　A． B． C． D．练.（多选）(2021扬州一检T12）我们把所有棱长都相等的正棱柱（锥）叫“等长正棱柱（锥）”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱（锥）”的棱长都为1，则下列说法中正确的有（ ）A．正方体的棱切球的半径为 B．正四面体的棱切球的表面积为C．等长正六棱柱的棱切球的体积为 D．等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面（侧面和底面）截得的截面面积之和为例1-6.在四棱锥中，已知底面，且，则该四棱锥外接球的体积为（ ）A． B． C． D．例1-7．（2021春•鹿城区校级月考）单位正方体内部或边界上不共面的四个点构成的四面体体积的最大值为　　A． B． C． D．例1-8．在一次综合实践活动中，某手工制作小组利用硬纸板做了一个如图所示的几何模型，底面为边长是4的正方形，半圆面底面．经研究发现，当点在半圆弧上（不含，点）运动时，三棱锥的外接球始终保持不变，则该外接球的表面积为______．类型二、找球心例2-1．三棱锥中，，，的面积为，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．练．在三棱锥中，平面平面，，，，的面积为，则三棱锥的外接球体积为（ ）A． B． C． D．练．如图，在四棱锥中，已知底面，且，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．练．已知边长为的菱形中，，现沿对角线折起，使得，此时点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A． B． C． D．练．已知点､､､都在球的球面上，，△是边长为1的等边三角形，与平面所成角的正弦值为，若，则球的表面积为（ ）A． B． C． D．类型三、作出球心例3-1.已知在三棱锥S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝SC＝2eq \r(2)，二面角B－AC－S的大小为eq \f(2π,3)，则三棱锥S－ABC的外接球的表面积为(　　)A.eq \f(124π,9) B.eq \f(105π,4) C.eq \f(105π,9) D.eq \f(104π,9)练.已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面，，，若球的表面积为，则四棱锥的体积为（ ）A．4 B． C． D．练.在三棱锥中，是等边三角形，平面平面，，则三棱锥的外接球体积为（ ）A． B． C． D．例3-2．已知是以为斜边的直角三角形，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）A． B． C． D．练．在边长为6的菱形中，，将菱形沿对角线折起成直二面角，则所得三棱锥外接球的表面积等于___________.练．已知，分别是边长为2的等边边，的中点，现将沿翻折使得平面平面，则棱锥外接球的表面积为_________．练．已知四面体中和是等边三角形，二面角为直二面角．若，则四面体外接球的体积为_______．练．在四面体中，平面，，，，则该四面体的外接球的表面积是（ ）A． B．100π C． D．20π练．已知四棱锥的侧棱均相等，其各个顶点都在球的球面上，，，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）A． B． C． D．练．已知四棱锥，平面，，，，，二面角的大小为.若四面体的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）A． B． C． D．练．已知菱形的边长为，，若沿对角线将折起，所得的二面角为钝二面角，且A，，，四点所在球的表面积为，则四面体的体积为________．练．已知三棱锥中，底面，，，则三棱锥外接球的表面积为___________.练．已知三棱锥，平面ABC，，，直线SB和平面ABC所成的角大小为.若三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________.练．如图，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，是边长为6的正三角形，二面角的大小为120°，则球的体积为______．练．在三棱锥中，，，，，则该三棱锥外接球的半径为___________.练．已知四棱锥中，侧面底面，，且，则此四棱锥外接球的表面积等于（ ）A． B． C． D．类型四、平面化例3-1.（2020高考全国新课标Ⅲ卷）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．练、（广东省东莞市光明中学2021届高三下学期期初T4）．打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法” ．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用打印技术制作如图所示的模型，该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，母线与底面所成角的正切值为．打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（取，精确到　　A． B． C． D．练.在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ）A． B． C． D．练．如图，三棱台ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，BC＝6，A1B1＝A1C1＝4，AA1＝5，平面BCC1B1⊥平面ABC，则该三棱台外接球的体积为（ ）A． B． C． D．练．如图，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的边长为2，则半球的表面积为____________.练．已知圆锥的底面半径为母线长为则该圆锥内半径最大的球的表面积与圆锥外接球的表面积之比为（ ）A． B． C． D．练．如图，在底面边长为4，高为6的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为_____________.练．在一个棱长为的正方体内部有一个大球和小球，大球与正方体的六个面都相切，小球可以在正方体和大球之间的空隙自由滑动，则小球的表面积最大值是___________.类型五、动态切接例5．球的球面上有四点、、、，其中、、、四点共面，是边长为的正三角形，平面平面，则棱锥体积的最大值为___________练．在三棱锥中，和都是边长为的正三角形，.若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为_________.练．三棱锥的顶点均在一个半径为4的球面上，为等边三角形且其边长为6，则三棱锥体积的最大值为（ ）A． B． C． D．练（广东省河源市2021届高三下学期3月第一次联考T16）．三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，已知△ABC是边长为2的正三角形，PA=PB，则△PAB面积的最大值为________.练（广东省七校联合体2021届高三下学期第三次联考16）．如图，在四棱锥中，，平面，底面为正方形，且.若四棱锥的每个顶点都在球的球面上，则当时，球的表面积为___________；当四棱锥的体积取得最大值时，二面角的正切值为___________.练．已知球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，O在CD上，若三棱锥的体积的最大值为，则该球O的体积为________．练．已知三棱锥S-ABC的外接球O的表面积为，SA=2，SA⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的直角三角形，点P在球O的表面上运动，则三棱锥P-ABC体积的最大值为（ ）A． B．C． D．练．正方体的棱长为2，的中点分别是P，Q，直线与正方体的外接球O相交于M，N两点点G是球O上的动点则面积的最大值为（ ）A． B． C． D．练．已知直四棱柱，其底面是平行四边形，外接球体积为，若，则其外接球被平面截得图形面积的最小值为（ ）A． B． C． D．练．已知三棱锥中，平面，，，则三棱锥体积最大时，其外接球的体积为（ ）A． B． C． D．练．在梯形中，，，为的中点，将沿直线翻折成，当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为______.练．已知球的表面积为，点均在球的表面上，且，则四面体体积的最大值为___________.练．在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，若动点Q在平面PAD内运动，使得与相等，则三棱锥的体积最大时的外接球的体积为_____．