初中数学沪科版八年级下册17.4 一元二次方程的根与系数的关系课后练习题

第17章　一元二次方程

*17.4　一元二次方程的根与系数的关系

基础过关全练

知识点1　一元二次方程的根与系数的关系

1.【教材变式·P39练习T2变式】下列一元二次方程中,有两实数根,且和为-4的是              (　　)

A.x2-3x+4=0　　　　

B.x2+2x-4=0

C.x2+4x-4=0　　　　

D.x2+4x+5=0

2.【新独家原创】若a,b是方程x2+2 023x-2 024=0的两个实数根,则代数式a+b-ab的值为　　　　. 

知识点2　一元二次方程的根与系数的关系的应用

3.【教材变式·P39练习T3变式】关于x的一元二次方程x2-4x+k=0的一个根是1,则另一个根是              (　　)

A.3　　　　B.-2　　　　C.-3　　　　D.-4

4.【一题多变】已知一元二次方程x2-4x-2=0的两根分别为x1,x2,则的值为              (　　)

A.2　　　　B.-1　　　 C.-　　　　D.-2

[变式1]若α,β(α≠β)是一元二次方程x2-5x-14=0的两个根,则α-β的值为              (　　)

A.-9　　　　B.9       C.-9或9　　　　D.-5或5

[变式2]若一元二次方程x2+=

　　　　. 

5.【转化思想】(2022四川眉山中考)设x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个实数根,则的值为　　　　. 

6.(2022安徽合肥五十中期中)一元二次方程2x2-x-1=0与2x2-x+1=0的所有实数根的和等于　　　　. 

7.【教材变式·P39练习T4变式】已知方程2x2+3x-4=0的两根分别为x1,x2.求下列各式的值:

(1)(x1-1)(x2-1);

(2);

(3).

能力提升全练

8.【转化思想】(2022四川泸州中考,9,)已知关于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=3,则m的值为              (　　)

A.-3　　　  　B.-1            C.-3或1　　　　D.-1或3

9.(2020贵州黔东南州中考,4,)已知关于x的一元二次方程x2+5x-m=0的一个根是2,则另一个根是              (　　)

A.-7　　　　B.7            C.3　　　　D.-3

10.(2022内蒙古呼和浩特中考,8,)已知x1,x2是方程x2-x-2 022=0的两个实数根,则代数式的值是              (　　)

A.4 045　　　　B.4 044         C.2 022　　　　D.1

11.(2021四川泸州中考,9,)关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m=0的两实数根x1,x2满足x1x2=2,则(+2)的值是              (　　)

A.8　　　     　B.32　　　　

C.8或32　　　　D.16或40

12.(2022湖北孝感中考,11,)若一元二次方程x2-4x+3=0的两个根是x1,x2,则x1x2的值是　　　　. 

13.(2022安徽定远期中,12,)若一元二次方程2x2-3x+1=0的两个实数根为x1,x2,则-x1x2的值是　　　　. 

14.【学科素养·推理能力】(2022四川南充中考,20,)已知关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根.

(1)求实数k的取值范围;

(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=-1,求k的值.

素养探究全练

15.【运算能力】已知x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根.

(1)求k的取值范围;

(2)是否存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立?若存在,求k的值;若不存在,请说明理由.

16.【推理能力】关于x的一元二次方程x2+mx+m-2=0.

(1)求证:无论m取何实数,此方程总有两个不相等的实数根;

(2)设该方程的两个同号实数根为x1,x2,试问是否存在m,使+m(x1+x2)=m2+1成立?若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由.

答案全解全析

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1.C　选项A,Δ=(-3)2-4×4=-7<0,此方程没有实数根,选项A不符合要求;

选项B,Δ=22-4×(-4)=20>0,此方程有两实数根,且两根之和为-2,不符合要求;

选项C,Δ=42-4×(-4)=32>0,此方程有两实数根,且两根之和为-4,符合要求;

选项D,Δ=42-4×5=-4<0,此方程没有实数根,选项D不符合要求.故选C.

2.1

解析　∵a,b是方程x2+2 023x-2 024=0的两个实数根,

∴a+b=-2 023,ab=-2 024,

∴a+b-ab=-2 023-(-2 024)=1.

3.A　∵a=1,b=-4,∴方程的两根之和=-=4,

∴方程的另一根为4-1=3.故选A.

4.D　∵一元二次方程x2-4x-2=0的两根分别为x1,x2,

∴x1+x2=4,x1x2=-2,

∴原式==-2.

[变式1]C　∵α,β(α≠β)是一元二次方程x2-5x-14=0的两个根,

∴α+β=5,αβ=-14,

∴(α-β)2=(α+β)2-4αβ=52-4×(-14)=81,

∴α-β=±9.故选C.

[变式2]-

解析　根据根与系数的关系得m+n=-,mn=-2,

所以原式=.

5.10

解析　∵x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个实数根,

∴x1+x2=-2,x1x2=-3,

∴=(x1+x2)2-2x1x2=(-2)2-2×(-3)=10.

6.

解析　∵方程2x2-x-1=0的两根之和为,方程2x2-x+1=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×1<0,没有实数根,∴一元二次方程2x2-x-1=0与2x2-x+1=0的所有实数根的和等于.

7.解析　根据题意得x1+x2=-,x1x2=-2.

(1)原式=x1x2-(x1+x2)+1=-2+.

(2)原式=.

(3)=(x1+x2)2-2x1x2=-2×(-2)=.

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8.A　∵方程x2-(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1,x2,

∴x1+x2=2m-1,x1x2=m2.

∵(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=3,

∴m2+2m-1+1=3,解得m1=1,m2=-3.

∵方程有两实数根,

∴Δ=[-(2m-1)]2-4m2≥0,解得m≤,

∴m1=1不合题意,舍去,

∴m=-3.故选A.

9.A　设方程的另一个根为x2,由根与系数的关系,得2+x2=-5,

解得x2=-7,故另一个根为-7.故选A.

10.A　把x=x1代入方程x2-x-2 022=0,

得-x1-2 022=0,即-2 022=x1.

∵x1,x2是方程x2-x-2 022=0的两个实数根,

∴x1+x2=1,x1x2=-2 022,

∴原式=x1(-2 022)+=(x1+x2)2-2x1x2=1+4 044=4 045.

故选A.

11.B　由题意得Δ=(2m)2-4(m2-m)≥0,∴m≥0.

∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m=0的两实数根x1,x2满足x1x2=2,

∴x1+x2=-2m,x1x2=m2-m=2,

∴m2-m-2=0,解得m=2或m=-1(舍去),

∴x1+x2=-4,

∴(+2)(+2)=(x1x2)2+2(x1+x2)2-4x1x2+4=22+2×(-4)2-4×2+4=32.

故选B.

12.3

解析　∵x1,x2是一元二次方程x2-4x+3=0的两个根,∴x1x2=3.

13.

解析　∵一元二次方程2x2-3x+1=0的两个实数根为x1,x2,

∴x1+x2=,x1x2=,

∴原式=(x1+x2)2-3x1x2=.

14.解析　(1)∵关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根,

∴Δ=32-4×1×(k-2)≥0,解得k≤,即k的取值范围是k≤.

(2)∵方程x2+3x+k-2=0的两个实数根分别为x1,x2,

∴x1+x2=-3,x1x2=k-2.

∵(x1+1)(x2+1)=-1,

∴x1x2+(x1+x2)+1=-1,

∴k-2+(-3)+1=-1,解得k=3,即k的值是3.

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15.解析　(1)∵方程有两个实数根,

∴Δ=(-4k)2-16k(k+1)≥0,且4k≠0,解得k<0.

(2)不存在.理由:由根与系数的关系得x1+x2=1,x1x2=,

∵(2x1-x2)(x1-2x2)=-,

∴2,即2(x1+x2)2-9x1x2=-,

∴2-9×,解得k=.

∵k<0,>0,∴不存在满足条件的k值.

16.解析　(1)证明:∵Δ=m2-4×1×(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4>0,

∴无论m取何实数,原方程总有两个不相等的实数根.

(2)不存在.

理由:∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2+mx+m-2=0的两个同号实数根,

∴x1+x2=-m,x1x2=m-2>0,

∴+m(x1+x2)=(x1+x2)2-2x1x2+m(x1+x2)=m2-2(m-2)-m2=-2(m-2)<0.

∵m2+1>0,

∴不存在m使+m(x1+x2)=m2+1成立.