中考数学一轮知识复习和巩固练习考点08 方程与不等式综合复习（能力提升） (含详解)

考向08方程与不等式综合复习—能力提升

【知识梳理】

考点一、一元一次方程

1.方程

含有未知数的等式叫做方程.

2.方程的解

能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.

3.等式的性质

（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.

（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.

4.一元一次方程

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项.

5.一元一次方程解法的一般步骤

整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).

6.列一元一次方程解应用题

(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”

    仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.

(2)画图分析法：多用于“行程问题”

    利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础.

方法指导：

列方程解应用题的常用公式：

(1)行程问题：  距离=速度×时间            ；

(2)工程问题：  工作量=工效×工时       ；

(3)比率问题：  部分=全体×比率            ；

(4)顺逆流问题：  顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；

(5)商品价格问题：  售价=定价·折· ，利润=售价-成本， ；

(6)周长、面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C正方形=4a，

S正方形=a2，S环形=π(R2-r2)，V长方体=abh，V正方体=a3，V圆柱=πR2h ，V圆锥=πR2h.

考点二、一元二次方程

1.一元二次方程

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式

，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.

3.一元二次方程的解法

（1）直接开平方法

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如的一元二次方程.根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根.

（2）配方法

配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有.

（3）公式法

公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.

一元二次方程的求根公式：

（4）因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.

4.一元二次方程根的判别式

一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.

5.一元二次方程根与系数的关系

如果方程的两个实数根是，那么，.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.

方法指导：

    一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.

考点三、分式方程

1.分式方程

分母里含有未知数的方程叫做分式方程.

2.解分式方程的一般方法

解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：

①去分母，方程两边都乘以最简公分母；

②解所得的整式方程；

③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.

3.分式方程的特殊解法

换元法：

换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.

方法指导：

    解分式方程时，求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.

考点四、二元一次方程（组）

1.二元一次方程

含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0).

2.二元一次方程的解

使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.

3.二元一次方程组

两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.

4.二元一次方程组的解

使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.

5.二元一次方程组的解法

①代入消元法；②加减消元法.

6.三元一次方程（组）

（1）三元一次方程

把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.

（2）三元一次方程组

由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.

方法指导：

二元一次方程组的解法：

消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.

（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.

（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.

考点五、不等式（组）

1.不等式的概念

    （1）不等式

用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.

（2）不等式的解集

对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.

求不等式的解集的过程，叫做解不等式.

2.不等式基本性质

   （1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；

（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

3.一元一次不等式 

    （1）一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.

（2）一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步骤：

①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.

4.一元一次不等式组  

   （1）一元一次不等式组的概念

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.

求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.

当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.

（2）一元一次不等式组的解法

①分别求出不等式组中各个不等式的解集；

②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.

方法指导：

     用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.

【能力提升训练】

一、选择题
1. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是（    ）

   A．1            B．         C．1或       D．0.5

2．如果关于x的方程 kx2 -2x -1=0有两个不相等实数根，那么k的取值范围是（    ）       

 A．      B．     C.     D．  

3．已知相切两圆的半径是一元二次方程x2-7x+12＝0的两个根，则这两个圆的圆心距是(    )

    A．7         B．1或7      C．1        D．6

4．若是方程的两个实数根，则的值  （    ）

A．2007         B．2005        C．－2007       D．4010

5．定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（　　）

A．[x]=x（x为整数）      B．0≤x﹣[x]＜1

C．[x+y]≤[x]+[y]         D．[n+x]=n+[x]（n为整数）

6．已知x是实数，且 -(x2+3x)=2，那么x2+3x的值为（　  ）
　　A.1　　    B.-3或1 　   　C.3 　  　D.-1或3

二、填空题

7．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根，则：

（1）字母k的取值范围为　     ；

（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，那么k的值为　  　，此时方程的根为　    　．

8．若不等式组有解，那么a必须满足________．

9．关于x的方程k(x+1)=1+2x有非负数解，则k的取值范围是_____     ___．

10．当a=________时，方程会产生增根.

11．当____________时，关于的一元二次方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.

12．已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为____           __．

三、解答题

13．用换元法解方程：．

14. 已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边BC的长为5，试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

15．已知关于x的一元二次方程（）①.

（1）若方程①有一个正实根c，且.求b的取值范围；

（2）当a=1 时，方程①与关于x的方程②有一个相同的非零实根，

求 的值.

16.某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元．设生产A种产品的生产件数为x，A、B两种产品所获总利润为y（元）．

（1）试写出y与x之间的函数关系式；

（2）求出自变量x的取值范围；

（3）利用函数的性质说明哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？

答案与解析

一、选择题
1.【答案】B；

【解析】方程的解必满足方程，因此将代入，即可得到，注意到一元二次方程二次项系数不为0，故应选B.

2.【答案】D；

【解析】方程有两个实数根，说明方程是一元二次方程，因此有，其次方程有两个不等实根，故有.故应选D.

3.【答案】B；

【解析】解一元二次方程x2-7x+12＝0，得x1＝3，x2＝4，两圆相切包括两圆内切和两圆外切．当两圆内切时，d＝x2-x1＝1；当两圆外切时，d＝x1+x2＝7．

4.【答案】B；

【解析】因为是方程的两个实数根，则，

把它代入原式得，再利用根与系数的关系得，所以原式=2005.

5.【答案】C；

【解析】A、∵[x]为不超过x的最大整数，∴当x是整数时，[x]=x，成立；

B、∵[x]为不超过x的最大整数，∴0≤x﹣[x]＜1，成立；

C、例如，[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+（﹣4）=﹣10，

∵﹣9＞﹣10，

∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]，

∴[x+y]≤[x]+[y]不成立，

D、[n+x]=n+[x]（n为整数），成立；

故选：C．

6.【答案】A；

【解析】设x2+3x=y, 则原方程可变为 -y=2, 即y2+2y-3=0.
　　      ∴y1=-3, y2=1.经检验都是原方程的解.  ∴ x2+3x=-3或1.

因为x为实数，所以要求x2+3x=-3和x2+3x=1有实数解.
当x2+3x=-3时，即是x2+3x+3=0，此时Δ=32-4×1×3<0，方程无实数解，即 x不是实数，

与题设不符，应舍去；

当x2+3x=1时，即是x2+3x-1=0，此时Δ=32-4×1×(-1)>0，方程有实数解，即x是实数，

符合题设，故x2+3x=1. 正确答案：选A.

二、填空题

7．【答案】(1)k＜；(2) 2，0，2．

【解析】（1）根据题意得：△=4﹣4（2k﹣4）=20﹣8k＞0，

解得：k＜；故答案为：k＜；

（2）由k为正整数，得到k=1或2，

利用求根公式表示出方程的解为x=﹣1±，

∵方程的解为整数，

∴5﹣2k为完全平方数，

则k的值为2，

∴方程为：x2﹣2x=0，

解得：x1=0，x2=2.    故答案为：2，0，2．

8．【答案】a＞-2；

【解析】画出草图，两个不等式有公共部分.

9．【答案】1≤k＜2；

10．【答案】3；

【解析】先去分母，再把x=3代入去分母后的式子得a=3.

11．【答案】；

   【解析】设方程的两个实根分别为x1、x2,因为两个实根一个大于3，另一个小于3，

   所以（x1-3）（x2-3）＜0，化简为x1x2-3（x1+x2）+9＜0，由根与系数关系解得.

12．【答案】 ； 

【解析】去分母解得x=m+6,解为正数得m＞-6，由x≠2得m≠-4.故.

三、解答题

13.【答案与解析】

    解：，．

    设，则，整理，得．

    解得y1＝3，y2＝-1．

    当y＝3时，，，

    解得x1＝2，x2＝1；

    当y＝-1时，，，

    △＝1-8＝-7＜0，此方程没有实数根．

    经检验：x1＝2，x2＝1是原方程的根．

    ∴  原方程的根是x1＝2，x2＝1．

14.【答案与解析】

    解：设边AB＝a，AC＝b．

    ∵  a、b是的两根，

∴  a+b＝2k+3，a·b＝k2+3k+2．

又∵  △ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝5，

∴  ，即．

∴  ，∴  或．

当k＝-5时，方程为．

解得，．（舍去）

    当k＝2时，方程为x2-7x+12＝0．

    解得x1＝3，x2＝4．

    ∴  当k＝2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．

15.【答案与解析】

    解：（1）∵ c为方程的一个正实根（），

∴

∵,

∴ ，即.

∵ ，

∴ .

解得 ．

又（由，）．

∴ ．

解得 ．

∴ ．

（2）当时，此时方程①为 .

设方程①与方程②的相同实根为m，

∴ ③

④

④－③得 .

整理，得 .

∵m≠0，

∴.

解得 .

把代入方程③得 .

∴，即.

当时，.

16.【答案与解析】

解：（1）设生产A种产品x件，则生产B种产品（50﹣x）件，

由题意得：y=700x+1200（50﹣x）=﹣500x+60000，

即y与x之间的函数关系式为y=﹣500x+60000；

（2）由题意得，

解得30≤x≤32．

∵x为整数，

∴整数x=30，31或32；

（3）∵y=﹣500x+60000，﹣500＜0，

∴y随x的增大而减小，

∵x=30，31或32，

∴当x=30时，y有最大值为﹣500×30+60000=45000．

即生产A种产品30件，B种产品20件时，总利润最大，最大利润是45000元．