中考数学一轮知识复习和巩固练习考点07 一元二次方程、分式方程的解法及应用（基础巩固） (含详解)

考向07一元二次方程、分式方程的解法及应用—基础巩固

【知识梳理】

考点一、一元二次方程

1.一元二次方程的定义

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．

它的一般形式为(a≠0)．

2.一元二次方程的解法

    （1）直接开平方法：把方程变成的形式，当m＞0时，方程的解为；当m＝0时，方程的解；当m＜0时，方程没有实数解．

    （2）配方法：通过配方把一元二次方程变形为的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．

（3）公式法：对于一元二次方程，当时，它的解为．

    （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．

方法指导：

直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．

3．一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式为．

△>0方程有两个不相等的实数根；

△＝0方程有两个相等的实数根；

△<0方程没有实数根．

上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．

方法指导：    △≥0方程有实数根.

4．一元二次方程根与系数的关系

如果一元二次方程(a≠0)的两个根是，那么．

考点二、分式方程

    1.分式方程的定义

分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．

方法指导：

（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.
　　（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.

 2.分式方程的解法

去分母法，换元法．

3.解分式方程的一般步骤
　　　(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；
　　　(2)解这个整式方程；
　　　(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.

口诀：“一化二解三检验”.

方法指导：

解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．

考点三、一元二次方程、分式方程的应用

1．应用问题中常用的数量关系及题型

    (1)数字问题(包括日历中的数字规律)

    关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．

    (2)体积变化问题

    关键是寻找其中的不变量作为等量关系.

    (3)打折销售问题

    其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝×100%．

    明确这几个关系式是解决这类问题的关键．

    (4)关于两个或多个未知量的问题

    重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.

    (5)行程问题

    对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．

    注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.

    (6)和、差、倍、分问题

    增长量＝原有量×增长率；

    现有量＝原有量+增长量；

    现有量＝原有量-降低量．

2．解应用题的步骤

(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；

(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；

(3)找出相等关系，并用它列出方程；

(4)解方程求出题中未知数的值；

(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．

方法指导：

 方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．

      注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．

【基础巩固训练】

一、选择题
1. 用配方法解方程时，原方程应变形为（    ）

A．         B． 　　　 C．          D．

2．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（    ）

A．1      B．12   C．13   D．25

3．关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＞﹣1   B．k≥﹣1   C．k≠0    D．k＜1且k≠0

4．若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于（    ）

A．1    B．2    C．1或2     D．0

5．在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为cm，那么满足的方程是（    ）.

A．        

B．

C．       

D．

6．甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（    ）

    A.      B.       C.   D.

二、填空题

7．方程﹣=0的解是　       　．

8．如果方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实根，则实数a的取值范围是___       ___．

9． 某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程为              __  ．

10．当为           时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根；此时这两个实数根是              .

11．如果分式方程 = 无解, 则 m  =            .

12．已知关于x 的方程 － = m有实数根，则 m 的取值范围是                .

三、解答题

13. （1）； 

（2）.

14．一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度.

15．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有实数根，

（1）求m的取值范围；

（2）若方程的一个根为1，求m的值；

（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．

16．如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地

（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？

（2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？ 

答案与解析

一、选择题
1.【答案】B；

【解析】根据配方法的步骤可知在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，

整理即可得到B项是正确的.

2.【答案】C；

【解析】∵ ∴，

解得m=5（此时不满足根的判别式舍去）或m=－1.

原方程化为，=

3.【答案】D；

【解析】依题意列方程组

，

解得k＜1且k≠0．故选D．

4.【答案】B；

【解析】有题意解得.

5.【答案】B ；

【解析】（80+2x）（50+2x）=5400，化简得.

6.【答案】B；

【解析】由已知，此人步行的路程为av千米，所以乘车的路程为千米。

        又已知乘车的时间为b小时，故汽车的速度为

二、填空题

7．【答案】x=6；

【解析】去分母得：3（x﹣2）﹣2x=0，

去括号得：3x﹣6﹣2x=0，

整理得：x=6，

经检验得x=6是方程的根．故答案为：x=6．

8．【答案】a＜1且a≠0；

【解析】△＞0且a≠0.

9．【答案】；

  【解析】平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)

10．【答案】m=；x1=x2=2．

【解析】由题意得，△=(－4)2－4(m－)=0

即16－4m+2=0，m=．

当m=时，方程有两个相等的实数根x1=x2=2．

11．【答案】-1；

【解析】原方程可化为：ｘ＝ ｍ．

      ∵ 原分式方程无解   ∴ｘ=－1，故代入一次方程有ｍ＝－１．

　　      所以，当ｍ＝－１时，原分式方程无解.

12．【答案】当ｍ≤且ｍ≠０时； 

【解析】原方程可化为：ｍｘ２－ｘ＋１＝０

　　   当ｍ＝０时，得ｘ＝１，原分式方程无解，不符合题意舍去．

　　   当ｍ≠０时, ⊿=１２－４ｍ≥０，解之ｍ≤

　　   所以，当ｍ≤且ｍ≠０时，原分式方程有实数根．

三、解答题

13.【答案与解析】

（1）部分移项得：

 ∴x＝2

 经检验：x＝2是原分式方程的根.

 （2）原方程可化为：

14.【答案与解析】

    设这列火车的速度为x千米/时

    根据题意，得

    方程两边都乘以12x，得

    解得

    经检验，是原方程的根

    答：这列火车原来的速度为75千米/时.

15.【答案与解析】

解：（1）根据题意得△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，

解得m≤；

（2）把x=1代入方程得1+2m﹣1+m2=0，

解得m1=0，m2=﹣2，

即m的值为0或﹣2；

（3）存在．

根据题意得α+β=﹣（2m﹣1），αβ=m2，

∵α2+β2﹣αβ=6，

∴（α+β）2﹣3αβ=6，

即（2m﹣1）2﹣3m2=6，

整理得m2﹣4m﹣5=0，解得m1=5，m2=﹣1，

∵m≤；

∴m的值为﹣1．

16.【答案与解析】

 设AD=BC=xm，则AB=（80－2x）m                 

（1）由题意得：x（80－2x）=750               

解得：x1=15，   x2=25 ，                  

当x=15时，AD=BC=15m，AB=50m

当x=25时，AD=BC=25m，AB=30m                

 答：当平行于墙面的边长为50m，斜边长为15m时，矩形场地面积为750m2；或当平行于墙面的边长为30m，邻边长为25m时矩形场地面积为750m2.                 

（2）由题意得：x（80－2x）=810       

△=40－4×405=1600－1620=－20＜0      

∴方程无解，即不能围成面积为810m2的矩形场地.