中考数学一轮知识复习和巩固练习考点11 函数综合（能力提升） (含详解)

考向11函数综合—能力提升

【知识梳理】

考点一、平面直角坐标系

1．相关概念

   （1）平面直角坐标系

   （2）象限

   （3）点的坐标

2.各象限内点的坐标的符号特征

3.特殊位置点的坐标

   （1）坐标轴上的点

   （2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标

   （3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标

   （4）关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标

4.距离

（1）平面上一点到x轴、y轴、原点的距离

（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离

（3）平面上任意两点间的距离

5.坐标方法的简单应用

（1）利用坐标表示地理位置

（2）利用坐标表示平移

方法指导：

 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：

（1）点P(x,y)到x轴的距离等于；

（2）点P(x,y)到y轴的距离等于；

（3）点P(x,y)到原点的距离等于.

考点二、函数及其图象

1.变量与常量

2.函数的概念

3.函数的自变量的取值范围

4.函数值

5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）

6.函数图象

方法指导：

由函数解析式画其图像的一般步骤：

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.

考点三、一次函数

1.正比例函数的意义   

2.一次函数的意义

3.正比例函数与一次函数的性质

4. 一次函数的图象与二元一次方程组的关系

5.利用一次函数解决实际问题

方法指导：

 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.

考点四、反比例函数

1.反比例函数的概念

2.反比例函数的图象及性质

3.利用反比例函数解决实际问题

方法指导：

     反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数图像上任一点 作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足为M、N，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=.

  ∴.

考点五、二次函数

1.二次函数的概念

2.二次函数的图象及性质

3.二次函数与一元二次方程的关系

4.利用二次函数解决实际问题

方法指导：

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）                                                                 

如图：点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则AB间的距离，即线段AB的长度为.           

2、函数平移规律：左加右减、上加下减.

3、二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，.

如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，.

   4、抛物线的对称变换

①关于轴对称

    关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是.

②关于轴对称

    关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是.

③关于原点对称

    关于原点对称后，得到的解析式是；

    关于原点对称后，得到的解析式是.

④关于顶点对称

    关于顶点对称后，得到的解析式是；

关于顶点对称后，得到的解析式是．

⑤关于点对称  

关于点对称后，得到的解析式是.

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称图象的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

考点六、函数的应用

1.一次函数的实际应用

2. 反比例函数的实际应用

3. 二次函数的实际应用

方法指导：

分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.

【能力提升训练】

一、选择题
1.函数 中自变量x的取值范围是(　　)

A．x≥－3    B．x≥－3且x≠1    C．x≠1     D．x≠－3且x≠1

2．如图为抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA＝OC＝1，则下列关系中正确的是(　　)

A.  a＋b＝－1     B．a－b＝－1     C．b＜2a     D．ac＜0

3．设一元二次方程(x－1)(x－2)＝m(m＞0)的两实根分别为α、β，则α、β满足(　　)

A．1＜α＜β＜2    B．1＜α＜2 ＜β    C．α＜1＜β＜2    D．α＜1且β＞2

4．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路线为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是(　　)

        A                 B                    C              D

5．如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（　　）

A． 

B． 

C．3 

D．4

6．如图，一次函数y＝－x＋2的图象上有两点A、B，A点的横坐标为2，B点的横坐标为a(0＜a＜4且a≠2)，过点A、B分别作x的垂线，垂足为C、D，△AOC、△BOD的面积分别为S1、S2，则S1、S2的大小关系是(　　)

A．S1＞S2     B．S1＝S2     C．S1＜S2    D．无法确定

二、填空题

7．抛物线的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是________．

8．在直角坐标系中，有如图所示的Rt△ABO，AB⊥x轴于点B，斜边AO＝10，sin∠AOB＝，反比例函数 (k＞0)的图象经过AO的中点C，且与AB交于点D，则点D的坐标为_______________．

         第7题                    第8题                 第9题

9．如图，点A在双曲线上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB＝2，则k＝______.

10．如图，已知二次函数y1=x2﹣x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若0＜y1＜y2，则x的取值范围是                  .

11．如图所示，直线OP经过点P (4, 4 )，过x轴上的点1、3、5、7、9、11……分别作x轴的垂线，与直线OP相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为S1、S2、S3……Sn则Sn关于n的函数关系式是________．

               第11题                          第12题

12．在直角坐标系中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…、AnBnCnCn－1按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、An均在一次函数y＝kx＋b的图象上，点C1、C2、C3、…、Cn均在x轴上．若点B1的坐标为(1,1)，点B2的坐标为(3,2)，则点An的坐标为____________．

三、解答题

13．已知，如图所示，正方形ABCD的边长为4 cm，点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点，连结AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q，设BP的长为x cm，CQ的长为y cm．

(1)求点P在BC上运动的过程中y的最大值；

(2)当cm时，求x的值．

14.大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60+x（元/件）（x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）．

（1）直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；

（3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？

15．已知关于x的二次函数与，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A、B两个不同的点．

(1)试判断哪个二次函数的图象经过A、B两点；

    (2)若A点坐标为(-l，0)，试求B点坐标；

(3)在(2)的条件下，对于经过A、B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？

16. 探究  (1)在下图中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F．

    ①若A(-1，0)，B(3，0)，则E点坐标为________；

    ②若C(-2，2)，D(-2，-1)，则F点坐标为________；

(2)在下图中，已知线段AB的端点坐标为A(a，b)，B(c，d)，求出图中AB中点D的坐标(用含a，b，c，d的代数式表示)，并给出求解过程．

归纳  无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A(a，b)，B(c，d)，AB中点为D(x，y)时，x＝________，y＝_______．(不必证明)

运用  在下图中，一次函数y＝x-2与反比例函数的图象交点为A，B．

①求出交点A，B的坐标；

②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标．

答案与解析

一、选择题
1.【答案】B；

【解析】由x＋3≥0且x－1≠0，得x≥－3且x≠1.

2.【答案】B；

【解析】由OA＝OC＝1，得A(－1,0)，C(0,1)，所以  则a－b＝－1.

3.【答案】D；

【解析】当y＝(x－1)(x－2)时，抛物线与x轴交点的横坐标为1,2，抛物线与直线y＝m(m＞0)交点的横坐标为α，β，可知α＜1，β＞2.

4.【答案】B；

【解析】当点P在AD上时，S△APD＝0；当点P在DC上时，S△APD＝×4×(x－4)＝2x－8；

当点P在CB上时，S△APD＝×4×4＝8；当点P在BA上时，S△APD＝×4×(16－x)＝－2x＋32.

故选B.

5.【答案】B；

【解析】过点B作BE⊥x轴于点E，

∵D为OB的中点，

∴CD是△OBE的中位线，即CD=BE．

设A（x，），则B（2x，），CD=，AD=﹣，

∵△ADO的面积为1，

∴AD•OC=1，（﹣）•x=1，解得y=，

∴k=x•=y=．

故选B．

6.【答案】A；

【解析】当x＝2时，y＝－x＋2＝1，A(2,1)，S1＝S△AOC＝×2×1＝1；

当x＝a时，y＝－x＋2＝－a＋2，B(a，－a＋2)，

S2＝S△BOD＝×a×＝－a2＋a＝－ (a－2)2＋1，

当a＝2时，S2有最大值1，当a≠2时，S2＜1.所以S1＞S2.

二、填空题

7．【答案】(1，0) ；

【解析】的对称轴，由二次函数的对称性知，抛物线与x轴两交点关于对称轴对称，所以，所以设另一交点坐标为(x1，0)，则，解得x1＝1，故坐标为(1，0)．

8．【答案】；

【解析】在Rt△AOB中，AO＝10.sin∠AOB＝，则AB＝6，OB＝8.又点C是AC中点，得C(4,3)，k＝4×3＝12，.当x＝8时，.∴D坐标为.

9．【答案】－4；

【解析】设A(x，y)．S△AOB＝ OB·AB＝·|x|·|y|＝ x·(－y)＝＝2.

所以xy＝－4，即k＝－4.

10．【答案】2＜x＜3；

【解析】∵二次函数y1=x2﹣x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），∴由图象得：若0＜y1＜y2，则x的取值范围是：2＜x＜3．

11．【答案】(8n－4)；

【解析】设直线OP的解析式为y＝kx，由P(4,4)，得4＝4k，k＝，

∴y＝x.则S1＝×(3－1)×(＋3)＝4，

S2＝×(7－5)×(5＋7)＝12，

S3＝×(11－9)×(9＋11)＝20，……，

所以Sn＝4(2n－1)＝(8n－4).

12．【答案】 (2n－1－1,2n－1)； 

【解析】可求得A1(0,1)，A2(1,2)，A3(3,4)，A4(7,8)，…，其横坐标0,1,3,7…的规律为2n－1－1，纵坐标1,2,4,8…的规律为2n－1，所以点An的坐标为(2n－1－1,2n－1)．

三、解答题

13.【答案与解析】

    解：(1)∵PQ⊥AP，∴∠CPQ+∠APB＝90°．

 又∵∠BAP+∠APB＝90°，

∴∠CPQ＝∠BAP，

∴  tan∠CPQ＝tan∠BAP，

因此点P在BC上运动时始终有．

∵AB＝BC＝4，BP＝x，CQ＝y，

∴，

∴．

∵，

∴y有最大值，当x＝2时，(cm)．

(2)由(1)知，当y＝cm时，

，整理，得．

∵，

∴．

x的值是cm或cm．

14.【答案与解析】

解：（1）由题意可得：y=；

（2）由题意可得：w=，

化简得：w=，

即w=，

由题意可知x应取整数，故当x=﹣2或x=﹣3时，w＜6125＜6250，

故当销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6250元；

（3）由题意w≥6000，如图，令w=6000，

即6000=﹣10（x﹣5）2+6250，6000=﹣20（x+）2+6125，

解得：x1=﹣5，x2=0，x3=10，

﹣5≤x≤10，

故将销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元．

15.【答案与解析】

解：(1)对于关于x的二次函数，

由于△＝(-m)2-4×1×，

所以此函数的图象与x轴没有交点．

对于关于x的二次函数．

由于，

所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点．

    故图象经过A，B两点的二次函数为  ．

(2)将A(-1，0)代入，得．

整理，得m2-2＝0．

    解之，得m＝0，或m＝2．

    当m＝0时，y＝x2-1．令y＝0，得x2-1＝0．

    解这个方程，得x1＝-1，x2＝1．

    此时，B点的坐标是B(1，0)．

    当m＝2时，．

    令y＝0，得．

    解这个方程，得x1＝-1，x2＝3．

    此时，B点的坐标是B(3，0)．

(3)当m＝0时，二次函数为y＝x2-l，此函数的图象开口向上，对称轴为x＝0，所以当x＜0时，

函数值y随x的增大而减小．

当m＝2时，二次函数为y＝x2-2x-3＝(x-1)2-4，此函数的图象开口向上，对称轴为x＝l，

所以当x＜l时，函数值y随x的增大而减小．

16.【答案与解析】

    解：探究(1)①(1，0)；  ②.

 (2)过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为A′，D′，B′，则AA′∥BB′∥DD′．

∵D为AB中点，由平行线分线段成比例定理得A′D′＝D′B′．

∴OD′＝，

即D点的横坐标是．

同理可得D点的纵坐标是，

   ∴AB中点D的坐标为，

归纳  ，，

运用  ①由题意得

解得， 或 

∴即交点的坐标为A(-1，-3)，B(3，1)．

②以AB为对角线时，

由上面的结论知AB中点M的坐标为(1，-1)，

∵平行四边形对角线互相平分，

∴OM＝MP，即M为OP的中点，

∴P点坐标为(2，-2)，

同理可得分别以OA，OB为对角线时，点P坐标分别为(4，4)，(-4，-4)，

∴满足条件的点P有三个，坐标分别是(2，-2)，(4，4)，(-4，-4)．