中考数学一轮知识复习和巩固练习考点09 平面直角坐标系与一次函数、反比例函数（基础巩固） (含详解)

考向09平面直角坐标系与一次函数、反比例函数—基础巩固

【知识梳理】

考点一、平面直角坐标系
1.平面直角坐标系

平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来.

2．各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点

    点P(x,y)在第一象限；

点P(x,y)在第二象限；

点P(x,y)在第三象限；

点P(x,y)在第四象限；

点P(x,y)在x轴上，x为任意实数；

点P(x,y)在y轴上，y为任意实数；

点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）.

3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等；

点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数.

4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同；

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同.

5.关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征

点P与点p′关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数；

点P与点p′关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数；

点P与点p′关于原点对称横、纵坐标均互为相反数.

6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离

（1）点P(x,y)到x轴的距离等于；

（2）点P(x,y)到y轴的距离等于；

（3）点P(x,y)到原点的距离等于.

7.在平面直角坐标系内两点之间的距离公式

如果直角坐标平面内有两点，那么A、B两点的距离为：

.

两种特殊情况：

（1）在直角坐标平面内，轴或平行于轴的直线上的两点的距离为：

（2）在直角坐标平面内，轴或平行于轴的直线上的两点的距离为：

方法指导：

（1）注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限；

（2）平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标.

考点二、函数

1.函数的概念

设在某个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.

2.自变量的取值范围

对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保证数学式子有意义.

3．表示方法

⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法.

4．画函数图象

   （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.

方法指导：

   （1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量；

（2）确定自变量取值范围的原则：①使代数式有意义；②使实际问题有意义.

考点三、几种基本函数（定义→图象→性质）

1.正比例函数及其图象性质　

（1）正比例函数：如果y=kx(k是常数，k≠0)，那么y叫做x的正比例函数．

（2）正比例函数y=kx（ k≠0)的图象：

　  过（0，0），（1，K）两点的一条直线．

（3）正比例函数y=kx （k≠0)的性质

    ①当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；

    ②当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小 .         

2.一次函数及其图象性质　　

（1）一次函数：如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0),那么y叫做x的一次函数．

（2）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象     

（3）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象的性质

一次函数y＝kx＋b的图象是经过(0，b)点和点的一条直线．

①当k>0时，y随x的增大而增大；
②当k<0时，y随x的增大而减小．　　　　　 　　　　　

(4)用函数观点看方程(组)与不等式

①任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)，当y＝0时，求相应的自变量的值，从图象上看，相当于已知直线y＝kx＋b，确定它与x轴交点的横坐标．

②二元一次方程组对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这两个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标．

③任何一元一次不等式都可以转化ax＋b＞0或ax＋b＜0(a、b为常数，a≠0)的形式，解一元一次不等式可以看做：当一次函数值大于0或小于0时，求自变量相应的取值范围．

方法指导：

 （1）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例；

  （2）确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k.

确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b.

解这类问题的一般方法是待定系数法.

（3）直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0 ，k2≠0）的位置关系．

①k1≠k2y1与y2相交；

②y1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；

③y1与y2平行；

④y1与y2重合.

3.反比例函数及其图象性质

（1）定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.

三种形式：(k≠0)或(k≠0)或xy=k(k≠0).

（2）反比例函数解析式的特征：

①等号左边是函数，等号右边是一个分式.分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1；

②比例系数；

③自变量的取值为一切非零实数；

④函数的取值是一切非零实数.

（3）反比例函数的图象

①图象的画法：描点法

列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）；

描点（由小到大的顺序）；

连线（从左到右光滑的曲线）.

②反比例函数的图象是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.

③反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是和）和中心对称图形（对称中心是坐标原点）.

④反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线 （）上任意点引轴、轴的垂线，所得矩形面积为.

（4）反比例函数性质：

（5）反比例函数解析式的确定：

利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出）

（6）“反比例关系”与“反比例函数”：

成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系.

（7）反比例函数的应用

      反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数图像上任一点 作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足为M、N，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=.

  ∴.

(8)正比例函数和反比例函数的交点问题

    若正比例函数(≠0)，反比例函数，则

    当时，两函数图象无交点；

    当时，两函数图象有两个交点，

坐标分别为(，)，(，)．

由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称．

方法指导：

（1）用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）；

（2）利用一次（正比例）函数、反比例函数的图象求不等式的解集.

【基础巩固训练】

一、选择题
1. 下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是(   )

2．直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是（　　）

A．（﹣4，0） B．（﹣1，0） C．（0，2） D．（2，0）

3．若正比例函数y=（1-2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1﹤x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（   ）

A．m＜O  B．m＞0     C．m＜ D．m＞

4．已知正比例函数与反比例函数的图象有一个交点的坐标为，则它的另一个交点的坐标是（   ）

A.       B.       C.      D.

5．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过第（   ）象限．

    A.一          B.二            C.三          D.四

6．反比例函数图象上有三个点，，，其中，则，，的大小关系是(    )

A．     B．　　 C．　　 D．

二、填空题

7．已知y与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y关于x的函数关系式是           .

8．从-2，-1，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数y＝kx+b的系数k，b，则一次函数

y＝kx+b的图象不经过第四象限的概率是________．

9．已知直线y=-2x+m不经过第三象限，则m的取值范围是_________．

10．过点P（8，2）且与直线y=x+1平行的一次函数解析式为_________．       

11．如图，点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在双曲线上，且，；分别过点A、B向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为C、D、E、F，AC与BF相交于G点，四边形FOCG的面积为2，五边形AEODB的面积为14，那么双曲线的解析式为                ．
   

12．在直角坐标系中，直线y=x+1与y轴交于点A，按如图方式作正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2…，A1、A2、A3…在直线y=x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、…Sn，则Sn的值为 　      （用含n的代数式表示，n为正整数）．

三、解答题

13．已知一次函数y=（3-k）x-2k2+18.

（1）k为何值时，它的图象经过原点？

（2）k为何值时，它的图象经过点（0，-2）?

（3）k为何值时，它的图象平行于直线y=-x？

（4）k为何值时，y随x的增大而减小？

14. 某企业信息部进行市场调研发现：

信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润yA(万元)与投资金额x(万元)之间存在正比例函数关系：yA＝kx，并且当投资5万元时，可获得利润2万元；

信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润yB(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系：yB＝ax2+bx，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．

(1)请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数的表达式；

(2)如果企业同时对A、B两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少．

15．小张骑车往返于甲、乙两地，距甲地的路程y(km)与时间x(h)的函数图象如图所示．

(1)小张在路上停留________h，他从乙地返回时骑车的速度为km/h．

(2)小李与小张同时从甲地出发，按相同路线匀速前往乙地，小李到乙地停止，途中小李与小张共同相遇3次．请在图中画出小李距甲地的路程y(km)与时间x(h)的函数的大致图象．

(3)小王与小张同时出发，按相同的路线前往乙地，距甲地的路程y(km)与时间x(h)的函数关系为y＝12x+10，小王与小张在途中共相遇几次？请你计算出第一次相遇的时间．

16.如图，已知反比例函数的图象与一次函数y=ax+b的图象相交于点A（1，4）和点B（n，﹣2）．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围．

答案与解析

一、选择题
1.【答案】C；

【解析】 考查函数的定义．

2.【答案】D；

【解析】直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后解析式为y=2x+2﹣6=2x﹣4，

当y=0时，x=2，

因此与x轴的交点坐标是（2，0），故选：D．

3.【答案】D；

【解析】本题考查正比例函数的图象和性质，因为当x1＜x2时，y1＞y2，说明y随x的增大而减小，

所以1-2m﹤O,∴m＞，故正确答案为D．

4.【答案】A；

【解析】通常我们求交点坐标的方法是将两个函数解析式联立方程组，来求交点坐标

          所以需要先通过待定系数法求出正比例函数与反比例函数的

解析式，将代入两个函数解析式求得

，解得或，另一交点坐标为

5.【答案】B；

【解析】∵直线y=kx+b经过一、二、四象限，∴ 对于直线y=bx+k，

∵ ∴图像不经过第二象限，故应选B．

6.【答案】B；

【解析】该题有三种解法：解法①，画出的图象，然后在图象上按要求描出三个已知点，便可得到的大小关系;解法②,特殊值法，将三个已知点（自变量x选特殊值）代入解析式，计算后可得到的大小关系；解法③，根据反比例函数的性质，可知y1，y2都小于0，而y3＞0，且在每个象限内，y值随x值的增大而减小，而x1＜x2，∴y2＜y1＜0.故，故选B.

二、填空题

7．【答案】y=2x+2；

【解析】设y关于x的函数关系式为y=k（x+1）.

∵当x=5时，y=12，

∴12=（5+1）k，∴k=2．

∴y关于x的函数关系式为y=2x+2．

8．【答案】；

【解析】

．

         ∴  一次函数图象不经过第四象限的概率是．

9．【答案】m≥0；

  【解析】提示：应将y=-2x+m的图像的可能情况考虑周全．

10．【答案】y=x-6；

【解析】设所求一次函数的解析式为y=kx+b．

∵直线y=kx+b与y=x+1平行，∴k=1，

∴y=x+b．将P（8，2）代入，得2=8+b，b=-6，∴所求解析式为y=x-6．

11．【答案】；

   【解析】本题考查反比例函数的面积不变性,由四边形FODB的面积=四边形EOCA的面积=k ，又因为五边形AEODB的面积=四边形FODB的面积+四边形EOCA的面积-四边形FOCG的面积+三角形ABG的面积，所以14=2k-2+4，因此k=6.

12．【答案】 22n﹣3； 

【解析】∵直线y=x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=﹣1，

∴OA1=1，OD=1，

∴∠ODA1=45°，

∴∠A2A1B1=45°，

∴A2B1=A1B1=1，

∴S1=×1×1=，

∵A2B1=A1B1=1，

∴A2C1=2=21，

∴S2=×（21）2=21

同理得：A3C2=4=22，…，

S3=×（22）2=23

∴Sn=×（2n﹣1）2=22n﹣3

故答案为：22n﹣3．

三、解答题

13.【答案与解析】

解：（1）图象经过原点，则它是正比例函数．

∴∴k＝-3．

∴当k=-3时，它的图象经过原点．

（2）该一次函数的图象经过点（0，-2）.

∴-2=-2k2+18，且3-k≠0，

∴k=±

∴当k=±时，它的图象经过点(0，-2)

（3）函数图象平行于直线y=-x，

∴3-k=-1，

∴k＝4．

∴当k＝4时，它的图象平行于直线x=-x．

（4）∵随x的增大而减小，

∴3-k﹤O．

∴k＞3．

∴当k＞3时，y随x的增大而减小．

14.【答案与解析】

    解：(1)当x＝5时，yA＝2，2＝5k，k＝0.4，

    ∴  yA＝0.4x．

    当x＝2时，yB＝2.4；当x＝4时，yB＝3.2．

    ∴ 

    解得

    ∴  ．

    (2)设投资B种商品x万元，则投资A种商品(10-x)万元，获得利润W万元，根据题意可得

    W＝-0.2x2+1.6x+0.4(10-x)＝-0.2x2+1.2x+4，

    ∴  W＝-0.2(x-3)2+5.8，

    当投资B种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元．

    ∴  投资A种商品7万元，B种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．

15.【答案与解析】

    (1)1，30

  (2)所画图象如图所示，要求图象能正确反映起点终点．

(3)由函数的图象可知，小王与小张在途中相遇2次，并在出发后2到4小时之间第一次相遇．

当2≤x≤4时，y＝20x-20，

由  得．

答：小王与小张在途中第一次相遇的时间为h．

16.【答案与解析】

解：（1）∵反比例函数的图象过点A（1，4），

∴4=，即m=4，

∴反比例函数的解析式为：y=．

∵反比例函数y=的图象过点B（n，﹣2），

∴﹣2=，

解得：n=﹣2

∴B（﹣2，﹣2）．

∵一次函数y=ax+b（k≠0）的图象过点A（1，4）和点B（﹣2，﹣2），

∴，

解得 ．

∴一次函数的解析式为：y=2x+2；

（2）由图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜1时，一次函数的值小于反比例函数的值．