中考数学一轮知识复习和巩固练习考点02 整式与因式分解（基础巩固） (含详解)

考向02整式与因式分解—基础巩固

【知识梳理】

考点一、整式
1.单项式
　　数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式．

方法指导：

（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．

（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．

2.多项式
　　几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．

方法指导：

（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．

（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．

（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．

（4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．

3.整式
　　单项式和多项式统称整式．
    4.同类项
　　所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项．
    5.整式的加减
　　整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．
　　把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.
　　如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
　　整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
    6.整式的乘除
　　①幂的运算性质：
　　　
　　②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
　　③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：
　　④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：
　　　平方差公式：

完全平方公式：
　　　           
　　　在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
　　⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
　　⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
 

方法指导：

（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.

（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，

即（都是正整数）.

（3）公式的推广： (，均为正整数)

（4）公式的推广： (为正整数).

考点二、因式分解

1.因式分解
　　 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．
    2.因式分解常用的方法

    （1）提取公因式法：

    （2）运用公式法：

平方差公式：；完全平方公式：

（3）十字相乘法：

3.因式分解的一般步骤

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；

（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；

（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.

方法指导：

（1）因式分解的对象是多项式；

（2）最终把多项式化成乘积形式；

（3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止．

（4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.

【基础巩固训练】

一、选择题

1.下列计算中错误的是(    )

A. 

B.

C. 

D.

2. 已知与一个多项式之积是，则这个多项式是(    )

A.   B.

C. D.

3．把代数式分解因式，下列结果中正确的是（    ）

A．        B．      

C．       D．

4．若（x+2）（x﹣1）=x2+mx+n，则m+n=（　　）

A．1     B．﹣2   C．﹣1  D．2

5. 如果，则为 (　   )

A．5　　　   B．－6　　　   C．－5　　　 D．6

6．把进行分组，其结果正确的是（    ）

　 A. 　　  B.

　C. 　　  D.

二、填空题

7．已知，则的值为       ．

8．(1)已知＝3，＝2，__________．(2)已知＝6，＝8，___________．

9．分解因式：_________________．

10．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证　  　（填写序号）．

①（a+b）2=a2+2ab+b2      ②（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2

③a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）  ④（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2．

11．多项式可分解为，则,的值分别为_________.

12.分解因式：＝__      ______.

三、解答题

13．将下列各式分解因式：

（1）；          （2）；

（3）；       （4）.

14.（1）实验与观察：（用“＞”、“=”或“＜”填空）

当x=﹣5时，代数式x2﹣2x+2　   　1；

当x=1时，代数式x2﹣2x+2　    　1；…

（2）归纳与证明：换几个数再试试，你发现了什么？请写出来并证明它是正确的；

（3）拓展与应用：求代数式a2+b2﹣6a﹣8b+30的最小值．

15. 已知 ，求下列代数式的值：(1)； (2).

16.若三角形的三边长是，且满足，试判断三角形的形状.

小明是这样做的：

 解：∵，∴.

        即

        ∵，∴.

        ∴该三角形是等边三角形.

仿照小明的解法解答问题：

已知： 为三角形的三条边，且，试判断三角形的形状.

答案与解析

一、选择题
1.【答案】D；

  【解析】.

2.【答案】C；

  【解析】这个多项式为.

3.【答案】D；

【解析】运用提取公因式法和公式法因式分解.

4.【答案】C；

  【解析】∵原式=x2+x﹣2=x2+mx+n，

∴m=1，n=﹣2．

∴m+n=1﹣2=﹣1．故选：C．

5.【答案】B；

  【解析】由题意.

6.【答案】D；

  【解析】原式＝.

二、填空题

7．【答案】5；

【解析】由得．∴  ．

8．【答案】(1)；(2)；

  【解析】（1）；（2）.

9．【答案】；

【解析】原式

令，

.

10．【答案】 ③；

   【解析】∵图甲中阴影部分的面积=a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a﹣b），

而两个图形中阴影部分的面积相等，

∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．

故可以验证③．故答案为：③．

11．【答案】；

   【解析】，所以，.

12.【答案】；

【解析】.

三、解答题

13.【答案与解析】

（1）；

（2）.

（3）；

（4）因为

所以：原式

14.【答案与解析】

解：（1）把x=﹣5代入x2﹣2x+2中得：25+10﹣2=33＞1；

把x=1代入x2﹣2x+2中得：1﹣2+1=1，

故答案为：＞，=；

（2）∵x2﹣2x+2=x2﹣2x+1+1=（x﹣1）2+1，

X为任何实数时，（x﹣1）2≥0，

∴（x﹣1）2+1≥1；

（3）a2+b2﹣6a﹣8b+30=（a﹣3）2+（b﹣4）2+5．

∵（a﹣3）2≥0，（b﹣4）2≥0，

∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+5≥5，

∴代数式a2+b2﹣6a﹣8b+30的最小值是5．

15.【答案与解析】

（1）

         ∴.

（2）已知两边同除以，得

     ∴

     ∴.

16.【答案与解析】

     ∵

    ∴

    ∴

    ∴，该三角形是等边三角形