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高中物理2 万有引力定律测试题
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这是一份高中物理2 万有引力定律测试题，共18页。
1．了解万有引力定律得出的思路和过程。
2．理解万有引力定律的含义并会推导万有引力定律，记住引力常量G并理解其内涵。
3．知道任何物体间都存在着万有引力，且遵循相同的规律。
【学习重点】
1．万有引力定律的推导。
2．万有引力定律的内容及表达公式。
【学习难点】
1．对万有引力定律的理解。
2．使学生能把地面上的物体所受的重力与其他星球与地球之间存在的引力是同性质的力联系起来。
一、eq \a\vs4\al(太阳与行星间的引力)
1．模型简化
（一）两个理想化模型
(1)匀速圆周运动模型：由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近，行星的运动轨迹非常接近圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动。
(2)质点模型：由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，即天体的质量集中在球心上。
（二）太阳对行星的引力
行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力。
太阳对行星的引力推导F
（1）行星做圆周运动需要的向心力
（2）周期T可以观测，则线速度
（3）开普勒第三定律
2.太阳与行星间的引力的特点
(1)太阳与行星间的引力大小与三个因素有关：太阳质量、行星质量、太阳与行星间的距离。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线方向。
(2)太阳与行星间的引力是相互的，遵守牛顿第三定律。
(3)太阳对行星的引力效果是向心力，使行星绕太阳做匀速圆周运动。
3．行星对太阳的引力
根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F′的大小也存在与上述关系类似的结果，即F′∝。
4．太阳与行星间的引力
由于F∝、F′∝，且F＝F′，则有F∝，写成等式F＝Geq \f(Mm,r2)，式中G为比例系数。
二、万有引力定律
（一）月—地检验
(1)猜想：维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，同样遵从“平方反比”的规律。
(2)推理：根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速度大约是它在地面附近下落时的加速度的。
(3)结论：自由落体加速度和月球的向心加速度与我们的预期符合得很好。这表明：地球物体所受的地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。
（二）万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
(2)表达式：F＝，式中质量的单位kg，距离的单位m，力的单位N，G是比例系数，叫作引力常量。
(3)引力常量
①大小：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。
②测定：英国物理学家卡文迪许在实验室比较精确地测出了G的数值。
（三）eq \a\vs4\al(对万有引力定律的理解)
1.万有引力公式的适用条件
(1)F＝eq \f(Gm1m2,r2)只适用于质点间的相互作用，但当两物体间的距离远大于物体本身的线度时，物体可视为质点，公式也近似成立。
(2)当两物体是质量分布均匀的球体时，它们间的引力也可直接用公式计算，但式中的r是指两球心间的距离。
2.对万有引力定律的理解
（四）eq \a\vs4\al(万有引力与重力的关系)
当不忽略地球自转时，在纬度不同的地方，物体随地球做圆周运动的角速度ω相同，而圆周的半径不同，设纬度为α，如图所示，则向心力F向＝mω2Rcs α(R为地球半径)，可见，随着纬度升高，向心力将减小。
1．万有引力和重力的大小关系
(1)在两极
Rcs α＝0，则F向＝0，重力和万有引力大小相等，mg＝Geq \f(Mm,R2)。
(2)在赤道
F向＝mRω2，万有引力等于重力和向心力之和，
Geq \f(Mm,R2)＝mg＋mRω2。
2．地球重力加速度g及变化
(1)地球表面的重力加速度
若不考虑地球自转，在地球表面处有mg＝Geq \f(Mm,R2)，可以得出地球表面处的重力加速度g＝eq \f(GM,R2)。
(2)某高度处的重力加速度
在距地表高度为h的高空处，万有引力引起的重力加速度为g′，则mg′＝Geq \f(Mm,(R＋h)2)。
即距地面高度为h处的重力加速度
g′＝eq \f(GM,(R＋h)2)＝eq \f(R2,(R＋h)2)g。
eq \a\vs4\al(利用万有引力定律求引力)
3.万有引力的两点注意
(1)引力常量极小，一般物体间的万有引力是极小的，受力分析时可忽略。
(2)任何两个物体间都存在着万有引力，但并非所有的物体之间的万有引力都可以用F＝Geq \f(m1m2,r2)进行计算，质点间或能看成质点的物体间的引力可以应用公式F＝Geq \f(m1m2,r2)计算其大小。
1．判断下列说法的正误．
(1)万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间．( √ )
(2)牛顿发现了万有引力定律，并测出了引力常量．( × )
(3)质量一定的两个物体，若距离无限小，它们间的万有引力趋于无限大．( × )
(4)由于太阳质量大，太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力．( × )
2．两个质量都是1 kg的物体(可看成质点)，相距1 m时，两物体间的万有引力F＝________ N，其中一个物体的重力F′＝________ N，万有引力F与重力F′的比值为________．(已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，取重力加速度g＝10 m/s2)
答案 6.67×10－11 10 6.67×10－12
知识点一、对太阳与行星间引力的理解
万有引力定律的得出过程
【经典例题1】关于行星对太阳的引力，下列说法正确的是( )
A．行星对太阳的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力
B．行星对太阳的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离成反比
C．太阳对行星的引力公式是由实验得出的
D．太阳对行星的引力公式是由开普勒定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的
答案 D
【变式训练1】(多选)根据开普勒行星运动定律和圆周运动的知识知：太阳对行星的引力F∝eq \f(m,r2)，行星对太阳的引力F′∝eq \f(m太,r2)，其中m太、m、r分别为太阳质量、行星质量和太阳与行星间的距离，下列说法正确的是( )
A．由F′∝eq \f(m太,r2)和F∝eq \f(m,r2)，得F∶F′＝m∶m太
B．F和F′大小相等，是作用力与反作用力
C．F和F′大小相等，是同一个力
D．太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力
答案 BD
解析 由于力的作用是相互的，则F′和F大小相等、方向相反，是作用力与反作用力，太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力，故正确答案为B、D.
知识点二、万有引力定律
1．万有引力定律表达式：F＝Geq \f(m1m2,r2)，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
2．万有引力定律公式的适用条件
(1)两个质点间的相互作用．
(2)一个均匀球体与球外一个质点间的相互作用，r为球心到质点的距离．
(3)两个质量均匀的球体间的相互作用，r为两球心间的距离．
【经典例题1】对于万有引力定律的表达式F＝Geq \f(m1m2,r2)，下列说法正确的是( )
A．公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的
B．当r趋近于零时，万有引力趋于无穷大
C．对于m1与m2间的万有引力，质量大的受到的引力大
D．m1与m2受到的引力是一对平衡力
答案 A
解析 万有引力定律的表达式F＝Geq \f(m1m2,r2)，公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的，选项A正确；当r趋近于零时，万有引力定律表达式不再适用，选项B错误；m1与m2间的万有引力是相互作用力，两物体受到的万有引力是等大反向的，选项C错误；m1与m2受到的引力是一对相互作用力，因作用在两个物体上，故不是平衡力，选项D错误．
【变式训练1】 关于万有引力公式，以下说法正确的是（ ）
A. 公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B. 当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
C. 两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律
D. 公式中引力常量G的值是牛顿规定的
【答案】C
【解析】
【详解】万有引力定律适用于任何两个可以看成质点的物体之间或均质球体之间的引力计算，故A错误；当两物体间的距离趋近于0时，万有引力公式不再适用，万有引力不会趋近于无穷大，故B错误；两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律，总是大小相等、方向相反，是一对相互作用力，故C正确；公式中引力常量G的值是卡文迪许测定的，故D错误．所以C正确，ABD错误．
【经典例题2】如图所示，两球间的距离为r0.两球的质量分布均匀，质量分别为m1、m2，半径分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为( )
A．Geq \f(m1m2,r02) B.eq \f(Gm1m2,r12)
C.eq \f(Gm1m2,r1＋r22) D.eq \f(Gm1m2,r1＋r2＋r02)
答案 D
解析 两个匀质球体间的万有引力F＝Geq \f(m1m2,r2)，r是两球心间的距离，选D.
【变式训练2】如图所示，某行星绕太阳运行的轨道为椭圆，该行星在近日点A受到太阳对它的万有引力为，在远日点B受到太阳对它的万有引力为。和则大小关系为（ ）
A. ﹤B. =C. ﹥D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【详解】根据万有引力定律可得
由于该行星在近日点时距离太阳的距离小于在远日点时距离太阳的距离，故有
故C正确，A、B、D错误；
故选C
知识点三、重力和万有引力的关系
1.地球表面处重力与万有引力的关系：除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力．地球对物体引力的一个分力F′提供向心力，另一个分力为重力G，如图3所示．
图3
(1)当物体在两极时：G＝F引，重力达到最大值Gmax＝Geq \f(Mm,R2).
方向与引力方向相同，指向地心．
(2)当物体在赤道上时：
F′＝mω2R最大，此时重力最小
Gmin＝Geq \f(Mm,R2)－mω2R
方向与引力方向相同，指向地心．
(3)从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F′＝mω2R′减小，F′与F引夹角增大，所以重力G在增大，重力加速度增大．
因为F′、F引、G不在一条直线上，重力G与万有引力F引方向有偏差，重力大小mg2．重力与高度的关系
若距离地面的高度为h，则mg′＝Geq \f(Mm,R＋h2)(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)．在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小．
3．特别说明
(1)重力是物体由于地球吸引产生的，但重力不是地球对物体的引力．
(2)在忽略地球自转的情况下，认为mg＝Geq \f(Mm,R2).
【经典例题1】(多选)如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．P、Q受地球引力大小相等
B．P、Q做圆周运动的向心力大小相等
C．P、Q做圆周运动的角速度大小相等
D．P、Q两质点的重力大小相等
答案 AC
解析 P、Q两质点所受地球引力都是F＝Geq \f(Mm,r2)，故A正确；P、Q都随地球一起转动，其角速度一样大，但P的轨道半径大于Q的轨道半径，根据Fn＝mω2r可知P的向心力大，故B错误，C正确；物体的重力为万有引力的一个分力，在赤道处最小，随着纬度的增加而增大，在两极处最大，故D错误．
【变式训练1】火星半径是地球半径的eq \f(1,2)，火星质量大约是地球质量的eq \f(1,9)，那么地球表面上质量为50 kg的宇航员(地球表面的重力加速度g取10 m/s2)
(1)在火星表面上受到的重力是多少？
(2)若宇航员在地球表面能跳1.5 m高，那他在火星表面能跳多高？
答案 (1)222.2 N (2)3.375 m
解析 (1)在地球表面有mg＝Geq \f(Mm,R2)
在火星表面上有mg′＝Geq \f(M′m,R′2)
代入数据，联立解得g′＝eq \f(40,9) m/s2
则宇航员在火星表面上受到的重力
G′＝mg′＝50×eq \f(40,9) N≈222.2 N.
(2)在地球表面宇航员跳起的高度H＝eq \f(v02,2g)
在火星表面宇航员能够跳起的高度h＝eq \f(v02,2g′)
联立解得h＝eq \f(g,g′)H＝eq \f(10,\f(40,9))×1.5 m＝3.375 m.
一、单项选择题
1. 牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但不知道引力常量G的值，第一个在实验室比较准确测定引力常量G值的科学家是
A. 哥白尼B. 第谷C. 开普勒D. 卡文迪许
【答案】D
【解析】
【详解】根据物理学史可知，第一个在实验室比较准确测定引力常量G值的科学家是卡文迪许．
A. 哥白尼，与结论不相符，选项A错误；
B. 第谷，与结论不相符，选项B错误；
C 开普勒，与结论不相符，选项C错误；
D. 卡文迪许，与结论相符，选项D正确；
2.两个质点之间万有引力的大小为F，如果将这两个质点之间的距离变为原来的2倍，那么它们之间万有引力的大小变为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】根据万有引力定律公式得，将这两个质点之间的距离变为原来的2倍，则万有引力的大小变为原来的，故万有引力变为．
A. 与结论相符，选项A正确；
B. 与结论不相符，选项B错误；
C. 与结论不相符，选项C错误；
D. 与结论不相符，选项D错误；
3.物理学领域中具有普适性的一些常量，对物理学的发展有很大作用，引力常量就是其中之一。1687年牛顿发现了万有引力定律，但并没有得出引力常量。直到1798年，卡文迪许首次利用如图所示的装置，比较精确地测量出了引力常 量。关于这段历史，下列说法错误的是（ ）
A. 卡文迪许被称为“首个测量地球质量的人”
B. 万有引力定律是牛顿和卡文迪许共同发现的
C. 这个实验装置巧妙地利用放大原理，提高了测量精度
D. 引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小
【答案】B
【解析】
【详解】A．卡文迪许因为首次比较精确地测量出了引力常量，被称为“首个测量地球质量的人”，选项A正确，不符合题意；
B．万有引力定律是牛顿发现的，选项B错误，符合题意；
C．这个实验装置巧妙地利用放大原理，提高了测量精度，选项C正确，不符合题意；
D．引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小，选项D正确，不符合题意。
故选B。
4.牛顿定律不适用于下列哪些情况( )
A. 研究原子中电子的运动B. 研究“嫦娥三号”的高速发射
C. 研究地球绕太阳的运动D. 研究飞机从北京飞往纽约的航线
【答案】A
【解析】
【详解】A.牛顿第二定律不适用于微观原子，A正确；
BCD.都是宏观低速运动的物体（与光速比速度较低），牛顿运动定律都适用，BCD错误。
故选A。
5.两个质量均匀的球体相距r，它们之间的万有引力为，若它们的质量、距离都增加为原来的2倍，则它们间的万有引力为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
根据万有引力定律得，若它们的质量、距离都增加为原来的2倍，则万有引力不变．则，故选A.
6.如图所示，两个星体的质量均为m，O为两星体连线的中点，连线的垂直平分线为MN，可视为质点的一颗小行星从O点沿OM方向运动（到无穷远），则小行星所受到的万有引力大小F随距离r的大致变化为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为在连线的中点时所受万有引力的和为零，当运动到很远很远时合力也为零（因为距离无穷大万有引力为零），而在其他位置不是零所以先增大后减小。设两个质量均为m的星体的距离是2L，物体质量是m′，物体沿OM方向运动距离是r时，它所受到的万有引力大小为
所以F和r不是线性关系。故选D。
7.万有引力常量G的单位是（ ）
A. N•kg2/m2B. kg2/N•m2C. N•m2/kg2D. m2/N•kg2
【答案】C
【解析】
【详解】万有引力定律F=G，公式中，质量m的单位为kg，距离r的单位为m，引力F的单位为N，由公式推导得出，G的单位为N•m2/kg2．故C正确，ABD错误；
故选C．
8.地球的质量为M，半径为R。质量为m的宇航员离地面高度为h时，受到地球的万有引力为（ ）
A. F＝GB. F＝G
C. F＝GD. F＝G
【答案】D
【解析】
【详解】根据万有引力公式有，其中
万有引力大小为
故D正确，ABC错误；
故选D。
二、多项选择题
9.对于公式理解正确是（ ）
A. m1与m2之间的相互作用力，总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
B. m1与m2之间的相互作用力，总是大小相等、方向相反，是一对作用力与反作用力
C. 当r趋近于零时F趋向无穷大
D. 当r趋近于零时，公式不适用
【答案】BD
【解析】
【详解】AB．两物体间的万有引力是一对相互作用力，而非平衡力，故A错误，B正确；
CD．万有引力公式F=只适用于质点间的万有引力计算，当r→0时，物体便不能再视为质点，公式不适用，故C错误，D正确。
故选BD。
10.下列说法符合史实的是（ ）
A. 开普勒发现了行星的运动定律
B. 牛顿发现了万有引力定律
C. 卡文迪许第一次在实验室里测出了万有引力常量
D. 牛顿发现海王星和冥王星
【答案】ABC
【解析】
【详解】AB．牛顿发现了万有引力定律，开普勒发现了行星的运动规律，故AB正确；
C．卡文迪许首次在实验室里精确测出了万有引力常量，故C正确；
D．科学家亚当斯通过对天王星的长期观察发现，其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离，且每隔时间t发生一次最大的偏离．亚当斯利用牛顿发现的万有引力定律对观察数据进行计算，认为形成这种现象的原因可能是天王星外侧还存在着一颗未知行星，后命名为海王星；1930年美国天文学家汤博发现冥王星，故D错误；
故选ABC。
11.下列说法正确的是（ ）
A. 伽利略整理第谷的观测数据，发现了行星运动的三条定律
B. “月一地检验”表明，地面物体所受地球的引力与太阳、行星间的引力是同一种性质的力
C. 经典力学仍然适用于接近光速运动的物体
D. 牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许首次在实验室测出了引力常量
【答案】BD
【解析】
【详解】A．开普勒整理第谷的观测数据，发现了行星的三大运动规律，故A错误；
B．“月—地检验”表明，地面物体所受地球的引力与太阳、行星间的引力是同一种力，故B正确；
C．经典力学只适用于宏观、低速运动的物体，不能适用于接近光速运动的物体，故C错误；
D．牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许第一次在实验室里测出了万有引力常量，故D正确。
故选BD。
12.下列说法正确的是（ ）
A. 开普勒利用自己观察的行星运动数据，通过数学方法建立了开普勒三定律
B. “月地检验”表明地面上的物体所受地球的引力与月球所受地球的引力遵从同样的规律
C. 物理学公认：卡文迪许是第一个在实验室“称量地球质量”的人
D. 随着相对论和量子力学等新科学的提出，经典力学作为新科学在一定条件下的特殊情形，被包括在了新的科学成就之中
【答案】BCD
【解析】
【详解】A．开普勒利用第谷观察的行星运动数据，通过数学方法建立了开普勒三定律，故A错误；
B．“月地检验”表明地面上的物体所受地球的引力与月球所受地球的引力遵从同样的规律，故B正确；
C．卡文迪许首先根据扭秤实验测出了引力常量G，从而根据万有引力等于重力求出了地球的质量，所以物理学公认：卡文迪许是第一个在实验室“称量地球质量”的人，故C正确；
D．随着相对论和量子力学等新科学的提出，经典力学作为新科学在一定条件下的特殊情形，被包括在了新的科学成就之中，故D正确。
故选BCD。
特点
内容
普遍性
宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性
两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力。
宏观性
地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间，或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
1．了解万有引力定律得出的思路和过程。
2．理解万有引力定律的含义并会推导万有引力定律，记住引力常量G并理解其内涵。
3．知道任何物体间都存在着万有引力，且遵循相同的规律。
【学习重点】
1．万有引力定律的推导。
2．万有引力定律的内容及表达公式。
【学习难点】
1．对万有引力定律的理解。
2．使学生能把地面上的物体所受的重力与其他星球与地球之间存在的引力是同性质的力联系起来。
一、eq \a\vs4\al(太阳与行星间的引力)
1．模型简化
（一）两个理想化模型
(1)匀速圆周运动模型：由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近，行星的运动轨迹非常接近圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动。
(2)质点模型：由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，即天体的质量集中在球心上。
（二）太阳对行星的引力
行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力。
太阳对行星的引力推导F
（1）行星做圆周运动需要的向心力
（2）周期T可以观测，则线速度
（3）开普勒第三定律
2.太阳与行星间的引力的特点
(1)太阳与行星间的引力大小与三个因素有关：太阳质量、行星质量、太阳与行星间的距离。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线方向。
(2)太阳与行星间的引力是相互的，遵守牛顿第三定律。
(3)太阳对行星的引力效果是向心力，使行星绕太阳做匀速圆周运动。
3．行星对太阳的引力
根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F′的大小也存在与上述关系类似的结果，即F′∝。
4．太阳与行星间的引力
由于F∝、F′∝，且F＝F′，则有F∝，写成等式F＝Geq \f(Mm,r2)，式中G为比例系数。
二、万有引力定律
（一）月—地检验
(1)猜想：维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，同样遵从“平方反比”的规律。
(2)推理：根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速度大约是它在地面附近下落时的加速度的。
(3)结论：自由落体加速度和月球的向心加速度与我们的预期符合得很好。这表明：地球物体所受的地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。
（二）万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
(2)表达式：F＝，式中质量的单位kg，距离的单位m，力的单位N，G是比例系数，叫作引力常量。
(3)引力常量
①大小：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。
②测定：英国物理学家卡文迪许在实验室比较精确地测出了G的数值。
（三）eq \a\vs4\al(对万有引力定律的理解)
1.万有引力公式的适用条件
(1)F＝eq \f(Gm1m2,r2)只适用于质点间的相互作用，但当两物体间的距离远大于物体本身的线度时，物体可视为质点，公式也近似成立。
(2)当两物体是质量分布均匀的球体时，它们间的引力也可直接用公式计算，但式中的r是指两球心间的距离。
2.对万有引力定律的理解
（四）eq \a\vs4\al(万有引力与重力的关系)
当不忽略地球自转时，在纬度不同的地方，物体随地球做圆周运动的角速度ω相同，而圆周的半径不同，设纬度为α，如图所示，则向心力F向＝mω2Rcs α(R为地球半径)，可见，随着纬度升高，向心力将减小。
1．万有引力和重力的大小关系
(1)在两极
Rcs α＝0，则F向＝0，重力和万有引力大小相等，mg＝Geq \f(Mm,R2)。
(2)在赤道
F向＝mRω2，万有引力等于重力和向心力之和，
Geq \f(Mm,R2)＝mg＋mRω2。
2．地球重力加速度g及变化
(1)地球表面的重力加速度
若不考虑地球自转，在地球表面处有mg＝Geq \f(Mm,R2)，可以得出地球表面处的重力加速度g＝eq \f(GM,R2)。
(2)某高度处的重力加速度
在距地表高度为h的高空处，万有引力引起的重力加速度为g′，则mg′＝Geq \f(Mm,(R＋h)2)。
即距地面高度为h处的重力加速度
g′＝eq \f(GM,(R＋h)2)＝eq \f(R2,(R＋h)2)g。
eq \a\vs4\al(利用万有引力定律求引力)
3.万有引力的两点注意
(1)引力常量极小，一般物体间的万有引力是极小的，受力分析时可忽略。
(2)任何两个物体间都存在着万有引力，但并非所有的物体之间的万有引力都可以用F＝Geq \f(m1m2,r2)进行计算，质点间或能看成质点的物体间的引力可以应用公式F＝Geq \f(m1m2,r2)计算其大小。
1．判断下列说法的正误．
(1)万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间．( √ )
(2)牛顿发现了万有引力定律，并测出了引力常量．( × )
(3)质量一定的两个物体，若距离无限小，它们间的万有引力趋于无限大．( × )
(4)由于太阳质量大，太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力．( × )
2．两个质量都是1 kg的物体(可看成质点)，相距1 m时，两物体间的万有引力F＝________ N，其中一个物体的重力F′＝________ N，万有引力F与重力F′的比值为________．(已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，取重力加速度g＝10 m/s2)
答案 6.67×10－11 10 6.67×10－12
知识点一、对太阳与行星间引力的理解
万有引力定律的得出过程
【经典例题1】关于行星对太阳的引力，下列说法正确的是( )
A．行星对太阳的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力
B．行星对太阳的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离成反比
C．太阳对行星的引力公式是由实验得出的
D．太阳对行星的引力公式是由开普勒定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的
答案 D
【变式训练1】(多选)根据开普勒行星运动定律和圆周运动的知识知：太阳对行星的引力F∝eq \f(m,r2)，行星对太阳的引力F′∝eq \f(m太,r2)，其中m太、m、r分别为太阳质量、行星质量和太阳与行星间的距离，下列说法正确的是( )
A．由F′∝eq \f(m太,r2)和F∝eq \f(m,r2)，得F∶F′＝m∶m太
B．F和F′大小相等，是作用力与反作用力
C．F和F′大小相等，是同一个力
D．太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力
答案 BD
解析 由于力的作用是相互的，则F′和F大小相等、方向相反，是作用力与反作用力，太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力，故正确答案为B、D.
知识点二、万有引力定律
1．万有引力定律表达式：F＝Geq \f(m1m2,r2)，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
2．万有引力定律公式的适用条件
(1)两个质点间的相互作用．
(2)一个均匀球体与球外一个质点间的相互作用，r为球心到质点的距离．
(3)两个质量均匀的球体间的相互作用，r为两球心间的距离．
【经典例题1】对于万有引力定律的表达式F＝Geq \f(m1m2,r2)，下列说法正确的是( )
A．公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的
B．当r趋近于零时，万有引力趋于无穷大
C．对于m1与m2间的万有引力，质量大的受到的引力大
D．m1与m2受到的引力是一对平衡力
答案 A
解析 万有引力定律的表达式F＝Geq \f(m1m2,r2)，公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的，选项A正确；当r趋近于零时，万有引力定律表达式不再适用，选项B错误；m1与m2间的万有引力是相互作用力，两物体受到的万有引力是等大反向的，选项C错误；m1与m2受到的引力是一对相互作用力，因作用在两个物体上，故不是平衡力，选项D错误．
【变式训练1】 关于万有引力公式，以下说法正确的是（ ）
A. 公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B. 当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
C. 两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律
D. 公式中引力常量G的值是牛顿规定的
【答案】C
【解析】
【详解】万有引力定律适用于任何两个可以看成质点的物体之间或均质球体之间的引力计算，故A错误；当两物体间的距离趋近于0时，万有引力公式不再适用，万有引力不会趋近于无穷大，故B错误；两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律，总是大小相等、方向相反，是一对相互作用力，故C正确；公式中引力常量G的值是卡文迪许测定的，故D错误．所以C正确，ABD错误．
【经典例题2】如图所示，两球间的距离为r0.两球的质量分布均匀，质量分别为m1、m2，半径分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为( )
A．Geq \f(m1m2,r02) B.eq \f(Gm1m2,r12)
C.eq \f(Gm1m2,r1＋r22) D.eq \f(Gm1m2,r1＋r2＋r02)
答案 D
解析 两个匀质球体间的万有引力F＝Geq \f(m1m2,r2)，r是两球心间的距离，选D.
【变式训练2】如图所示，某行星绕太阳运行的轨道为椭圆，该行星在近日点A受到太阳对它的万有引力为，在远日点B受到太阳对它的万有引力为。和则大小关系为（ ）
A. ﹤B. =C. ﹥D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【详解】根据万有引力定律可得
由于该行星在近日点时距离太阳的距离小于在远日点时距离太阳的距离，故有
故C正确，A、B、D错误；
故选C
知识点三、重力和万有引力的关系
1.地球表面处重力与万有引力的关系：除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力．地球对物体引力的一个分力F′提供向心力，另一个分力为重力G，如图3所示．
图3
(1)当物体在两极时：G＝F引，重力达到最大值Gmax＝Geq \f(Mm,R2).
方向与引力方向相同，指向地心．
(2)当物体在赤道上时：
F′＝mω2R最大，此时重力最小
Gmin＝Geq \f(Mm,R2)－mω2R
方向与引力方向相同，指向地心．
(3)从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F′＝mω2R′减小，F′与F引夹角增大，所以重力G在增大，重力加速度增大．
因为F′、F引、G不在一条直线上，重力G与万有引力F引方向有偏差，重力大小mg
若距离地面的高度为h，则mg′＝Geq \f(Mm,R＋h2)(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)．在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小．
3．特别说明
(1)重力是物体由于地球吸引产生的，但重力不是地球对物体的引力．
(2)在忽略地球自转的情况下，认为mg＝Geq \f(Mm,R2).
【经典例题1】(多选)如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．P、Q受地球引力大小相等
B．P、Q做圆周运动的向心力大小相等
C．P、Q做圆周运动的角速度大小相等
D．P、Q两质点的重力大小相等
答案 AC
解析 P、Q两质点所受地球引力都是F＝Geq \f(Mm,r2)，故A正确；P、Q都随地球一起转动，其角速度一样大，但P的轨道半径大于Q的轨道半径，根据Fn＝mω2r可知P的向心力大，故B错误，C正确；物体的重力为万有引力的一个分力，在赤道处最小，随着纬度的增加而增大，在两极处最大，故D错误．
【变式训练1】火星半径是地球半径的eq \f(1,2)，火星质量大约是地球质量的eq \f(1,9)，那么地球表面上质量为50 kg的宇航员(地球表面的重力加速度g取10 m/s2)
(1)在火星表面上受到的重力是多少？
(2)若宇航员在地球表面能跳1.5 m高，那他在火星表面能跳多高？
答案 (1)222.2 N (2)3.375 m
解析 (1)在地球表面有mg＝Geq \f(Mm,R2)
在火星表面上有mg′＝Geq \f(M′m,R′2)
代入数据，联立解得g′＝eq \f(40,9) m/s2
则宇航员在火星表面上受到的重力
G′＝mg′＝50×eq \f(40,9) N≈222.2 N.
(2)在地球表面宇航员跳起的高度H＝eq \f(v02,2g)
在火星表面宇航员能够跳起的高度h＝eq \f(v02,2g′)
联立解得h＝eq \f(g,g′)H＝eq \f(10,\f(40,9))×1.5 m＝3.375 m.
一、单项选择题
1. 牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但不知道引力常量G的值，第一个在实验室比较准确测定引力常量G值的科学家是
A. 哥白尼B. 第谷C. 开普勒D. 卡文迪许
【答案】D
【解析】
【详解】根据物理学史可知，第一个在实验室比较准确测定引力常量G值的科学家是卡文迪许．
A. 哥白尼，与结论不相符，选项A错误；
B. 第谷，与结论不相符，选项B错误；
C 开普勒，与结论不相符，选项C错误；
D. 卡文迪许，与结论相符，选项D正确；
2.两个质点之间万有引力的大小为F，如果将这两个质点之间的距离变为原来的2倍，那么它们之间万有引力的大小变为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】根据万有引力定律公式得，将这两个质点之间的距离变为原来的2倍，则万有引力的大小变为原来的，故万有引力变为．
A. 与结论相符，选项A正确；
B. 与结论不相符，选项B错误；
C. 与结论不相符，选项C错误；
D. 与结论不相符，选项D错误；
3.物理学领域中具有普适性的一些常量，对物理学的发展有很大作用，引力常量就是其中之一。1687年牛顿发现了万有引力定律，但并没有得出引力常量。直到1798年，卡文迪许首次利用如图所示的装置，比较精确地测量出了引力常 量。关于这段历史，下列说法错误的是（ ）
A. 卡文迪许被称为“首个测量地球质量的人”
B. 万有引力定律是牛顿和卡文迪许共同发现的
C. 这个实验装置巧妙地利用放大原理，提高了测量精度
D. 引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小
【答案】B
【解析】
【详解】A．卡文迪许因为首次比较精确地测量出了引力常量，被称为“首个测量地球质量的人”，选项A正确，不符合题意；
B．万有引力定律是牛顿发现的，选项B错误，符合题意；
C．这个实验装置巧妙地利用放大原理，提高了测量精度，选项C正确，不符合题意；
D．引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小，选项D正确，不符合题意。
故选B。
4.牛顿定律不适用于下列哪些情况( )
A. 研究原子中电子的运动B. 研究“嫦娥三号”的高速发射
C. 研究地球绕太阳的运动D. 研究飞机从北京飞往纽约的航线
【答案】A
【解析】
【详解】A.牛顿第二定律不适用于微观原子，A正确；
BCD.都是宏观低速运动的物体（与光速比速度较低），牛顿运动定律都适用，BCD错误。
故选A。
5.两个质量均匀的球体相距r，它们之间的万有引力为，若它们的质量、距离都增加为原来的2倍，则它们间的万有引力为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
根据万有引力定律得，若它们的质量、距离都增加为原来的2倍，则万有引力不变．则，故选A.
6.如图所示，两个星体的质量均为m，O为两星体连线的中点，连线的垂直平分线为MN，可视为质点的一颗小行星从O点沿OM方向运动（到无穷远），则小行星所受到的万有引力大小F随距离r的大致变化为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为在连线的中点时所受万有引力的和为零，当运动到很远很远时合力也为零（因为距离无穷大万有引力为零），而在其他位置不是零所以先增大后减小。设两个质量均为m的星体的距离是2L，物体质量是m′，物体沿OM方向运动距离是r时，它所受到的万有引力大小为
所以F和r不是线性关系。故选D。
7.万有引力常量G的单位是（ ）
A. N•kg2/m2B. kg2/N•m2C. N•m2/kg2D. m2/N•kg2
【答案】C
【解析】
【详解】万有引力定律F=G，公式中，质量m的单位为kg，距离r的单位为m，引力F的单位为N，由公式推导得出，G的单位为N•m2/kg2．故C正确，ABD错误；
故选C．
8.地球的质量为M，半径为R。质量为m的宇航员离地面高度为h时，受到地球的万有引力为（ ）
A. F＝GB. F＝G
C. F＝GD. F＝G
【答案】D
【解析】
【详解】根据万有引力公式有，其中
万有引力大小为
故D正确，ABC错误；
故选D。
二、多项选择题
9.对于公式理解正确是（ ）
A. m1与m2之间的相互作用力，总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
B. m1与m2之间的相互作用力，总是大小相等、方向相反，是一对作用力与反作用力
C. 当r趋近于零时F趋向无穷大
D. 当r趋近于零时，公式不适用
【答案】BD
【解析】
【详解】AB．两物体间的万有引力是一对相互作用力，而非平衡力，故A错误，B正确；
CD．万有引力公式F=只适用于质点间的万有引力计算，当r→0时，物体便不能再视为质点，公式不适用，故C错误，D正确。
故选BD。
10.下列说法符合史实的是（ ）
A. 开普勒发现了行星的运动定律
B. 牛顿发现了万有引力定律
C. 卡文迪许第一次在实验室里测出了万有引力常量
D. 牛顿发现海王星和冥王星
【答案】ABC
【解析】
【详解】AB．牛顿发现了万有引力定律，开普勒发现了行星的运动规律，故AB正确；
C．卡文迪许首次在实验室里精确测出了万有引力常量，故C正确；
D．科学家亚当斯通过对天王星的长期观察发现，其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离，且每隔时间t发生一次最大的偏离．亚当斯利用牛顿发现的万有引力定律对观察数据进行计算，认为形成这种现象的原因可能是天王星外侧还存在着一颗未知行星，后命名为海王星；1930年美国天文学家汤博发现冥王星，故D错误；
故选ABC。
11.下列说法正确的是（ ）
A. 伽利略整理第谷的观测数据，发现了行星运动的三条定律
B. “月一地检验”表明，地面物体所受地球的引力与太阳、行星间的引力是同一种性质的力
C. 经典力学仍然适用于接近光速运动的物体
D. 牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许首次在实验室测出了引力常量
【答案】BD
【解析】
【详解】A．开普勒整理第谷的观测数据，发现了行星的三大运动规律，故A错误；
B．“月—地检验”表明，地面物体所受地球的引力与太阳、行星间的引力是同一种力，故B正确；
C．经典力学只适用于宏观、低速运动的物体，不能适用于接近光速运动的物体，故C错误；
D．牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许第一次在实验室里测出了万有引力常量，故D正确。
故选BD。
12.下列说法正确的是（ ）
A. 开普勒利用自己观察的行星运动数据，通过数学方法建立了开普勒三定律
B. “月地检验”表明地面上的物体所受地球的引力与月球所受地球的引力遵从同样的规律
C. 物理学公认：卡文迪许是第一个在实验室“称量地球质量”的人
D. 随着相对论和量子力学等新科学的提出，经典力学作为新科学在一定条件下的特殊情形，被包括在了新的科学成就之中
【答案】BCD
【解析】
【详解】A．开普勒利用第谷观察的行星运动数据，通过数学方法建立了开普勒三定律，故A错误；
B．“月地检验”表明地面上的物体所受地球的引力与月球所受地球的引力遵从同样的规律，故B正确；
C．卡文迪许首先根据扭秤实验测出了引力常量G，从而根据万有引力等于重力求出了地球的质量，所以物理学公认：卡文迪许是第一个在实验室“称量地球质量”的人，故C正确；
D．随着相对论和量子力学等新科学的提出，经典力学作为新科学在一定条件下的特殊情形，被包括在了新的科学成就之中，故D正确。
故选BCD。
特点
内容
普遍性
宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性
两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力。
宏观性
地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间，或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
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