2021-2022学年湖北省荆州市松滋市七年级（上）期末数学试卷(含答案)

这是一份2021-2022学年湖北省荆州市松滋市七年级（上）期末数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年湖北省荆州市松滋市七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）
1．（3分）如果一个数的绝对值是3，则这个数是（　　）
A．±3 B．﹣3 C．± D．﹣
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a+2b＝3ab B．7a2﹣2a＝5a
C．4a﹣（﹣a）＝5a D．（3﹣a）﹣（2﹣a）＝1﹣2a
3．（3分）按照知情同意自愿的原则，我国正积极引导3岁至11岁适龄无禁忌人群“应接尽接”，截至10月29日，该人群已接种新冠疫苗超过3530000剂次，则3530000用科学记数法表示为（　　）
A．3.53×105 B．35.3×104 C．0.353×107 D．3.53×106
4．（3分）如图，四个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形顺次是（　　）
A．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥
B．正方体、圆锥、三棱柱、圆柱
C．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥
D．正方体、圆柱、四棱柱、圆锥
5．（3分）若关于x的方程mx﹣2＝x+1的解是x＝3，则m的值为（　　）
A． B．2 C．1 D．
6．（3分）有理数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则m，﹣m，n，﹣n，0的大小关系是（　　）

A．n＜﹣n＜0＜﹣m＜m B．n＜﹣m＜0＜﹣n＜﹣m
C．n＜﹣m＜0＜m＜﹣n D．n＜0＜﹣m＜m＜﹣n
7．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（　　）
A．3x﹣2＝2x+9 B．3（x﹣2）＝2x+9
C． D．3（x﹣2）＝2（x+9）
8．（3分）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣2、1，若B、C两点之间的距离为2，则A、C两点之间的距离为（　　）
A．5 B．1 C．1或5 D．4
9．（3分）如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距am，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距am，某公司的员工在A小区有30人，B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（　　）

A．A小区 B．B小区 C．C小区 D．D小区
10．（3分）下列是用火柴棒拼出的一列图形．

仔细观察，找出规律，第5个图和第n个图形中分别有（　　）根火柴棒．
A．16，2n+1 B．16，3n+1 C．17，2n+1 D．17，3n+1
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）如果∠α＝40°，那么∠α的余角等于　 　．
12．（3分）多项式ax2﹣y+3xy4﹣5是 　 　次 　 　项式，常数项是 　 　．
13．（3分）如果|x﹣3|+（y+5）2＝0，那么代数式x2﹣3y+6的值是 　 　．
14．（3分）如图，C岛在A岛的北偏东60°方向，在B岛的北偏西45°方向，则从C点看A、B两岛的视角∠ACB＝　 　°．

15．（3分）如图，在△ADC中，有下列说法：①∠BCD与∠α表示同一个角；②∠ABD与∠DBC互补；③∠ADC＞∠2；④线段AC大于线段BC；⑤若∠1与∠2两个角的和是67°56′，差是12°40′（∠1＞∠2），则∠1的度数为40°18′．其中正确的有 　 　（填序号）．

16．（3分）如图1，把一个长为m、宽为2n的长方形（m＞2n）沿虚线剪开，拼接成图2，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为 　 　．

三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）解下列方程：
（1）3（x+1）＝5x﹣1；
（2）＝﹣1
18．（8分）如图是一个长方体纸盒的平面展开图，已知纸盒中相对两个面上的数互为相反数．
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）先化简，再求值：5a2b﹣[2a2b﹣3（2abc﹣a2b）+4abc]．

19．（8分）已知A，B是关于x的整式，其中A＝mx2﹣2x+2，B＝x2﹣nx+5．
（1）若A﹣B化简的结果是4x2﹣7x+p，求m，n，p的值．
（2）若A+B的值与x的取值无关，求m﹣2n的值．
20．（8分）如图，已知平面内有四个点A，B，C，D．
根据下列语句按要求画图．
（1）连接AB；
（2）作射线AD，并在线段AD的延长线上用圆规截取DE＝AB；
（3）作直线BC与射线AD交于点F．
观察图形发现，线段AF+BF＞AB，得出这个结论的依据是：　 　．

21．（8分）如图，正方形ABCD和正方形ECGF的边长分别为9和a．
（1）写出表示阴影部分面积的代数式（结果要求化简）；
（2）当a＝（﹣3）2×（﹣2）3÷（﹣4）﹣3×22时，求阴影部分的面积．

22．（10分）（问题）（1）如图①，点C是线段AB上一点，点D，E分别是线段AC，BC的中点，若线段AB＝26cm，则线段DE的长为 　 　cm．
（拓展）（2）在（问题）中，若把条件“如图①，点C是线段AB上一点”改为“如图②，点C是线段AB延长线上一点”，其余条件不变，试求DE的长．
（应用）（3）如图③，∠AOB＝α，点C在∠AOB内部，射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，则∠MON的大小为 　 　（用含字母α的式子表示）；
（4）如图④，在（3）中，若点C在∠AOB外部，且射线OC与射线OB在OA所在直线的同侧，其他条件不变，则（3）中的结论是否成立，若成立，请写出求解过程；若不成立，请说明理由．


23．（10分）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，利润率为50%；乙种商品每件进价50元，售价80元．
（1）甲种商品每件售价为 　 　元，每件乙种商品利润率为 　 　；
（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？
（3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过380元
不优惠
超过380元，但不超过500元
售价打九折
超过500元
售价打八折
按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
24．（12分）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD＝∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．
（1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝　 　．
（2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？
（3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．



2021-2022学年湖北省荆州市松滋市七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）
1．（3分）如果一个数的绝对值是3，则这个数是（　　）
A．±3 B．﹣3 C．± D．﹣
【分析】根据绝对值的定义解决此题．
【解答】解：设这个数为x．
由题意得：|x|＝3．
∴x＝±3．
∴这个数是±3．
故选：A．
【点评】本题主要考查绝对值，熟练掌握绝对值的定义是解决本题的关键．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a+2b＝3ab B．7a2﹣2a＝5a
C．4a﹣（﹣a）＝5a D．（3﹣a）﹣（2﹣a）＝1﹣2a
【分析】各式去括号合并得到最简结果，即可做出判断．
【解答】解：A、a+2b不能合并，不符合题意；
B、7a2﹣2a不能合并，不符合题意；
C、4a﹣（﹣a）＝4a+a＝5a，符合题意；
D、（3﹣a）﹣（2﹣a）＝3﹣a﹣2+a＝1，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（3分）按照知情同意自愿的原则，我国正积极引导3岁至11岁适龄无禁忌人群“应接尽接”，截至10月29日，该人群已接种新冠疫苗超过3530000剂次，则3530000用科学记数法表示为（　　）
A．3.53×105 B．35.3×104 C．0.353×107 D．3.53×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：3530000＝3.53×106，
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）如图，四个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形顺次是（　　）
A．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥
B．正方体、圆锥、三棱柱、圆柱
C．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥
D．正方体、圆柱、四棱柱、圆锥
【分析】根据正方体、圆锥、三棱柱、圆柱及其表面展开图的特点解题．
【解答】解：观察图形，由立体图形及其表面展开图的特点可知相应的立体图形顺次是正方体、圆柱、三棱柱、圆锥．
故选：A．
【点评】可根据所给图形判断具体形状，也可根据所给几何体的面数进行判断．
5．（3分）若关于x的方程mx﹣2＝x+1的解是x＝3，则m的值为（　　）
A． B．2 C．1 D．
【分析】根据方程的解满足方程，把方程的解代入方程，可得关于m的一元一次方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：把x＝3代入mx﹣2＝x+1，得
3m﹣2＝3+1，
解得m＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义，利用了方程的解满足方程的性质．
6．（3分）有理数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则m，﹣m，n，﹣n，0的大小关系是（　　）

A．n＜﹣n＜0＜﹣m＜m B．n＜﹣m＜0＜﹣n＜﹣m
C．n＜﹣m＜0＜m＜﹣n D．n＜0＜﹣m＜m＜﹣n
【分析】先在数轴上把m，n，0，﹣m，﹣n表示出来，再比较即可．
【解答】解：从数轴可知n＜0＜m，|n|＞|m|，
如图：
，
则n＜﹣m＜0＜m＜﹣n．
故选：C．
【点评】本题考查了数轴和有理数的大小比较的应用，注意：数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．
7．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（　　）
A．3x﹣2＝2x+9 B．3（x﹣2）＝2x+9
C． D．3（x﹣2）＝2（x+9）
【分析】设车x辆，根据乘车人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设车x辆，
根据题意得：3（x﹣2）＝2x+9．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．（3分）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣2、1，若B、C两点之间的距离为2，则A、C两点之间的距离为（　　）
A．5 B．1 C．1或5 D．4
【分析】直接根据题意画出图形，进而利用分类讨论得出答案．
【解答】解：由题意画出图形，如图所示：
C′到B点的距离为2，则C′到A点的距离为1，
C到B点的距离为2，则C到A点的距离为5，
若B、C两点之间的距离为2，则A、C两点之间的距离为1或5，
故选：C．

【点评】此题主要考查了数轴上点与点之间的距离，正确画出图形是解题关键．
9．（3分）如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距am，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距am，某公司的员工在A小区有30人，B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（　　）

A．A小区 B．B小区 C．C小区 D．D小区
【分析】根据题意分别计算停靠点分别在B、D、C各点时员工步行的路程和，选择最小的即可求解．
【解答】解：因为当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：5a+20×（200+a）+6（2a+200）＝37a+5200（m），
因为当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30a+20×200+6（a+200）＝36a+5200（m），
当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30（a+200）+5×200+6a＝36a+7000（m），
当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×（2a+200）+5（a+200）+20a＝85a+7000（m），
因为36a+5200＜37a+5200＜36a+7000＜85a+7000，
所以当停靠点在B小区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在B区．
故选：B．
【点评】本题主要考查了两点间的距离，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键．
10．（3分）下列是用火柴棒拼出的一列图形．

仔细观察，找出规律，第5个图和第n个图形中分别有（　　）根火柴棒．
A．16，2n+1 B．16，3n+1 C．17，2n+1 D．17，3n+1
【分析】从第2个图形开始，后面的每个图形比它上一个图形多3根火柴，于是得到第5个图形中有3×5+1＝16根；利用规律即可得到第n个图形中火柴根数．
【解答】解：当n＝1时，火柴的根数是3×1+1＝4；
当n＝2时，火柴的根数是3×2+1＝7；
当n＝3时，火柴的根数是3×3+1＝10；
第5个图案中火柴有3×5+1＝16；
所以第n个图形中火柴有3n+1．
故选：B．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，重点考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）如果∠α＝40°，那么∠α的余角等于　50°　．
【分析】根据互为余角的两角之和为90°，即可得出答案．
【解答】解：∵∠a＝40°，
∴∠a的余角＝90°﹣40°＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题考查了余角的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟记互为余角的两角之和为90°．
12．（3分）多项式ax2﹣y+3xy4﹣5是 　五　次 　四　项式，常数项是 　﹣5　．
【分析】根据多项式的相关定义解答即可．
【解答】解：多项式ax2﹣y+3xy4﹣5是五次四项式，常数项是﹣5．
故答案为：五，四，﹣5．
【点评】本题考查了多项式的知识，解答本题的关键是掌握多项式的项数及次数的定义．
13．（3分）如果|x﹣3|+（y+5）2＝0，那么代数式x2﹣3y+6的值是 　30　．
【分析】根据绝对值和平方的非负性求出x和y的值，再代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵|x﹣3|+（y+5）2＝0，
∴x﹣3＝0，y+5＝0，
∴x＝3，y＝﹣5，
∴x2﹣3y+6＝32﹣3×（﹣5）+6＝9+15+6＝30．
故答案为：30．
【点评】此题考查了代数式求值，涉及的知识有：绝对值的非负性和完全平方的非负性，熟练掌握法则是解本题的关键．
14．（3分）如图，C岛在A岛的北偏东60°方向，在B岛的北偏西45°方向，则从C点看A、B两岛的视角∠ACB＝　105　°．

【分析】过点C作CH∥AN，则AN∥CH∥BD，则∠ACH＝∠CAN＝60°，∠BCH＝∠CBD＝45°，进而求解．
【解答】解：∵C岛在A岛的北偏东60°方向，在B岛的北偏西45°方向，

过点C作CH∥AN，则AN∥CH∥BD，
∴∠ACH＝∠CAN＝60°，∠BCH＝∠CBD＝45°，
∴∠ACB＝∠ACH+∠BCH＝60°+45°＝105°．
故答案为：105．
【点评】本题考查的是方向角的概念和平行线的性质，过点C作CH∥AN是解答此题的关键．
15．（3分）如图，在△ADC中，有下列说法：①∠BCD与∠α表示同一个角；②∠ABD与∠DBC互补；③∠ADC＞∠2；④线段AC大于线段BC；⑤若∠1与∠2两个角的和是67°56′，差是12°40′（∠1＞∠2），则∠1的度数为40°18′．其中正确的有 　①②③④⑤　（填序号）．

【分析】利用角的表示，线段的长短的比较方法，补角的定义对各说法进行分析即可．
【解答】解：①∠BCD与∠α表示同一个角，①说法正确；
②点是AC上的点，则∠ABD与∠DBC互补，故②说法正确；
③∠ADC＝∠1+∠2，则∠ADC＞∠2，故③说法正确；
④点B是AC上的一点，则AC＞BC，故④说法正确；
⑤∵∠1与∠2两个角的和是67°56′，差是12°40′，
∴∠1+∠2＝67°56′，∠1﹣∠2＝12°40′，
解得：∠1＝40°18'，∠2＝27°38'，
故⑤说法正确．
故正确的有①②③④⑤．
故答案为：①②③④⑤．
【点评】本题主要考查度分秒的换算，补角，角的表示，线段的比较，解答的关键是对相应的知识的掌握．
16．（3分）如图1，把一个长为m、宽为2n的长方形（m＞2n）沿虚线剪开，拼接成图2，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为 　m﹣n　．

【分析】根据面积相等，构建方程求解即可．
【解答】解：由题意，2mn＝2nx+2n（2n+x），
解得x＝m﹣n，
故答案为：m﹣n．
【点评】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）解下列方程：
（1）3（x+1）＝5x﹣1；
（2）＝﹣1
【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
【解答】解：（1）去括号，可得：3x+3＝5x﹣1，
移项，可得：3x﹣5x＝﹣1﹣3，
合并同类项，可得：﹣2x＝﹣4，
系数化为1，可得：x＝2．

（2）去分母，可得：2（2x﹣1）＝2x+1﹣6，
去括号，可得：4x﹣2＝2x+1﹣6，
移项，可得：4x﹣2x＝1﹣6+2，
合并同类项，可得：2x＝﹣3，
系数化为1，可得：x＝﹣．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
18．（8分）如图是一个长方体纸盒的平面展开图，已知纸盒中相对两个面上的数互为相反数．
（1）填空：a＝　1　，b＝　﹣2　，c＝　﹣3　；
（2）先化简，再求值：5a2b﹣[2a2b﹣3（2abc﹣a2b）+4abc]．

【分析】（1）长方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个长方形，根据这一特点作答；
（2）先去括号，然后再合并同类项，最后代入计算即可．
【解答】解：（1）3与c是对面；a与b是对面；a与﹣1是对面．
∵纸盒中相对两个面上的数互为相反数，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3．
（2）原式＝5a2b﹣[2a2b﹣6abc+3a2b+4abc]
＝5a2b﹣2a2b+6abc﹣3a2b﹣4abc
＝5a2b﹣2a2b﹣3a2b+6abc﹣4abc
＝2abc．
当a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3时，原式＝2×1×（﹣2）×（﹣3）＝12．
【点评】本题主要考查的是正方体向对面的文字，整式的加减，依据长方体对面的特点确定出a、b、c的值是解题的关键．
19．（8分）已知A，B是关于x的整式，其中A＝mx2﹣2x+2，B＝x2﹣nx+5．
（1）若A﹣B化简的结果是4x2﹣7x+p，求m，n，p的值．
（2）若A+B的值与x的取值无关，求m﹣2n的值．
【分析】（1）根据整式的加减运算法则即可求出m、n、p的值．
（2）令A+B中含x的项的系数之和为零即可求出m、n的值．
【解答】解：（1）A﹣B
＝（mx2﹣2x+2）﹣（x2﹣nx+5）
＝mx2﹣2x+2﹣x2+nx﹣5
＝（m﹣1）x2+（n﹣2）x﹣3，
由题意可知：（m﹣1）x2+（n﹣2）x﹣3＝4x2﹣7x+p，
∴m﹣1＝4，n﹣2＝﹣7，﹣3＝p，
∴m＝5，n＝﹣5，p＝﹣3．
（2）A+B
＝（mx2﹣2x+2）+（x2﹣nx+5）
＝mx2﹣2x+2+x2﹣nx+5
＝（m+1）x2﹣（n+2）x+7，
令m+1＝0，n+2＝0，
∴m＝﹣1，n＝﹣2，
∴m﹣2n＝﹣1+4＝3．
【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．
20．（8分）如图，已知平面内有四个点A，B，C，D．
根据下列语句按要求画图．
（1）连接AB；
（2）作射线AD，并在线段AD的延长线上用圆规截取DE＝AB；
（3）作直线BC与射线AD交于点F．
观察图形发现，线段AF+BF＞AB，得出这个结论的依据是：　两点之间，线段最短　．

【分析】（1）根据作图语句连接AB即可；
（2）根据射线和线段的定义即可作射线AD，并在线段AD的延长线上用圆规截取DE＝AB；
（3）根据直线和射线定义即可作直线BC与射线AD交于点F，进而可得出结论的依据．
【解答】解：（1）如图，AB即为所求；

（2）如图，射线AD即为所求；
（3）直线BC即为所求；
线段AF+BF＞AB，得出这个结论的依据是：两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，直线、射线、线段，线段的性质：两点之间，线段最短，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
21．（8分）如图，正方形ABCD和正方形ECGF的边长分别为9和a．
（1）写出表示阴影部分面积的代数式（结果要求化简）；
（2）当a＝（﹣3）2×（﹣2）3÷（﹣4）﹣3×22时，求阴影部分的面积．

【分析】（1）用两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积即可；
（2）化简a，代入代数式求值即可．
【解答】解：（1）92+a2﹣a2﹣×9×（9+a）
＝81+a2﹣﹣a
＝a2﹣a+；
（2）∵a＝9×（﹣8）÷（﹣4）﹣3×4
＝18﹣12
＝6，
∴原式＝×36﹣×6+
＝18﹣27+
＝．
【点评】本题考查了列代数式，代数式求值，有理数的混合运算，知道阴影部分的面积表示为两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积是解题的关键．
22．（10分）（问题）（1）如图①，点C是线段AB上一点，点D，E分别是线段AC，BC的中点，若线段AB＝26cm，则线段DE的长为 　13　cm．
（拓展）（2）在（问题）中，若把条件“如图①，点C是线段AB上一点”改为“如图②，点C是线段AB延长线上一点”，其余条件不变，试求DE的长．
（应用）（3）如图③，∠AOB＝α，点C在∠AOB内部，射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，则∠MON的大小为 　α　（用含字母α的式子表示）；
（4）如图④，在（3）中，若点C在∠AOB外部，且射线OC与射线OB在OA所在直线的同侧，其他条件不变，则（3）中的结论是否成立，若成立，请写出求解过程；若不成立，请说明理由．


【分析】（1）根据中点的定义，结合线段的中点定义解题即可；
（2）当C点在AB的延长线上时，利用DE＝DC﹣CE求出即可；
（3）根据角平分线的定义解题即可；
（4）在（3）的基础上，利用角平分线的定义解题即可
【解答】解：（1）∵点D，E分别是线段AC，BC的中点，
∴CD＝AC，CE＝BC，
∵AB＝26cm，
∴DE＝DC+CE＝AC+BC＝AB＝13cm，
故答案为：13；
（2）如图，

当C点在AB的延长线上时，
∵点D，E分别是线段AC，BC的中点，
∴CD＝AC，CE＝BC，
∵DE＝DC﹣CE＝AC﹣BC＝AB＝13cm；
答：DE的长度等于13cm；
（3）∵射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC
∴∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠BOC，
∴∠MON＝∠CON+∠MOC＝∠AOC+∠BOC＝∠AOB，
∵∠AOB＝α，
∴∠MON＝α，
故答案为：α；
（4）（3）结论成立，理由如下：
∵射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，
∴∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠BOC，
∴∠MON＝∠COM﹣∠NOC＝∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB，
∵∠AOB＝α，
∴∠MON＝α，
∴（3）中的结论成立．
【点评】本题考查角平分线的定义，两点间距离，熟练掌握角平分线的定义，线段的中点定义，数形结合解题是关键．
23．（10分）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，利润率为50%；乙种商品每件进价50元，售价80元．
（1）甲种商品每件售价为 　60　元，每件乙种商品利润率为 　60%　；
（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？
（3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过380元
不优惠
超过380元，但不超过500元
售价打九折
超过500元
售价打八折
按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
【分析】（1）设甲的进价和利润率可得甲的售价，根据乙的售价和进价可得利润率；
（2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50﹣x）件，再由总进价是2100元，列出方程求解即可；
（3）分别求出第一天和第二天购进甲、乙两种商品的件数，再相加即可．
【解答】解：（1）40×（1+50%）＝60（元），×100%＝60%，
所以甲种商品每件售价为60元，每件乙种商品利润率为60%，
故答案为：60，60%；
（2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50﹣x）件，
由题意得，40x+50（50﹣x）＝2100，
解得：x＝40．
50﹣x＝10，
答：购进甲商品40件，乙商品10件；
（3）设第一天购买乙种商品a件，
依题意得，50a•90%＝360或50a＝360，
解得a＝8或7.2（舍去），
所以第一天购买乙种商品8件．
设第二天购买甲种商品b件，
依题意得，40b•90%＝432或40b•80%＝432，
解得b＝12或13.5（舍去），
所以第二天购买甲种商品12件，
8+12＝20（件），
答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共20件．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解．
24．（12分）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD＝∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．
（1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝　15°　．
（2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？
（3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．


【分析】（1）根据“内半角”的定义，可求出∠COD的度数，再根据∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD，可得出结论；
（2）由旋转可分别求出∠BOC和∠AOD的度数，再根据“内半角”的定义，可列出等式，即可求出α的值；
（3）由旋转可知，分四种情况，分别进行讨论，根据“内半角”的定义，可求出对应的时间．
【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝80°，∠COD是∠AOB的内半角，
∴∠COD＝∠AOB＝40°，
∵∠AOC＝25°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝80°﹣25°﹣40°＝15°；
故答案为：15°．
（2）如图2，由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝α，
∴∠BOC＝60°﹣α，∠AOC＝60°+α，
∵∠COB是∠AOD的内半角，
∴∠COB＝∠AOD，即，
解得α＝20°，
当旋转的角度α为20°时，∠COB是∠AOD的内半角；

（3）能，理由如下，
由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝3°t；根据题意可分以下四种情况：
①当射线OC在∠AOB内，如图4，
此时，∠BOC＝30°﹣3°t，∠AOC＝30°+3°t，
则∠COB是∠AOD的内半角，
∴∠COB＝∠AOD，即30°﹣3°t＝（30°+3°t），
解得t＝（秒）；
②当射线OC在∠AOB外部，有以下两种情况，如图5，图6，
如图5，此时，∠BOC＝3°t﹣30°，∠AOC＝30°+3°t，
则∠COB是∠AOD的内半角，
∴∠COB＝∠AOD，即3°t﹣30°＝（30°+3°t），
解得t＝30（秒）；
如图6，此时，∠BOC＝360°﹣3°t+30°，∠AOC＝360°﹣3°t﹣30°，
则∠AOD是∠BOC的内半角，
∴∠AOD＝∠BOC，即360°﹣3°t﹣30°＝（360°﹣3°t+30°），
解得t＝90（秒）；

综上，在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，旋转的时间分别为：秒；30秒；90秒．
【点评】本题属于新定义类问题，主要考查旋转中角度的表示，及角度的和差运算；由旋转正确表达对应的角是本题解题关键．