2023届高考数学二轮复习专题1子集、交集、并集、补集之间的关系式二级结论讲练学案

专题1 子集、交集、并集、补集之间的关系式

二级结论1：子集的个数问题

【结论阐述】若一个集合含有（）个元素，则集合有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集.

理解：的子集有个，从每个元素的取舍来理解，例如每个元素都有两种选择，则个元素共有种选择，该结论需要掌握并会灵活应用.

对解决有关集合的个数问题，可以直接利用这些公式进行计算.计算时要分清这个集合的元素是从哪里来的，有哪些，即若可供选择的元素有个，就转化为求这个元素集合的子集问题.另外要注意子集､真子集､子集､非空真子集之间的联系有区别.

【典例指引1】

（2023·安徽·合肥市第八中学模拟预测）

1．已知集合，，则满足条件的集合的个数为（    ）

A．3 B．4 C．7 D．8

【答案】C

【分析】化简集合A，B，根据条件确定集合的个数即可.

【详解】因为，,

且

所以集合C的个数为

故选：C

【典例指引2】

2．已知集合，则集合的真子集的个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先化简集合，得到集合的元素个数，继而可以得到真子集的个数

【详解】解：集合，

所以集合中的元素个数为9，

故其真子集的个数为个，

故选:

【针对训练】

（2023·河南·开封市东信学校模拟预测）

3．集合的非空真子集的个数为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【分析】根据真子集的定义即可求解.

【详解】由题意可知，集合A的非空真子集为，共6个.

故选：B.

（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模）

4．设集合，则集合M的真子集个数为（    ）

A．16 B．15 C．8 D．7

【答案】D

【分析】求出集合中的元素，再由子集的定义求解．

【详解】由题意，

因此其真子集个数为．

故选：D．

（2022·新疆·三模）

5．已知集合，则A的子集共有（    ）

A．3个 B．4个 C．8个 D．16个

【答案】C

【分析】根据题意先求得集合，再求子集的个数即可.

【详解】由，得集合

所以集合A的子集有个，

故选： C

（2023·浙江台州一中模拟）

6．已知集合，，则集合B的子集的个数是（    ）

A．3 B．4 C．8 D．16

【答案】C

【分析】先求出集合B，再根据子集的定义即可求解.

【详解】依题意，所以集合B的子集的个数为，

故选：C.

7．定义集合A★B=，设，则集合A★B的非空真子集的个数为（    ）

A．12 B．14 C．15 D．16

【答案】B

【分析】结合非空真子集个数()的算法即可.

【详解】，所以集合的非空真子集的个数为，

故选：B.

二级结论2：子集､交集､并集､补集之间的关系

【结论阐述】

（其中为全集）.

（1）当时，显然成立；

（2）当时，图如图所示，结论正确.

这个结论通过集合的交､并､补运算与集合的包含关系的转换解决问题.

【典例指引1】

8．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先通过解绝对值不等式化简集合，然后由题意得，从而建立不等式组求得的范围.

【详解】解不等式，得，所以.

由，得，

∴，解得﹒

故选：B

【典例指引2】

9．已知集合，或.

（1）若，求的取值范围；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）根据题意及，可得，即可求得答案；

（2）由，可得，由题意得，所以或，即可解得答案.

【详解】（1）因为集合，或，且，

所以，解得；

（2）因为，所以，

因为恒成立，所以，

所以或，

解得或.

【点睛】解题的关键是根据，可得集合的包含关系，且A集合含有参数，需分析A集合是否为空集，再进行求解，属基础题.

【针对训练】

10．已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出集合A，由得到，再分类讨论a的值即可.

【详解】，因为，所以，

当时，集合，满足；

当时，集合，

由，得或，解得或，

综上，实数的取值集合为.

故选：D.

【点睛】易错点睛：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，其中易忽略时，集合满足，而错解.

（2023·湖北·黄石市有色第一中学模拟预测）

11．已知，且，则满足条件的x有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】根据集合的包含关系，结合集合元素的性质，求解即可.

【详解】因为，所以，

所以或，解得或，

所以满足条件的x有，共3个．

故选：C．

（2021·辽宁沈阳·三模）

12．已知集合，若，则实数（    ）

A． B．1 C． D．或

【答案】A

【分析】根据交集定义，结合集合中元素的互异性求解．

【详解】由得，

时，不合题意，时，也不合题意，

时，，满足题意．

故选：A．

（2023·重庆八中模拟预测）

13．已知集合，，且，则a的取值范围可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由集合补运算求，再根据集合交运算的结果求参数a的取值范围.

【详解】由题设，，又，，

∴.

故选：D

（2023·重庆·西南大学附中模拟预测）

14．已知集合，，且，则实数a的所有值构成的集合是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据，对进行分类讨论，由此求得的所有值构成的集合.

【详解】，

当时，，满足，只有D选项符合.

当时，，

要使，则或或，即或或，

所以实数a的所有值构成的集合是.

故选：D

15．已知集合，．

(1)若，求实数m的取值范围；

(2)若且，求实数m的值．

【答案】(1).

(2)m=或1.

【分析】（1）利用集合间的包含关系建立不等式组，分类讨论进行求解.

（2）根据已知，利用集合的交集运算，分类讨论进行求解.

（1）

由，知．

①当时，，解得；

②当时，有，解得．

所以实数m的取值范围为．

（2）

因为，，，且，则

①当时，有，解得，

则，此时，满足题意；

②当时，有，解得，

则，此时，不满足题意，舍去；

③当时，有，解得，

此时，，满足题意．

综上，实数m的值为或1．

二级结论3：德·摩根定律

【结论阐述】.

这两个公式是把交集的补集转化为补集的并集，或把并集的补集转化为补集的交集，这是集合运算的一条运算律，利用它们可以简化运算.

【典例指引1】

16．已知全集，集合，，则______.

【答案】

【分析】本题首先可以根据题意求出以及中所包含的元素，然后根据交集的相关性质即可得出结果.

【详解】因为全集，，，

所以，，

所以，

故答案为：.

【点睛】本题考查集合的相关运算，主要考查补集以及交集的相关性质，交集是指两集合中都包含的元素所组成的集合，考查推理能力，是简单题.

【典例指引2】

17．设全集，，，则___________，___________.

【答案】     或     或

【分析】可以根据交并补的关系——和计算即可；也可以通过画数轴的方式分析.

【详解】，，，，，

或，或.

故答案为：或;或

【点睛】本题考查集合的并集与补集运算.关于范围的交､并､补一般利用数轴法解.

【针对训练】

（2023·吉林·东北师大附中模拟预测）

18．已知集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出，根据交集的运算即可求得答案.

【详解】由题意得

故，

故选：A

（2023·辽宁·高三月考）

19．若全集，则集合等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据集合交集、并集、补集的定义逐一判断即可.

【详解】因为，

所以，，所以选项AB不符合题意；

又因为，

所以，

，

因此选项C不符合题意，选项D符合题意，

故选：D

（2023·浙江绍兴·模拟预测）

20．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意，根据补集与交集的混合运算性质，可得答案.

【详解】，，，

，

故选：D.

（2023·天津·南开中学模拟预测）

21．设全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】按照交集，并集和补集运算法则进行计算.

【详解】，，，，

所以

故选：A

22．已知全集为，集合，则___________，___________.

【答案】         

【分析】解一元一次不等式确定集合，然后由集合的运算法则计算．

【详解】由已知，解得，∴，又，

∴.

故答案为：；．