2023届高考数学二轮复习易错点06解三角形学案

易错点06  解三角形

易错点06  解三角形

易错点1：正、余弦定理相关公式混乱、记错

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

易错点2：三角形面积公式不知如何运用、混乱、记错

（1）S＝a·ha(ha表示a边上的高).

（2）S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.

（3）S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).

1．已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，利用正弦定理边化角，由三角形内角和定理，展开化简得．

【详解】由，边化角得，

又，所以，

展开得，

所以，

因为，所以．

故选：B．

2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】由，利用正弦定理得，然后结合已知条件利用余弦定理可求出

【详解】．由正弦定理可得．

又∵，，

∴由余弦定理，

可得，

解得或（舍去）．

故选：B．

3．已知三边a，b，c及对角A，B，C，周长为5，且满足，若，则的面积（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由正弦定理化边为角，得出，结合已知求出，然后求出等腰三角形底边上的高，由面积公式计算面积．

【详解】因为，由正弦定理得，所以（舍去），

三角形周长为5，，则，，

由等腰三角形性质知边上的高为，

所以三角形面积为．

故选：A．

4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积为时，k的最大值是（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】B

【分析】由三角形的面积公式，可得，

根据余弦定理，可得，

则整理出以为函数值的三角函数，根据三角函数的性质，可得的最值.

【详解】由题意得，所以，

又因为，所以，

所以，其中，且，

所以的取值范围为，

故选：B.

5．已知的内角所对的边分别为，且，若的面积为，则的最小值为（　　）

A．2 B．4 C．2 D．4

【答案】A

【分析】根据题意化简得，再由的面积为得，再由关于角的余弦定理加基本不等式即可求出答案.

【详解】

（当且仅当时取等号），

∴

故选：A.

6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则（    ）

A． B．5 C．8 D．

【答案】A

【分析】由三角形的面积和 计算出 的值，再根据余弦定理求出 的值，即可得到答案

【详解】由题意可知， ，得

，

由余弦定理可得：

整理得： ，

故选：A

7．已知中，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由正弦定理及余弦定理可得，利用辅助角公式及均值不等式可得，据此求出，再由诱导公式求得即可.

【详解】由正弦定理可得，

，又，

，

化简得：

当且仅当时取等号，即，

其中，，

即，又，，

，，即，

，

.

故选：B

8．在中，内角的对边分别为，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由结合余弦定理以及正弦定理的边化角公式得出，再由内角和定理以及三角恒等变换得出.

【详解】由得，

结合余弦定理，可得，

再由正弦定理得，因为，

所以，所以，得．

因为，所以．

故选：B

9．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由均值不等式可得出的最小值，由余弦定理可得，再由正弦定理结合条件可化为，由辅助角公式可得最大值.

【详解】(当且仅当时取等号)

由，可得

， 其中 ，当且仅当时取得等号,

所以

故选：C

10．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】根据因为，，利用正弦定理得到，代入体积公式求解.

【详解】解：因为，，

所以，，

所以，

故选：A

一、单选题

11．已知的内角对应的边分别是， 内角的角平分线交边于点， 且 ．若， 则面积的最小值是（    ）

A．16 B． C．64 D．

【答案】B

【分析】利用正弦定理及诱导公式可得，然后利用三角形面积公式及基本不等式即得.

【详解】∵，

∴，

即，

又，，

∴，即，又，

∴，

由题可知，，

所以，即，

又，即，

当且仅当取等号，

所以.

故选：B.

12．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用正弦定理、余弦定理可得答案.

【详解】∵，，

∴由正弦定理得，

因为，所以，即，

∴，即．

故选：B.

13．在中，已知，，，则的面积等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意分别求出和角，再分析求解即可.

【详解】根据正弦定理得：，所以，

因为，所以.

故选：C.

14．在中，，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为（    ）

A．16 B．24 C．25 D．36

【答案】A

【分析】由条件可求内切圆半径，根据内切圆的性质和三角形的面积公式可得三边关系，结合基本不等式可求边长度的最小值.

【详解】因为的内切圆的面积为，所以的内切圆半径为4．设内角，，所对的边分别为，，．因为，所以，所以．因为，所以．设内切圆与边切于点，由可求得，则．又因为，所以．所以．又因为，所以，即，整理得．因为，所以，当且仅当时，取得最小值．

故选：A．

15．记的内角的对边分别为，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用正弦定理角化边可直接化简得到结果.

【详解】由正弦定理得：.

故选：C.

16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】由正弦定理得，在中，由余弦定理即可求解.

【详解】因为，由正弦定理可知，

在中，由余弦定理可得：，解得， ，故

故选：D

二、多选题

17．如图，的内角所对的边分别为，且.若是外一点，，则下列说法中正确的是（    ）

A．的内角

B．的内角

C．四边形面积的最小值为

D．四边形面积无最大值

【答案】AB

【分析】根据正弦定理进行边化角求角，从而判断选项A，B正确；把四边形的面积表示成的三角函数，从而根据三角函数求最值

【详解】因为，

所以由正弦定理，得，

所以，

又因为，所以，所以

因为所以，

又因为，所以， 所以，

所以，因此A，B正确；

四边形面积等于

，

所以当即时，取最大值，

所以四边形面积的最大值为，

因此C，D错误

故选：AB

18．内角，，的对边分别为，，.已知，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．的周长为 D．的面积为

【答案】ABD

【分析】由正弦定理得，即可判断A选项；由平方关系及商数关系即可判断B选项；先由余弦定理得，再求出周长即可判断C选项；先求得，再求面积即可判断D选项.

【详解】由正弦定理得，整理得，即，A正确；

由可得，则，B正确；

由余弦定理得，又，可得，整理得，

的周长为，C错误；

由上知：，，可得，则的面积为，D正确.

故选：ABD.

三、解答题

19．已知的内角所对边分别为，且.

(1)求；

(2)若，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将已知条件由正弦定理角化边，再利用余弦定理即可求解；

（2）结合（1）由基本不等式及三角形的面积公式即可求解.

【详解】（1）解：在中，因为，

所以由正弦定理可得，即，

所以，

因为，

所以；

（2）解：时，由（1）可得，

所以，当且仅当时等号成立，

所以，

所以面积的最大值为.

20．记的内角的对边分别为，且.

(1)求;

(2)若，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合角之间的关系可得结果；

（2）先根据余弦定理求出的值，结合题意进行取舍，可得结果.

（1）

因为 ，由正弦定理得

又，所以.

故.

（2）

由余弦定理

将代入；解得

当时，， 满足

 当时，不满足，故舍去.

综上:.