2023届高考数学二轮复习易错点04导数及其应用学案

易错点04  导数及其应用

易错点04  导数及其应用

易错点1：导数与函数的单调性

导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.

(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.

(4)考查数形结合思想的应用.

易错点2：导数与函数的极（最）值

求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤

(1)求函数在(a，b)内的极值；

(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；

(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

易错点3：对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚

讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论.

易错点4：导数与函数的零点

研究函数图象的交点、方程的根、函数零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等.用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数单调性，借助零点村子性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.

1．对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将不等式等价变形，构造函数，再借助函数单调性、最值求解作答.

【详解】依题意，，令，，

则对任意的，当时，，即有函数在上单调递减，

因此，，，而，则，

所以实数的取值范围是.

故选：C

2．若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】令得，利用导数研究的图像，由函数有三个零点可知，若令，则可知方程的一根必在内，另一根或或上，分类讨论即可求解.

【详解】由得，令，

由，得，因此函数在上单调递增，在上单调递减，且，当时，，则的图像如图所示：

即函数的最大值为，

令，则，

由二次函数的图像可知，二次方程的一根必在内，另一根或或上，

当时，，则另一根，不满足题意，

当时，a＝0，则另一根，不满足题意，

当时，由二次函数的图像可知，

解得，

则实数的取值范围是，

故选：D.

3．已知函数，是函数的导函数，则的图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求导得到，根据奇偶性排除BD，特殊值计算排除A得到答案.

【详解】，则，则函数为奇函数，排除BD；

，排除A；

故选：C.

4．已知函数，若时，在处取得最大值，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意当时恒成立，整理得，当时，在图像的下方，结合图像分析处理．

【详解】根据题意得当时恒成立

则，即

∴当时，在图像的下方

，则，则

故选：B．

5．已知是定义在R上的函数的导数，且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】令，求导得，由题意可得在R上单调递增.再逐一判断即可.

【详解】设，则.

因为，所以，则在R上单调递增.

因为，所以，即，

所以，则A错误；

因为，的大小不能确定，所以，的大小不能确定，则B错误；

因为，所以，则，所以，则C正确；

因为，的大小不能确定，所以，不能确定，则D错误.

故选:C

6．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ）

A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+

【答案】D

【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.

【详解】设直线在曲线上的切点为，则，

函数的导数为，则直线的斜率，

设直线的方程为，即，

由于直线与圆相切，则，

两边平方并整理得，解得，（舍），

则直线的方程为，即.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.

7．设，若为函数的极大值点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.

【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.

有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.

当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.

当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.

综上所述，成立.

故选：D

【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.

8．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．

9．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．

【详解】∵，即，

（1）当时，，

当时，，

故当时，在上恒成立；

若在上恒成立，即在上恒成立，

令，则，

当函数单增，当函数单减，

故，所以．当时，在上恒成立；

综上可知，的取值范围是，

故选C．

【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．

10．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.

【详解】∵球的体积为，所以球的半径,

[方法一]：导数法

设正四棱锥的底面边长为，高为，

则，,

所以，

所以正四棱锥的体积，

所以，

当时，，当时，，

所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，

又时，，时，,

所以正四棱锥的体积的最小值为，

所以该正四棱锥体积的取值范围是.

故选：C.

[方法二]：基本不等式法

由方法一故所以当且仅当取到，

当时，得，则

当时，球心在正四棱锥高线上，此时，

，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是

11．曲线在处的切线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用导数的几何意义去求曲线在处的切线方程

【详解】，则，

当时，，，

所以切线方程为，即．

故选：D．

12．已知，且，则实数a的值为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求f(x)的导数，令x＝－1即可求出a．

【详解】∵，

∴，

，

，

．

故选：D．

13．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的单调性与导函数的关系判断即可；

【详解】解：由的图象可知，当时函数单调递增，则，故排除C、D；

当时先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于，再大于，最后小于，故排除B；

故选：A

14．已知函数，，若，恒成立，则实数k的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用导数判断单调性，根据单调性求解最值，根据两个函数最值之间的关系即可求解.

【详解】，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

所以在上的最大值是．

，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以在上的最小值是，

若，，恒成立，则，即，

所以，所以实数k的取值范围是．

故选:D．

15．已知函数，若时，在处取得最大值，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意当时恒成立，整理得，当时，在图像的下方，结合图像分析处理．

【详解】根据题意得当时恒成立

则，即

∴当时，在图像的下方

，则，则

故选：B．

16．已知函数，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用导数判断函数的单调性，根据单调性解不等式即可得解.

【详解】的定义域为，

因为，所以在上单调递减，

所以不等式等价于，解得或，

所以不等式的解集为.

故选：D

17．如图所示为某“胶囊”形组合体，由中间是底面半径为1，高为2的圆柱，两端是半径为1的半球组成，现欲加工成一个圆柱，使得圆柱的两个底面的圆周落在半球的球面上，则当圆柱的体积最大时，圆柱的底面半径为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分析内接圆柱的底面半径与体积的函数关系，求导，利用函数单调性即可求解.

【详解】设该几何体的内接圆柱的底面半径为，则其高为，

该内接圆柱的体积为，

因为，

令，则有 ，解得，

当时，，当时，，

所以当时体积有最大值；

故选：A．

18．不等式恒成立，则实数k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题可得在区间上恒成立，然后求函数的最大值即得.

【详解】由题可得在区间上恒成立，

令，则，

当时，，当时，，

所以的单调增区间为，单调减区间为；

所以，

所以.

故选：D.

19．已知函数，函数与的图象关于直线对称，若无零点，则实数k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】令，参变分离成的形式，画图可得k的取值范围.

【详解】由题知，，设，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以，的图象如下，由图可知，当时，与无交点，即无零点.

故选：D.

20．若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】令得，利用导数研究的图像，由函数有三个零点可知，若令，则可知方程的一根必在内，另一根或或上，分类讨论即可求解.

【详解】由得，令，

由，得，因此函数在上单调递增，在上单调递减，且，当时，，则的图像如图所示：

即函数的最大值为，

令，则，

由二次函数的图像可知，二次方程的一根必在内，另一根或或上，

当时，，则另一根，不满足题意，

当时，a＝0，则另一根，不满足题意，

当时，由二次函数的图像可知，

解得，

则实数的取值范围是，

故选：D.