2023届高考数学二轮复习空间位置关系的证明与求及空间角作业含答案

这是一份2023届高考数学二轮复习空间位置关系的证明与求及空间角作业含答案，共21页。试卷主要包含了如图，四棱锥的底面为矩形，，.等内容，欢迎下载使用。
空间位置关系的证明与求及空间角1．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为BB1的中点. (1)证明：BC1//平面AD1E；(2)求直线AA1与平面AD1E 所成角的正弦值.2．在三棱锥A－OBC中，已知平面AOB⊥底面BOC，AO⊥BC，底面BOC为等腰直角三角形，且斜边．(1)求证：AO⊥平面BOC；(2)若E是OC的中点，二面角A－BE－O的余弦值为，求直线AC与平面ABE所成角的正弦值．3．如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面，E，F分别是的中点.(1)求证：平面：(2)求点P到平面的距离.4．如图，三棱柱的底面ABC为正三角形，D是AB的中点，，，平面底面.(1)证明：平面平面；(2)求二面角的余弦值.5．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，．(1)证明：；(2)当PB的长为何值时，直线AB与平面PCD所成角的正弦值为？6．如图，平面平面，是等边三角形，为的中点，，，.(1)证明：；(2)求三棱锥的体积.7．如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且.(1)求证：CD⊥平面PAD；(2)求二面角的余弦值.8．如图，四棱锥的底面为矩形，，.(1)证明：平面平面.(2)若，，，求点到平面的距离.9．如图，在梯形中，，，四边形为矩形，且平面，．(1)求证：平面；(2)点在线段上一运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时锐二面角的余弦值．10．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面于点M连接.(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成角的余弦值. 参考答案：1．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由四边形是平行四边形得出，再由线面平行的判定证明即可；（2）利用等体积法得出点到平面AD1E的距离，进而得出直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值.(1)，四边形是平行四边形，又平面AD1E，平面AD1E，BC1//平面AD1E(2)设，点到平面AD1E的距离为.，，，设直线AA1与平面AD1E所成角为，则.故直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为.2．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）证明CO⊥AO，AO⊥BC，再利用线面垂直的判定定理，即可得到答案；（2）由(1)得OB，OC，OA两两垂直，建立如图所示得空间直角坐标系，求出此时＝(0，2，－1)，平面ABE的法向量＝(1，2，2)，再代入线面角的向量公式，即可得到答案；(1)证明：底面BOC为等腰直角三角形，且BC为斜边，所以CO⊥OB，因为平面AOB⊥底面BOC，平面AOB∩平面BOC＝OB，CO平面BOC，所以CO⊥平面AOB，因为AO⊂平面AOB，所以CO⊥AO，又AO⊥BC，BC，CO平面BOC，BC∩CO＝C，所以AO⊥平面BOC．(2)由(1)得OB，OC，OA两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，因为底面BOC为等腰直角三角形，且斜边，所以OC＝OB＝2，因为E是OC的中点，所以B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，1，0)，设A(0，0，t)(t＞0)，则，设平面ABE的法向量＝(x，y，z)，则取＝(t，2t，2)，而平面BEO的法向量为＝(0，0，1)，因为二面角A－BE－O的余弦值为，所以因为t＞0，所以t＝1，此时＝(0，2，－1)，平面ABE的法向量＝(1，2，2)，设直线AC与平面ABE所成的角为θ，则sinθ＝|cos<，>|＝＝．所以直线AC与平面ABE所成角的正弦值为．3．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）通过作辅助线，证明平面∥平面，再根据面面平行的性质，证明结论；（2）先求三棱锥的体积，再求出的面积，根据等体积法，即，即可求点P到平面的距离.(1)取的中点O，连接，因为E，F分别是的中点，所以，故∥平面∥平面， 平面 ,因此，平面∥平面，又平面，所以∥平面.(2)连接，因为，E是PA的中点，所以的面积为，，由（1）知，因为平面平面，所以平面，又,所以三棱锥的体积，在中，，所以；在中，；在中，，所以，在中，，故底边上的高为：，所以的面积为：.设点P到平面的距离h，则三棱锥的体积为，又因为，所以，解得，所以点P到平面的距离为.4．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）根据面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）找到图中三条两两垂直的直线，建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，进而求出相应的向量坐标，接着求平面的法向量和平面的法向量，用向量的夹角公式求得答案.(1)证明：因为三棱柱的底面ABC为正三角形，D是AB的中点，所以.又在三棱柱中，，，连接 ,则 是等边三角形，所以，因为平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.(2)因为平面底面ABC，平面底面，，所以底面ABC，故以D为坐标原点，DB，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，，，则，，.设平面的法向量为，平面的法向量为.由，得，取，；由，得，取，得.所以，由图知二面角是钝二面角，所以二面角的余弦值为.5．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由线面垂直的判断定理证明平面PAB，再由线面垂直的性质定理即可证明；（2）以A为原点，AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面PCD的法向量的坐标，根据直线AB与平面PCD所成角的正弦值为，利用向量法可求得，从而可求解PB的长.(1)证明：因为底面ABCD，又平面ABCD，所以，又，，AB，平面PAB，所以平面PAB，又平面PAB，所以；(2)解：因为底面ABCD，，所以以A为原点，AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，因为，，，所以，则，，所以，，，，设，则，，，设平面PCD的法向量为，则，令，则，，所以，所以，解得，则，所以当时，直线AB与平面PCD所成角正弦值为．6．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）利用面面垂直得到平面，再由勾股定理得到， ，线面垂直的判断定理可得平面，可得；（2）连接，，由（1）知平面，则到平面的距离等于到平面的距离，由可得答案.(1)因为，为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为，，所以，所以，同理，因为，，平面，所以平面，所以.(2)连接，，由（1）知平面，则到平面的距离等于到平面的距离，所以，作，垂足为，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又，所以，所以.7．(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】(1)根据给定条件证明即可推理作答.(2)在平面内过A作，以点A为原点，射线AM，AD，AP分别为x，y，z轴非负轴建立坐标系，借助空间向量计算作答.(1)在四棱锥中，平面，而平面，则，因，，平面，所以平面.(2)在平面内过A作交BC于点M，由(1)知，两两垂直，以点A为原点，射线分别为轴非负轴建立空间直角坐标系，如图，依题意，，则，，设平面的一个法向量，则，令，得，显然平面的一个法向量，于是得，二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值.8．(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，证明平面，即可证明出平面平面.（2）用等体积法，即，即可求出答案.(1)连接，交于点，连接，如图所示， 底面为矩形，为，的中点，又，，，，又，平面，平面，平面平面．(2)，，，，在中，，，在中，，在中，，，，，，设点到平面的距离为，由等体积法可知，又平面，为点到平面的距离，，，即点到平面的距离为．9．(1)证明见解析；(2)当点与点重合时，平面与平面所成锐二面角最大，此时锐二面角的余弦值为.【解析】【分析】（1）证明出平面，再由可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，其中，利用空间向量法可求得平面与平面所成锐二面角余弦值的最小值.(1)证明：在梯形中，，，故梯形为等腰梯形，因为，则，所以，，又因为，则，，因为平面，平面，，，平面，因为四边形为矩形，则，因此，平面.(2)解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，由余弦定理可得，则、、、、，设点，其中，设平面的法向量为，，，由，取，可得，易知平面的一个法向量为，，所以，当时，取最小值，此时平面与平面所成锐二面角最大，此时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.10．(1)证明见详解(2)【解析】【分析】（1）连接，交于点，则为中点，再由等腰三角形三线合一可知为中点，连接，利用中位线可知，根据直线与平面平行的判定定理即可证明；（2）根据题意建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法即可求出两平面所成角的余弦值.(1)连接，交于点，则为中点，因为，于，则为中点，连接，则，又因为平面，平面,所以平面；(2)如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为，由可得，令，得，即，易知平面的一个法向量为，设平面与平面所成角为，，则平面与平面所成角的余弦值为.