2023届高考数学二轮复习导数在研究函数中的作用作业含答案

（11）导数在研究函数中的作用

1.设函数，a，b均为正整数，若的极小值点为2，则的极大值点为(   ).

A.1 B.3 C.1或3 D.不确定

2.已知函数，给出下面三个结论：

①函数没有最大值，但有最小值；

②函数在区间上不存在零点，也不存在极值点；

③若，则.

其中，所有正确结论的序号是(   ).

A.①③ B.①② C.②③ D.①②③

3.已知函数在区间上有最小值，则实数a的取值范围是(   ).

A. B. C. D.

4.设函数，其中，则极大值点的个数是(   ).

A.1009 B.1010 C.2019 D.2020

5.函数的最小值为(   ).

A.3 B. C. D.

6.已知函数没有极值，则实数a的取值范围是(   ).

A. B. C. D.

7.函数的单调递减区间是(   ).

A. B. C. D.

8. （多选）已知函数，则下列判断正确的是(   ).

A.函数的图象关于y轴对称

B.函数在上单调递增

C.函数的最小值为2，无最大值

D.不等式的解集为

9. （多选）已知是的导函数，且，则(   ).

A.

B.

C.的图象在处的切线的斜率为0

D.在上的最小值为1

10. （多选）若定义在R上的函数，对任意两个不相等的实数，，都有，则称函数为“H函数”，下列函数是“H函数”的有(   ).

A.  B.

C.  D.

11.设，若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是___________.

12.若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为_________.

13.已知函数，，则不等式的解集是_____________.

14.已知函数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）设，讨论函数在上的单调性；

（Ⅲ）证明：对任意的s，，有.

15.已知函数.

（1）若，求a的取值范围；

（2）证明：若有两个零点，，则.

答案以及解析

1.答案：B

解析：对求导得，

令，得，则该方程必有一根为2，代入，有，解得，则.

因为2是的极小值点，且，所以为方程的较小根，从而，故.

又a为正整数，所以.故的极大值点为3.

2.答案：B

解析：因为函数可看作点与点连线的斜率，如图所示.

函数的导函数为，则函数在点处的切线的斜率，则，所以，故无最大值，

当时，过原点作的切线，记y轴右侧的第一个切点为，

则，所以有最小值，故①正确；

因为函数，所以，

令，则，

当时，，则在上单调递减，

所以，即，

所以在上单调递减，所以，故②正确，③错误.故选B.

3.答案：A

解析：由题意可得，且，这时存在，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增，即函数在区间上有极小值也是最小值，

所以实数a的取值范围是.

故选A.

4.答案：A

解析：由题意，可得，

令，即，解得，，

令，即，解得，，

所以函数在，上单调递增，在，上单调递减，

故函数的极大值点为，，

因为，所以，，，，……，，共1009个.故选A.

5.答案：A

解析：令，则，，

令，则，

当时，，当时，，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，

所以，故函数的最小值为3.故选A.

6.答案：C

解析：由得，

根据题意得，解得.故选C.

7.答案：D

解析：函数的定义域为，

，

当时，，函数单调递减，故选D.

8.答案：ACD

解析：因为函数，所以函数为偶函数，则函数的图象关于y轴对称，A正确；

当时，，则，所以函数在上单调递增，

而为偶函数，则函数在上单调递减，B错误；

因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以函数的最小值为2，无最大值，C正确；

不等式，

于是得，即，解得，D正确.故选ACD.

9.答案：BC

解析：，，令，则，

，故B正确；

，故A错误；

的图象在处的切线的斜率为，故C正确；

，当时，，单调递减，当时，，单调递增，在上的最小值为，故D错误.故选BC.

10.答案：BC

解析：由题意可知是R上的增函数.

对于A，由，得，所以在区间上为增函数，故A中函数不是“H函数”；

对于B，，又，所以恒成立，故B中函数是“H函数”；

对于C，恒成立，故C中函数是“H函数”；

对于D，易知为偶函数，所以它不可能为R上的增函数，故D中函数不是“H函数”.

11.答案：

解析：因为，所以.

因为函数有大于0的极值点，所以，即.

12.答案：

解析：由，得，则有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根，令，则，

当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，

，

作出的图象，如图所示，

.

13.答案：

解析：因为恒成立，所以在R上单调递减.

因为，所以，解得.

14.答案：（Ⅰ）

（Ⅱ）在上单调递增

（Ⅲ）见解析

解析：（Ⅰ）由题，，
故，，
因此，曲线在点处的切线方程为.

（Ⅱ）解法一：，
则，

设，，
则，

故在上单调递增，

故，
因此对任意的恒成立，
故在上单调递增.

解法二：，
则，
又，当时，，
故对任意的恒成立，
故在上单调递增.

（Ⅲ）设，
则，
由（Ⅱ）知在上单调递增，
故当，时，，
因此，在上单调递增，

故，
因此，对任意的，有.

15.答案：（1）；

（2）证明见解析

解析：（1）由题意知函数的定义域为.
由，
可得函数在上单调递减，在上单调递增.
所以.
又，所以，解得，
所以a的取值范围为.

（2）解法一：不妨设，则由（1）知，.
令，
则.
令，
则，
所以当时，，
所以当时，，所以当时，，
所以在上单调递增，所以，
即在上.
又，所以，即.
由（1）可知，函数在上单调递增，
所以，即.

解法二（同构构造函数化解等式）不妨设，则由（1）知，.
由，得，
即.
因为函数在R上单调递增，所以成立.
构造函数，，
则，
所以函数在上单调递增，
所以当时，，即当时，，
所以，
又，
所以在上单调递减，
所以，即.