2023届海南省高三学业水平诊断（一）数学试题含答案

这是一份2023届海南省高三学业水平诊断（一）数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1.已知集合，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
因为，又，所以.
2.命题“，”的否定为（ ）
A.，
B.，
C.，
D.，
答案：
C
解析：
根据全称量词命题的否定可知答案选C.
3.已知函数则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
由题意，，则.
4.已知是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
由于是定义在上的奇函数，所以，解得，所以当时，，.
5.函数的图象在其零点处的切线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
令，得，，所以的零点为.，，所以的图象在处的切线方程为，即.
6.早在两千年前，古人就通过观测发现地面是球面，并会运用巧妙的方法对地球半径进行估算.如图所示，把太阳光视为平行光线，为地球球心，，为北半球上同一经度的两点，且，之间的经线长度为，于同一时刻在，两点分别竖立一根长杆和，通过测量得到两根长杆与太阳光的夹角和（和的单位弧度），由此可计算地球的半径为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
如图所示，过点作太阳光的平行线，与的延长线交于点，则，，所以，设地球半径为，则根据弧长公式得，所以.
7.设，，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
因为，，所以，所以.令，则，所以在定义域上单调递减，所以当时，，即，所以，而，所以，所以.
8.已知函数，若是在区间上的唯一的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
，由题意可得，是函数在区间上唯一变号的零点，令，则在上没有变号零点.令，得.令，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当时，取得最小值，当或时，，要使没有变号零点，则需，解得，即实数的取值范围.
二、多选题
9.已知函数的一个零点，则（ ）
A.
B.的最大值为
C.在上单调递增
D.的图象可由曲线向右平移个单位长度得到
答案：
A、D
解析：
因为是的一个零点，所以，又，所以，.，的最大值为，故A项正确，B项错误；当时，，在此区间上不单调，故C项错误；曲线向右平移个单位长度，得到的图象解析式为，故D项正确.
10.已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B、C、D
解析：
的定义域为，就是图中虚线，所以，即.因为，所以.唯一的零点，所以.再由可得.
11.定义在上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，则（ ）
A.的图象关于点对称
B.的图象关于直线对称
C.的值域为
D.的实数根个数为
答案：
B、C
解析：
由可得的周期为，由为偶函数，可知的图象关于对称，将区间上的解析式扩展到，可画出函数的部分图象如图所示.由图易知，函数的图象无对称中心，故A项错误；函数的图象关于直线对称，故B项正确；函数的值域为，故C项正确；方程的根即与的图象的交点的横坐标，因为当时，，当时，，当时，，所以与的图象共有个交点，即方程的实数根个数为，故D项错误.
12.在中，角，，所对的边分别是，，，点在边上，和的面积分别为和且，则（ ）
A.
B.
C.面积的最小值是
D.的最小值为
答案：
A、C
解析：
如图所示，因为，，且，所以，，所以，，所以，，即，故A项正确，B项错误；，所以，在中，，即，在中，由正弦定理可得，即，所以，所以，因为，所以，当时，取得最小值，所以，即面积的最小值是，故C项正确；，设，则，易知在上单调递增，因为，，故存在，满足，且在上单调递减，在上单调递增，故，因此的最小值不是，故D项错误.
三、填空题
13.已知，若是函数的一个周期，则________.
答案：
解析：
由题意知是的整数倍，故.
14.已知正数，满足，，则函数的定义域为________.
答案：
解析：
由题意可知，，因为，所以，整理得，所以，则.要使有意义，则，得.
15.已知是第四象限角，且，则________.
答案：
解析：
由条件得，所以，得，解得，故，所以.
16.已知函数在区间上的最大值为，则实数________.
答案：
解析：
当时，.若，则，最大值为，不符合条件；若，则，最大值为，令，得，舍去；若，可作出在上的草图，可知的最大值在，或处取得，而，故只有，解得.
四、解答题
17.设等差数列的前项和为，已知，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和.
答案：
见解析；
解析：
（Ⅰ）设的公差为，
由得
解得
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
当为奇数时，.
所以当为偶数时，，
当为奇数时，，
即.
18.近年来青少年近视问题日趋严重，引起了政府、教育部门和社会各界的高度关切.一研究机构为了解近视与户外活动时间的关系，对某地区的小学生随机调查了人，得到如下数据：
（Ⅰ）从这些小学生中任选人，表示事件“该小学生近视”，表示事件“该小学生平均每天户外活动时间不足小时”，分别求和；
（Ⅱ）完成下面的列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为近视与户外活动时间有关系？
附：.
答案：
见解析；
解析：
（Ⅰ）；
.
（Ⅱ）列联表如下：
所以，
因为，
所以根据小概率值的独立性检验，可以认为近视与户外活动时间有关系.
19.已知的内角，，的对边分别为，，，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，且，求的面积.
答案：
见解析；
解析：
（Ⅰ）根据三角形面积公式有，
所以，得，
所以，
由，得.
（Ⅱ）由余弦定理可得，
可得，
所以，得，
于是.
所以的面积.
20.已知矩形所在的平面与直角梯形所在的平面垂直，，，且，，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值.
答案：
见解析；
解析：
（Ⅰ）如图，在上取一点，使得，连接，，.
因为，，所以，
又因为面，面
所以面.
因为，，再由条件知，所以是平行四边形，
所以，又因为面，面
所以面.
又，所以平面平面.
由条件可知，又因为平面平面，交线为，
所以平面，所以平面，
所以.
（Ⅱ）分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
则，.
设平面的法向量为，
由令，得.
易知平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，则.
因此平面与平面夹角的余弦值为.
21.已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，的上顶点为，右顶点为，为坐标原点，的面积为.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）斜率为的直线与椭圆交于，两点，若在轴上存在唯一的点，满足，求的方程.
答案：
见解析；
解析：
（Ⅰ）设的半焦距为.
双曲线的离心率为，所以的离心率为，即.①
因为的面积为，所以.②
结合①②与，解得，，
所以的方程为.
（Ⅱ）由，得.
因为在轴上存在唯一的点满足，所以以为直径的圆与轴相切.
设直线，，.
联立得，
则，得，
，，
可得中点的横坐标为.
因为，
所以以为直径的圆的半径，
即，解得，
故直线的方程是或.
22.已知函数，，.
（Ⅰ）若，求的单调区间；
（Ⅱ）若方程在区间上有且仅有个实数根，求的取值范围.
答案：
见解析；
解析：
（Ⅰ）若，则，，
，
当时，，当时，，
故的单调递减区间为，单调递增区间为.
（Ⅱ）由，得.
令，则在上有唯一零点.
，令，则.
（ⅰ）若，则在上，，单调递增，
又，，故存在，使得，
且当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又因为，所以在上没有零点.
（ⅱ）若，则在上，，单调递减，
与（ⅰ）类似，可知在上先增后减，也没有零点.
（ⅲ）若，则在上单调递减，在上单调递增，
故，
令，则，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，即.
要使在上有唯一零点，只需得.
综上可得，的取值范围为.