2022届海南省高三上学期学业水平诊断一数学试题（解析版）

这是一份2022届海南省高三上学期学业水平诊断一数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（ ）
A．1B．i
C．D．
【答案】B
【分析】利用复数的乘除法法则对复数化简即可.
【详解】解：．
故选：B．
2．已知集合，，若，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】对分两种情况讨论，化简集合，解一元二次不等式化简集合，再根据交集的结果，即可得到答案；
【详解】，
当时，，，不成立；
当时，，，
，，
故选：C.
3．已知函数若，则（ ）
A．7B．-2C．2D．7或-2
【答案】D
【分析】由函数解析式，分时，；时，，分别求解即可得选项.
【详解】解：因为，，所以
当时，，解得，满足，故时不等式成立；
当时，，解得，满足，故时不等式成立；
故选：D.
4．在等比数列中，，是方程的两个实根，则（ ）
A．-1B．1C．-3D．3
【答案】B
【分析】由韦达定理可知，结合等比中项的性质可求出.
【详解】解：在等比数列中，由题意知：，，
所以，，所以且，即.
故选：B.
5．已知函数（是的导函数），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对函数进行求导，求出，再令代入解析式，即可得到答案；
【详解】，，
，，
故选：D.
6．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先利用奇偶性排除部分选项，再由函数值的符号判断排除可得选项.
【详解】解：因为函数的定义域为R，且，
所以函数是奇函数，故排除C、D，
又，故排除B选项.
故选：A.
7．已知函数，若，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由对数型复合函数的单调性判断即可得出结果.
【详解】作出函数，的图象如图所示：
则的单调递增区间为：，单调递减区间为：.
，，
.
,
.
故选：A
8．某地采用10合1混检的方式对居民进行新冠病毒核酸检测，即将10个人的咽拭子样本放入同一个采集管中进行检测，最后不满10人的，如果人数小于5，就将他们的样本混到前一个采集管中，否则再使用一个新的采集管．则各采样点使用的采集管个数y与到该采样点采样的人数之间的函数关系式为（ ）（表示不大于x的最大整数）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由x能被10整除或x除以10的余数为1，2，3，4可得，由x除以10的余数为5，6，7，8，9可得，即可得出结果.
【详解】当x能被10整除或x除以10的余数为1，2，3，4时，
，即不需要再使用新的采集管；
当x除以10的余数为5，6，7，8，9时，
，即需要再使用一个新的采集管；
故选：C
二、多选题
9．在菱形ABCD中，E是AB边的中点，F是AD边的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据题意和菱形的性质可得、、、，依次判断选项即可.
【详解】在菱形中，即，所以，
又，所以与不共线，故A正确，B错误；
因为E、F分别是AB、AD的中点，所以，
又，所以，所以，故C正确，D错误.
故选：AC
10．已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据题意和等差数列的前n项和公式、等差中项的应用可得，进而可得，利用计算即可判断选项C、D.
【详解】由题意知，，得，
即，解得，所以，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，当时，不成立，故D错误.
故选：ABC
11．将函数图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A．
B．的图象相邻两条对称轴间距离为
C．在上单调递减
D．在上的值域为
【答案】BD
【分析】由图象的平移和伸缩得出函数的解析式，对于A，代入计算可判断；对于B，求得函数的最小正周期，可得相邻两条对称轴间距离；对于C，由已知得，根据正弦函数的单调性可判断；对于D，由已知得，根据正弦函数的性质可判断.
【详解】解：由已知得，所以，
对于A，，故A不正确；
对于B，的最小正周期，所以的图象相邻两条对称轴间距离为，故B正确；
对于C，当时，，因为在上单调递增，所以在上单调递增，故C不正确；
对于D，当时，，所以，故D正确，
故选：BD．
12．已知函数，则（ ）
A．在上单调递减，在上单调递增
B．有2个不同的零点
C．若a，，则
D．若且，则
【答案】AD
【分析】对函数进行求导，解导数不等式，利用零点存在性定理，利用作差法比较大小，利用极值点偏移，即可得到答案；
【详解】对A，，
，
，当，
在上单调递减，在上单调递增，故A正确；
对B，，，故B错误；
对C，
，故C错误；
对D，不妨设，，要证，
设
，
函数在单调递增，且，
恒成立，，
，且在单调递增，
，故D正确；
故选：AD
三、填空题
13．已知两个单位向量，满足，则向量，的夹角为______．
【答案】
【分析】首先根据平面向量的运算律求出，再根据夹角公式计算可得；
【详解】解：由单位向量，满足，得，所以，，所以，
又,所以.
故答案为：
14．已知，请写出一个满足条件的______．
【答案】
【分析】根据诱导公式可得，结合两角和的余弦公式即可得出结果.
【详解】由题意知，，
又，
所以可以为.
故答案为：
15．已知x，y，z为正实数，且，则的最大值为______．
【答案】2
【分析】由已知得，再根据基本不等式求得，由此可得最大值.
【详解】解：因为，所以，
又x，y，z为正实数，所以，当且仅当时取等号，
所以，即，所以，当且仅当时取等号.
所以的最大值为2，
故答案为：2.
16．在等差数列中，，与互为相反数，为的前n项和，，则的最小值是______．
【答案】6
【分析】根据条件求出，，对进行分类讨论求出，求出的表达式，再构造函数利用导数研究函数的最值，即可得到答案；
【详解】，，
解得：，，
，
，，
当时，
，
当时，
，
当时，，
考察函数，，
当时，，在单调递增，
当时，为最小值；
当时，，
考察函数，，
当时，；函数在单调递增，
当时，为最小值；
综上所述：的最小值是；
故答案为：
四、解答题
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)求A；
(2)若的面积为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理与求出，进而得到；（2）结合第一问求出的和，的面积，得到，，再用余弦定理求出.
(1)
因为，由正弦定理得：，所以，因为，所以，因为，所以；
(2)
的面积为，因为，的面积为，所以，解得：，故，所以
18．奥运会个人射箭比赛中，每名选手一局需要射3箭，某选手前三局的环数统计如下表：
(1)求该选手这9箭射中的环数的平均数和方差；
(2)若以该选手前9箭射中不同环数的频率代替他每一箭射中相应环数的概率，且每一次射箭互不影响，求他第4局的总环数不低于29的概率．
【答案】(1)平均数为9，方差为.
(2)
【分析】（1）根据平均数和方差的公式计算即可；
（2）该选手第4局的总环数不低于29，包含"1个9环，2个10环”和"3个10环"两种情况，射中9环的概率为，射中10环的概率为，计算即可求得概率.
(1)
平均数为，
方差为
(2)
该选手第4局的总环数不低于29，包含"1个9环，2个10环”和"3个10环"两种情况，
由表中数据可知，该选手每一箭射中9环的概率为，射中10环的概率为，
所以所求的概率为
19．已知各项都为正数的等比数列的前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，若，求正整数k的值．
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）设数列的公比q，由等比数列的通项公式和求和公式可求得答案；
（2）由（1）得， ，从而求得代入方程中求解即可.
(1)
解：设数列的公比q，由得又，所以，解得（舍去）或
所以，所以；
(2)
解：由（1）得，又，所以，所以
由得，整理得，解得（舍去）或.
所以.
20．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面CDP，，，且．
(1)求证：平面平面ABCD；
(2)若，，求直线PB与平面ADP所成角的正弦值．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）先证明线线垂直，从而证明线面垂直，再证明面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求解线面角.
(1)
因为平面CDP，平面CDP，所以，因为，且，所以，，因为，所以，，所以，因为，所以平面ABCD，因为平面ABCD，所以平面平面ABCD
(2)
因为底面ABCD是矩形，所以AD⊥CD，由第一问可知：，平面ABCD，平面ABCD，所以，所以以D为坐标原点，DE，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，因为，，所以，，，，，，，设平面ADP的法向量，则 ，解得：，令得：，所以，设直线PB与平面ADP所成角为，则
21．已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，，过点的动直线l与C交于A，B两点，且当动直线l与y轴重合时，四边形的面积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若与的面积之比为2:1，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）根据离心率和直线l与y轴重合时四边形的面积列出方程，结合，得到，，进而求出椭圆方程；（2）根据与的面积之比为2:1，转化为线段的比值，分为两种情况，进而求出直线l的方程.
(1)
如图，四边形的面积为，又因为，，解得：，，所以椭圆C的标准方程为；
(2)
当直线l的斜率不存在时，此时与的面积相等，不合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l方程为与x轴的交点为D，则，因为与的面积之比为2:1，如图1，则，故，即，解得：；直线l的方程为；如图2，则，即，解得：，直线l的方程为；综上：直线l的方程为或
22．已知函数，．
(1)若曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的值；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用导数求出曲线在点处的切线方程，将点的坐标代入切线方程，可求得实数的值；
（2）分析可知，结合函数的极值与最值的关系可知为函数的极小值，可得出，求得，再利用导数验证函数在处取得最小值，即可得解.
(1)
解：因为，则函数的定义域为，则，
所以，，，
所以，曲线在点处的切线方程为，
由题意可知，直线过点，所以，，解得.
(2)
解：因为，且对任意的，，故，
又因为函数为可导函数，则为函数的极小值，
因为，由已知可得，解得.
检验：当时，，其中，则，
令，其中，则，
故函数在上单调递增，且，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
综上所述，.
因此，.
环数
第1局
10
10
7
第2局
8
9
9
第3局
10
8
10