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2022-2023学年河南省南阳市南召县七年级（上）期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年河南省南阳市南召县七年级（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省南阳市南召县七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分；共30分）
1．（3分）﹣8的倒数是（ ）
A．﹣8 B．8 C．−18 D．18
2．（3分）餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．5×109千克 B．50×109千克
C．5×1010千克 D．0.5×1011千克
3．（3分）下列各组代数式中，是同类项的是（ ）
A．5x2y与15xy B．﹣5x2y与15yx2
C．5ax2与15yx2 D．83与x3
4．（3分）分别从正面、上面、左面观察下列物体，得到的平面图形完全相同的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．（3分）下列去括号或添括号的变形中，正确的是（ ）
A．2a﹣（3b﹣c）＝2a﹣3b﹣c B．3a+2（2b﹣1）＝3a+4b﹣1
C．a+2b﹣3c＝a+（2b﹣3c） D．m﹣n+a﹣b＝m﹣（n+a﹣b）
6．（3分）下列四个生活、生产现象中，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（ ）
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线
③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着直线架设
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
7．（3分）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，A在O的北偏东30°方向上，B在O的南偏东60°方向上，则下列结论：
①∠NOA＝30°；
②∠NOB与∠AOE互补；
③∠AOE与∠BOE互余．
其中正确结论的个数有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
9．（3分）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列叙述：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
④如果b⊥a，a⊥c，那么b∥c．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
10．（3分）学校有一个长为a，宽为b的长方形花园，其中在这个花园中有横竖两条如图1所示两条大小相同的长方形通道，现要在剩余两个阴影部分的区域种草坪，并要在草坪四周围上围栏，根据你所学的知识，计算一下共需要多少围栏（ ）
A．4a B．4b C．2（a+b） D．4（a﹣b）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请写出一个比−23小的有理数： ．（写出一个即可）
12．（3分）若一个角的余角是36°35'，则这个角的补角是 ．
13．（3分）已知|a|＝3，|b|＝5，且|a+b|＝﹣a﹣b，则a﹣b的值为 ．
14．（3分）桌子上摆放若干碟子，从三个方向看得到的平面图形如图所示，则这张桌子上共有 个碟子．
15．（3分）对于有理数a，b，c，d，给出如下定义：如果|a﹣c|+|b﹣c|＝d．那么称a和b关于c的相对距离为d，如果m和3关于1的相对距离为5，那么m的值为 ．
三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10＝75分）
16．（10分）计算：
（1）−32×(−12+56−4)；
（2）−12+|1+(−2)×3|−(−2)2÷45．
17．（9分）计算：﹣34÷（﹣27）﹣[（﹣2）×（−43）+（﹣2）3]．
18．（9分）先化简，再求值：2(32x2−3xy+y2)−3(x2−13xy+2y2)+4y2，其中x，y满足（x+1）2+|y﹣2|＝0．
19．（9分）将立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，可以得到其表面展开图的平面图形．
（1）以下两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是 （填A或B）．
（2）在以下方格图中，画一个与（1）中呈现的阴影部分不相似（包括不全等）的立方体表面展开图．（用阴影表示）
（3）如图中的实线是立方体纸盒的剪裁线，请将其表面展开图画在右图的方格图中．（用阴影表示）
20．（9分）如图，AD∥BC，∠1＝∠C，∠B＝60°，DE平分∠ADC交BC于点E，
试说明AB∥DE．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：∵AD∥BC，（已知）
∴∠1＝∠ ＝60°．（ ）
∵∠1＝∠C，（已知）
∴∠C＝∠B＝60°．（等量代换）
∵AD∥BC，（已知）
∴∠C+∠ ＝180°．（ ）
∴∠ ＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．（等式的性质）
∵DE平分∠ADC，（已知）
∴∠ADE=12∠ADC=12×120°＝60°．（ ）
∴∠1＝∠ADE．（等量代换）
∴AB∥DE．（ ）
21．（9分）某大型商场销售一种茶具和茶碗，茶具每套定价500元，茶碗每只定价40元，“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一套茶具送2只茶碗，方案二：茶具和茶碗都按定价的九折付款．现在某客户要到商场购买茶具15套，茶碗x（x＞30）只，
（1）若客户按方案一，需要付款 元；若客户按方案二，需要付款 元（用含x的代数式表示）．
（2）若x＝60时，试通过计算说明此时方案一、二中，哪种购买方案更省钱．
（3）当x＝60时，能否找到一种更为省钱的方案？如果能，请写出你的方案，并计算出此方案应付钱数：如果不能，请说明理由．
22．（10分）如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有三个点A、B、C；其中AB＝2BC，设点A、B、C所对应数点和为m．
（1）若点C为原点，BC＝1，则点A对应的数为 ，点B对应的数为 ，m的值为 ；
（2）若点B为原点，AC＝9，求m的值．
（3）若原点O到点C的距离为6，且OC＝AB，直接写出m的值．
23．（10分）问题情境
在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°．
操作发现：
（1）在图1中，∠1＝46°，求∠2的度数；
（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2﹣∠1＝120°，说明理由；
实践探究
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分∠BAM，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请直接写出∠1与∠2的数量关系．
2022-2023学年河南省南阳市南召县七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分；共30分）
1．（3分）﹣8的倒数是（ ）
A．﹣8 B．8 C．−18 D．18
【解答】解：根据倒数的定义得：﹣8×（−18）＝1，
因此﹣8的倒数是−18．
故选：C．
2．（3分）餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．5×109千克 B．50×109千克
C．5×1010千克 D．0.5×1011千克
【解答】解：将500亿用科学记数法表示为：5×1010．
故选：C．
3．（3分）下列各组代数式中，是同类项的是（ ）
A．5x2y与15xy B．﹣5x2y与15yx2
C．5ax2与15yx2 D．83与x3
【解答】解：
A、5x2y与15xy字母x、y相同，但x的指数不同，所以不是同类项；
B、﹣5x2y与15yx2字母x、y相同，且x、y的指数也相同，所以是同类项；
C、5ax2与15yx2字母a与y不同，所以不是同类项；
D、83与x3，对83只是常数项无字母项，x3只是字母项无常数项，所以不是同类项．
故选：B．
4．（3分）分别从正面、上面、左面观察下列物体，得到的平面图形完全相同的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【解答】解：图①、图②、图③、图④可以近似的看作正方体，圆锥体，长方体、圆柱体，
正方体的三视图都是正方形的，
圆锥体的主视图、左视图是三角形的，而俯视图是圆形的，
长方体的三视图虽然都是长方形的，但它们的大小不相同，
圆柱的主视图、主视图是长方形的，但俯视图是圆形的，
因此从正面、上面、左面看所得到的平面图形完全相同的是正方体，
故选：A．
5．（3分）下列去括号或添括号的变形中，正确的是（ ）
A．2a﹣（3b﹣c）＝2a﹣3b﹣c B．3a+2（2b﹣1）＝3a+4b﹣1
C．a+2b﹣3c＝a+（2b﹣3c） D．m﹣n+a﹣b＝m﹣（n+a﹣b）
【解答】解：A、2a﹣（3b﹣c）＝2a﹣3b+c，错误；
B、3a+2（2b﹣1）＝3a+4b﹣2，错误；
C、a+2b﹣3c＝a+（2b﹣3c），正确；
D、m﹣n+a﹣b＝m﹣（n﹣a+b），错误；
故选：C．
6．（3分）下列四个生活、生产现象中，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（ ）
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线
③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着直线架设
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【解答】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，是两点确定一条直线，故此选项错误；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，是两点确定一条直线，故此选项错误；
③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着直线架设，是两点之间，线段最短，故此选项正确；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，是两点之间，线段最短，故此选项正确；
故选：D．
7．（3分）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、手的对面是勤，不符合题意；
B、手的对面是口，符合题意；
C、手的对面是罩，不符合题意；
D、手的对面是罩，不符合题意；
故选：B．
8．（3分）如图，A在O的北偏东30°方向上，B在O的南偏东60°方向上，则下列结论：
①∠NOA＝30°；
②∠NOB与∠AOE互补；
③∠AOE与∠BOE互余．
其中正确结论的个数有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【解答】解：由方位角意义可知：∠NOA＝30°，因此①正确；
根据题意可求出；∠NOB＝120°，∠AOE＝60°，则∠NOB+∠AOE＝180°，因此②正确；
图中互余的角有：∠NOA和∠AOE，∠NOA和∠BOS，∠BOE和∠AOE，∠BOE和∠BOS，因此③正确；
综上所述，正确的个数有3个，
故选：D．
9．（3分）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列叙述：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
④如果b⊥a，a⊥c，那么b∥c．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【解答】解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，是真命题；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c，是真命题；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c，是假命题；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，是真命题．
其中是正确的是是①②④，
故选：C．
10．（3分）学校有一个长为a，宽为b的长方形花园，其中在这个花园中有横竖两条如图1所示两条大小相同的长方形通道，现要在剩余两个阴影部分的区域种草坪，并要在草坪四周围上围栏，根据你所学的知识，计算一下共需要多少围栏（ ）
A．4a B．4b C．2（a+b） D．4（a﹣b）
【解答】解：设长方形通道的宽为x，则长为a﹣x，
∴大阴影部分的周长为2[（a﹣x）+（b﹣x）]＝2（a+b﹣2x），
小阴影部分的周长为2[x+（b﹣a+x）]＝2（b﹣a+2x），
则周长之和为2（a+b﹣2x）+2（b﹣a+2x）＝2a+2b﹣4x+2b﹣2a+4x＝4b．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请写出一个比−23小的有理数： ﹣1 ．（写出一个即可）
【解答】解：在数轴上找到点−23，在−23左边的数都比它小．例如﹣2、﹣1、−43等．
故答案为：﹣1（不唯一）．
12．（3分）若一个角的余角是36°35'，则这个角的补角是 126°35’ ．
【解答】解：∵一个角的余角是36°35'，
∴这个角的补角是90°+36°35′＝126°35′．
故答案为：126°35′．
13．（3分）已知|a|＝3，|b|＝5，且|a+b|＝﹣a﹣b，则a﹣b的值为 8或2 ．
【解答】解：∵a，b为有理数，|a|＝3，|b|＝5，
∴a＝±3，b＝±5，
∵|a+b|＝﹣a﹣b，
∴a+b≤0，
∴a＝±3，b＝﹣5，
∴当a＝+3，b＝﹣5时，故a﹣b＝8；
当a＝﹣3，b＝﹣5时，成立，a﹣b＝2；
∴a﹣b＝8或2．
故答案为：8或2．
14．（3分）桌子上摆放若干碟子，从三个方向看得到的平面图形如图所示，则这张桌子上共有 10或11或12或13 个碟子．
【解答】解：易得三摞碟子数分别为5，1，4或5，2，4或5，3，4或5，4，4，则这个桌子上共有10或11或12或13个碟子．
故答案为：10或11或12或13．
15．（3分）对于有理数a，b，c，d，给出如下定义：如果|a﹣c|+|b﹣c|＝d．那么称a和b关于c的相对距离为d，如果m和3关于1的相对距离为5，那么m的值为 4或﹣2 ．
【解答】解：由题意得|m﹣1|+|3﹣1|＝5，
即|m﹣1|＝3，
∴m﹣1＝3或m﹣1＝﹣3，
解得m＝4或﹣2，
故答案为4或﹣2．
三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10＝75分）
16．（10分）计算：
（1）−32×(−12+56−4)；
（2）−12+|1+(−2)×3|−(−2)2÷45．
【解答】解（1）−32×(−12+56−4)
=32×12−32×56+32×4
=34−54+6
＝512；
（2）−12+|1+(−2)×3|−(−2)2÷45
=−1+|1−6|−4÷45
＝﹣1+5﹣4×54
＝﹣1+5﹣5
＝﹣1．
17．（9分）计算：﹣34÷（﹣27）﹣[（﹣2）×（−43）+（﹣2）3]．
【解答】解：原式＝﹣81÷（﹣27）﹣[83−8]，
＝3+163，
=253．
18．（9分）先化简，再求值：2(32x2−3xy+y2)−3(x2−13xy+2y2)+4y2，其中x，y满足（x+1）2+|y﹣2|＝0．
【解答】解：原式＝3x2﹣6xy+2y2﹣3x2+xy﹣6y2+4y2
＝﹣5xy，
∵（x+1）2+|y﹣2|＝0，
又∵（x+1）2≥0，|y﹣2|≥0，
∴x+1＝0，y﹣2＝0，
∴x＝﹣1，y＝2．
当x＝﹣1，y＝2时，
原式＝﹣5×（﹣1）×2＝10．
19．（9分）将立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，可以得到其表面展开图的平面图形．
（1）以下两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是 A （填A或B）．
（2）在以下方格图中，画一个与（1）中呈现的阴影部分不相似（包括不全等）的立方体表面展开图．（用阴影表示）
（3）如图中的实线是立方体纸盒的剪裁线，请将其表面展开图画在右图的方格图中．（用阴影表示）
【解答】解：（1）两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是A，
故答案为：A．
（2）立方体表面展开图如图所示：
（3）将其表面展开图画在方格图中如图所示：
20．（9分）如图，AD∥BC，∠1＝∠C，∠B＝60°，DE平分∠ADC交BC于点E，
试说明AB∥DE．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：∵AD∥BC，（已知）
∴∠1＝∠ B ＝60°．（ 两直线平行，同位角相等 ）
∵∠1＝∠C，（已知）
∴∠C＝∠B＝60°．（等量代换）
∵AD∥BC，（已知）
∴∠C+∠ ADC ＝180°．（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∴∠ ADC ＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．（等式的性质）
∵DE平分∠ADC，（已知）
∴∠ADE=12∠ADC=12×120°＝60°．（ 角平分线定义 ）
∴∠1＝∠ADE．（等量代换）
∴AB∥DE．（ 内错角相等，两直线平行 ）
【解答】解：∵AD∥BC，（已知）
∴∠1＝∠B＝60°．（ 两直线平行，同位角相等）
∵∠1＝∠C，（已知）
∴∠C＝∠B＝60°．（等量代换）
∵AD∥BC，（已知）
∴∠C+∠ADC＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠ADC＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．（等式的性质）
∵DE平分∠ADC，（已知）
∴∠ADE=12∠ADC=12×120°＝60°．（角平分线定义）
∴∠1＝∠ADE．（等量代换）
∴AB∥DE．（内错角相等，两直线平行．）
故答案为：B，两直线平行，同位角相等，ADC，两直线平行，同旁内角互补，ADC，角平分线定义，内错角相等，两直线平行．
21．（9分）某大型商场销售一种茶具和茶碗，茶具每套定价500元，茶碗每只定价40元，“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一套茶具送2只茶碗，方案二：茶具和茶碗都按定价的九折付款．现在某客户要到商场购买茶具15套，茶碗x（x＞30）只，
（1）若客户按方案一，需要付款 （40x+6300） 元；若客户按方案二，需要付款 （6750+36x） 元（用含x的代数式表示）．
（2）若x＝60时，试通过计算说明此时方案一、二中，哪种购买方案更省钱．
（3）当x＝60时，能否找到一种更为省钱的方案？如果能，请写出你的方案，并计算出此方案应付钱数：如果不能，请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意得：
若客户按方案一，需要付款：
500×15+40（x﹣15×2）
＝7500+40x﹣1200
＝（40x+6300）元；
若客户按方案二，需要付款：
90%（15×500+40x）
＝0.9（7500+40x）
＝（6750+36x）元；
故答案为：（40x+6300），（6750+36x）；
（2）当x＝60时，40x+6300＝40×60+6300＝2400+6300＝8700（元）；
6750+36x＝6750+36×60＝6750+2160＝8910（元），
∵8910＞8700，
∴方案一更省钱；
（3）能，购买方案如下：
按照方案一购买15套茶具，则送茶碗30只，需付款15×500＝7500元，
余下的采用方案二购买，需付款30×40×90%＝1080元，
总付款为7500+1080＝8580元，
∵8580＜8700＜8910，
∴此方案最为节省．
22．（10分）如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有三个点A、B、C；其中AB＝2BC，设点A、B、C所对应数点和为m．
（1）若点C为原点，BC＝1，则点A对应的数为 ﹣3 ，点B对应的数为 ﹣1 ，m的值为 ﹣4 ；
（2）若点B为原点，AC＝9，求m的值．
（3）若原点O到点C的距离为6，且OC＝AB，直接写出m的值．
【解答】解：（1）∵点C为原点，BC＝1，
∴B所对应的数为﹣1，
∵AB＝2BC，
∴AB＝2，
∴点A所对应的数为﹣3，
∴m＝﹣3﹣1+0＝﹣4；
故答案为：﹣3，﹣1，﹣4；
（2）∵点B为原点，AC＝9，AB＝2BC，
∴点A所对应的数为﹣6，点C所对应的数为3，
∴m＝﹣6+3+0＝﹣3；
（3）∵原点O到点C的距离为6，
∴点C所对应的数为±6，
∵OC＝AB，
∴AB＝6，
当点C对应的数为6，
∵AB＝6，AB＝2BC，
∴BC＝3，
∴点B所对应的数为3，点A所对应的数为﹣3，
∴m＝3﹣3+6＝6；
当点C所对应的数为﹣6，
∵AB＝6，AB＝2BC，
∴BC＝3，
∴点B所对应的数为﹣9，点A所对应的数为﹣15，
∴m＝﹣15﹣9﹣6＝﹣30
综上所述 m＝6或﹣30．
23．（10分）问题情境
在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°．
操作发现：
（1）在图1中，∠1＝46°，求∠2的度数；
（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2﹣∠1＝120°，说明理由；
实践探究
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分∠BAM，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请直接写出∠1与∠2的数量关系．
【解答】解：（1）∵∠BCA＝90°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝44°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝44°；
（2）理由如下：过点B作BD∥a，
则∠ABD＝180°﹣∠2，
∵a∥b，BD∥a，
∴BD∥b，
∴∠DBC＝∠1，
∵∠ABC＝60°，
∴180°﹣∠2+∠1＝60°，
∴∠2﹣∠1＝120°；
（3）∠1＝∠2，
理由如下：∵AC平分∠BAM，
∴∠BAM＝2∠BAC＝60°，
过点C作CE∥a，
∴∠2＝∠BCE，
∵a∥b，CE∥a，
∴CE∥b，∠1＝∠BAM＝60°，
∴∠ECA＝∠CAM＝30°，
∴∠2＝∠BCE＝60°，
∴∠1＝∠2．
2022-2023学年河南省南阳市南召县七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分；共30分）
1．（3分）﹣8的倒数是（ ）
A．﹣8 B．8 C．−18 D．18
2．（3分）餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．5×109千克 B．50×109千克
C．5×1010千克 D．0.5×1011千克
3．（3分）下列各组代数式中，是同类项的是（ ）
A．5x2y与15xy B．﹣5x2y与15yx2
C．5ax2与15yx2 D．83与x3
4．（3分）分别从正面、上面、左面观察下列物体，得到的平面图形完全相同的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．（3分）下列去括号或添括号的变形中，正确的是（ ）
A．2a﹣（3b﹣c）＝2a﹣3b﹣c B．3a+2（2b﹣1）＝3a+4b﹣1
C．a+2b﹣3c＝a+（2b﹣3c） D．m﹣n+a﹣b＝m﹣（n+a﹣b）
6．（3分）下列四个生活、生产现象中，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（ ）
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线
③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着直线架设
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
7．（3分）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，A在O的北偏东30°方向上，B在O的南偏东60°方向上，则下列结论：
①∠NOA＝30°；
②∠NOB与∠AOE互补；
③∠AOE与∠BOE互余．
其中正确结论的个数有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
9．（3分）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列叙述：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
④如果b⊥a，a⊥c，那么b∥c．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
10．（3分）学校有一个长为a，宽为b的长方形花园，其中在这个花园中有横竖两条如图1所示两条大小相同的长方形通道，现要在剩余两个阴影部分的区域种草坪，并要在草坪四周围上围栏，根据你所学的知识，计算一下共需要多少围栏（ ）
A．4a B．4b C．2（a+b） D．4（a﹣b）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请写出一个比−23小的有理数： ．（写出一个即可）
12．（3分）若一个角的余角是36°35'，则这个角的补角是 ．
13．（3分）已知|a|＝3，|b|＝5，且|a+b|＝﹣a﹣b，则a﹣b的值为 ．
14．（3分）桌子上摆放若干碟子，从三个方向看得到的平面图形如图所示，则这张桌子上共有 个碟子．
15．（3分）对于有理数a，b，c，d，给出如下定义：如果|a﹣c|+|b﹣c|＝d．那么称a和b关于c的相对距离为d，如果m和3关于1的相对距离为5，那么m的值为 ．
三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10＝75分）
16．（10分）计算：
（1）−32×(−12+56−4)；
（2）−12+|1+(−2)×3|−(−2)2÷45．
17．（9分）计算：﹣34÷（﹣27）﹣[（﹣2）×（−43）+（﹣2）3]．
18．（9分）先化简，再求值：2(32x2−3xy+y2)−3(x2−13xy+2y2)+4y2，其中x，y满足（x+1）2+|y﹣2|＝0．
19．（9分）将立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，可以得到其表面展开图的平面图形．
（1）以下两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是 （填A或B）．
（2）在以下方格图中，画一个与（1）中呈现的阴影部分不相似（包括不全等）的立方体表面展开图．（用阴影表示）
（3）如图中的实线是立方体纸盒的剪裁线，请将其表面展开图画在右图的方格图中．（用阴影表示）
20．（9分）如图，AD∥BC，∠1＝∠C，∠B＝60°，DE平分∠ADC交BC于点E，
试说明AB∥DE．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：∵AD∥BC，（已知）
∴∠1＝∠ ＝60°．（ ）
∵∠1＝∠C，（已知）
∴∠C＝∠B＝60°．（等量代换）
∵AD∥BC，（已知）
∴∠C+∠ ＝180°．（ ）
∴∠ ＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．（等式的性质）
∵DE平分∠ADC，（已知）
∴∠ADE=12∠ADC=12×120°＝60°．（ ）
∴∠1＝∠ADE．（等量代换）
∴AB∥DE．（ ）
21．（9分）某大型商场销售一种茶具和茶碗，茶具每套定价500元，茶碗每只定价40元，“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一套茶具送2只茶碗，方案二：茶具和茶碗都按定价的九折付款．现在某客户要到商场购买茶具15套，茶碗x（x＞30）只，
（1）若客户按方案一，需要付款 元；若客户按方案二，需要付款 元（用含x的代数式表示）．
（2）若x＝60时，试通过计算说明此时方案一、二中，哪种购买方案更省钱．
（3）当x＝60时，能否找到一种更为省钱的方案？如果能，请写出你的方案，并计算出此方案应付钱数：如果不能，请说明理由．
22．（10分）如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有三个点A、B、C；其中AB＝2BC，设点A、B、C所对应数点和为m．
（1）若点C为原点，BC＝1，则点A对应的数为 ，点B对应的数为 ，m的值为 ；
（2）若点B为原点，AC＝9，求m的值．
（3）若原点O到点C的距离为6，且OC＝AB，直接写出m的值．
23．（10分）问题情境
在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°．
操作发现：
（1）在图1中，∠1＝46°，求∠2的度数；
（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2﹣∠1＝120°，说明理由；
实践探究
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分∠BAM，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请直接写出∠1与∠2的数量关系．
2022-2023学年河南省南阳市南召县七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分；共30分）
1．（3分）﹣8的倒数是（ ）
A．﹣8 B．8 C．−18 D．18
【解答】解：根据倒数的定义得：﹣8×（−18）＝1，
因此﹣8的倒数是−18．
故选：C．
2．（3分）餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．5×109千克 B．50×109千克
C．5×1010千克 D．0.5×1011千克
【解答】解：将500亿用科学记数法表示为：5×1010．
故选：C．
3．（3分）下列各组代数式中，是同类项的是（ ）
A．5x2y与15xy B．﹣5x2y与15yx2
C．5ax2与15yx2 D．83与x3
【解答】解：
A、5x2y与15xy字母x、y相同，但x的指数不同，所以不是同类项；
B、﹣5x2y与15yx2字母x、y相同，且x、y的指数也相同，所以是同类项；
C、5ax2与15yx2字母a与y不同，所以不是同类项；
D、83与x3，对83只是常数项无字母项，x3只是字母项无常数项，所以不是同类项．
故选：B．
4．（3分）分别从正面、上面、左面观察下列物体，得到的平面图形完全相同的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【解答】解：图①、图②、图③、图④可以近似的看作正方体，圆锥体，长方体、圆柱体，
正方体的三视图都是正方形的，
圆锥体的主视图、左视图是三角形的，而俯视图是圆形的，
长方体的三视图虽然都是长方形的，但它们的大小不相同，
圆柱的主视图、主视图是长方形的，但俯视图是圆形的，
因此从正面、上面、左面看所得到的平面图形完全相同的是正方体，
故选：A．
5．（3分）下列去括号或添括号的变形中，正确的是（ ）
A．2a﹣（3b﹣c）＝2a﹣3b﹣c B．3a+2（2b﹣1）＝3a+4b﹣1
C．a+2b﹣3c＝a+（2b﹣3c） D．m﹣n+a﹣b＝m﹣（n+a﹣b）
【解答】解：A、2a﹣（3b﹣c）＝2a﹣3b+c，错误；
B、3a+2（2b﹣1）＝3a+4b﹣2，错误；
C、a+2b﹣3c＝a+（2b﹣3c），正确；
D、m﹣n+a﹣b＝m﹣（n﹣a+b），错误；
故选：C．
6．（3分）下列四个生活、生产现象中，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（ ）
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线
③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着直线架设
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【解答】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，是两点确定一条直线，故此选项错误；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，是两点确定一条直线，故此选项错误；
③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着直线架设，是两点之间，线段最短，故此选项正确；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，是两点之间，线段最短，故此选项正确；
故选：D．
7．（3分）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、手的对面是勤，不符合题意；
B、手的对面是口，符合题意；
C、手的对面是罩，不符合题意；
D、手的对面是罩，不符合题意；
故选：B．
8．（3分）如图，A在O的北偏东30°方向上，B在O的南偏东60°方向上，则下列结论：
①∠NOA＝30°；
②∠NOB与∠AOE互补；
③∠AOE与∠BOE互余．
其中正确结论的个数有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【解答】解：由方位角意义可知：∠NOA＝30°，因此①正确；
根据题意可求出；∠NOB＝120°，∠AOE＝60°，则∠NOB+∠AOE＝180°，因此②正确；
图中互余的角有：∠NOA和∠AOE，∠NOA和∠BOS，∠BOE和∠AOE，∠BOE和∠BOS，因此③正确；
综上所述，正确的个数有3个，
故选：D．
9．（3分）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列叙述：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
④如果b⊥a，a⊥c，那么b∥c．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【解答】解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，是真命题；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c，是真命题；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c，是假命题；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，是真命题．
其中是正确的是是①②④，
故选：C．
10．（3分）学校有一个长为a，宽为b的长方形花园，其中在这个花园中有横竖两条如图1所示两条大小相同的长方形通道，现要在剩余两个阴影部分的区域种草坪，并要在草坪四周围上围栏，根据你所学的知识，计算一下共需要多少围栏（ ）
A．4a B．4b C．2（a+b） D．4（a﹣b）
【解答】解：设长方形通道的宽为x，则长为a﹣x，
∴大阴影部分的周长为2[（a﹣x）+（b﹣x）]＝2（a+b﹣2x），
小阴影部分的周长为2[x+（b﹣a+x）]＝2（b﹣a+2x），
则周长之和为2（a+b﹣2x）+2（b﹣a+2x）＝2a+2b﹣4x+2b﹣2a+4x＝4b．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请写出一个比−23小的有理数： ﹣1 ．（写出一个即可）
【解答】解：在数轴上找到点−23，在−23左边的数都比它小．例如﹣2、﹣1、−43等．
故答案为：﹣1（不唯一）．
12．（3分）若一个角的余角是36°35'，则这个角的补角是 126°35’ ．
【解答】解：∵一个角的余角是36°35'，
∴这个角的补角是90°+36°35′＝126°35′．
故答案为：126°35′．
13．（3分）已知|a|＝3，|b|＝5，且|a+b|＝﹣a﹣b，则a﹣b的值为 8或2 ．
【解答】解：∵a，b为有理数，|a|＝3，|b|＝5，
∴a＝±3，b＝±5，
∵|a+b|＝﹣a﹣b，
∴a+b≤0，
∴a＝±3，b＝﹣5，
∴当a＝+3，b＝﹣5时，故a﹣b＝8；
当a＝﹣3，b＝﹣5时，成立，a﹣b＝2；
∴a﹣b＝8或2．
故答案为：8或2．
14．（3分）桌子上摆放若干碟子，从三个方向看得到的平面图形如图所示，则这张桌子上共有 10或11或12或13 个碟子．
【解答】解：易得三摞碟子数分别为5，1，4或5，2，4或5，3，4或5，4，4，则这个桌子上共有10或11或12或13个碟子．
故答案为：10或11或12或13．
15．（3分）对于有理数a，b，c，d，给出如下定义：如果|a﹣c|+|b﹣c|＝d．那么称a和b关于c的相对距离为d，如果m和3关于1的相对距离为5，那么m的值为 4或﹣2 ．
【解答】解：由题意得|m﹣1|+|3﹣1|＝5，
即|m﹣1|＝3，
∴m﹣1＝3或m﹣1＝﹣3，
解得m＝4或﹣2，
故答案为4或﹣2．
三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10＝75分）
16．（10分）计算：
（1）−32×(−12+56−4)；
（2）−12+|1+(−2)×3|−(−2)2÷45．
【解答】解（1）−32×(−12+56−4)
=32×12−32×56+32×4
=34−54+6
＝512；
（2）−12+|1+(−2)×3|−(−2)2÷45
=−1+|1−6|−4÷45
＝﹣1+5﹣4×54
＝﹣1+5﹣5
＝﹣1．
17．（9分）计算：﹣34÷（﹣27）﹣[（﹣2）×（−43）+（﹣2）3]．
【解答】解：原式＝﹣81÷（﹣27）﹣[83−8]，
＝3+163，
=253．
18．（9分）先化简，再求值：2(32x2−3xy+y2)−3(x2−13xy+2y2)+4y2，其中x，y满足（x+1）2+|y﹣2|＝0．
【解答】解：原式＝3x2﹣6xy+2y2﹣3x2+xy﹣6y2+4y2
＝﹣5xy，
∵（x+1）2+|y﹣2|＝0，
又∵（x+1）2≥0，|y﹣2|≥0，
∴x+1＝0，y﹣2＝0，
∴x＝﹣1，y＝2．
当x＝﹣1，y＝2时，
原式＝﹣5×（﹣1）×2＝10．
19．（9分）将立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，可以得到其表面展开图的平面图形．
（1）以下两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是 A （填A或B）．
（2）在以下方格图中，画一个与（1）中呈现的阴影部分不相似（包括不全等）的立方体表面展开图．（用阴影表示）
（3）如图中的实线是立方体纸盒的剪裁线，请将其表面展开图画在右图的方格图中．（用阴影表示）
【解答】解：（1）两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是A，
故答案为：A．
（2）立方体表面展开图如图所示：
（3）将其表面展开图画在方格图中如图所示：
20．（9分）如图，AD∥BC，∠1＝∠C，∠B＝60°，DE平分∠ADC交BC于点E，
试说明AB∥DE．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：∵AD∥BC，（已知）
∴∠1＝∠ B ＝60°．（ 两直线平行，同位角相等 ）
∵∠1＝∠C，（已知）
∴∠C＝∠B＝60°．（等量代换）
∵AD∥BC，（已知）
∴∠C+∠ ADC ＝180°．（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∴∠ ADC ＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．（等式的性质）
∵DE平分∠ADC，（已知）
∴∠ADE=12∠ADC=12×120°＝60°．（ 角平分线定义 ）
∴∠1＝∠ADE．（等量代换）
∴AB∥DE．（ 内错角相等，两直线平行 ）
【解答】解：∵AD∥BC，（已知）
∴∠1＝∠B＝60°．（ 两直线平行，同位角相等）
∵∠1＝∠C，（已知）
∴∠C＝∠B＝60°．（等量代换）
∵AD∥BC，（已知）
∴∠C+∠ADC＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠ADC＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．（等式的性质）
∵DE平分∠ADC，（已知）
∴∠ADE=12∠ADC=12×120°＝60°．（角平分线定义）
∴∠1＝∠ADE．（等量代换）
∴AB∥DE．（内错角相等，两直线平行．）
故答案为：B，两直线平行，同位角相等，ADC，两直线平行，同旁内角互补，ADC，角平分线定义，内错角相等，两直线平行．
21．（9分）某大型商场销售一种茶具和茶碗，茶具每套定价500元，茶碗每只定价40元，“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一套茶具送2只茶碗，方案二：茶具和茶碗都按定价的九折付款．现在某客户要到商场购买茶具15套，茶碗x（x＞30）只，
（1）若客户按方案一，需要付款 （40x+6300） 元；若客户按方案二，需要付款 （6750+36x） 元（用含x的代数式表示）．
（2）若x＝60时，试通过计算说明此时方案一、二中，哪种购买方案更省钱．
（3）当x＝60时，能否找到一种更为省钱的方案？如果能，请写出你的方案，并计算出此方案应付钱数：如果不能，请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意得：
若客户按方案一，需要付款：
500×15+40（x﹣15×2）
＝7500+40x﹣1200
＝（40x+6300）元；
若客户按方案二，需要付款：
90%（15×500+40x）
＝0.9（7500+40x）
＝（6750+36x）元；
故答案为：（40x+6300），（6750+36x）；
（2）当x＝60时，40x+6300＝40×60+6300＝2400+6300＝8700（元）；
6750+36x＝6750+36×60＝6750+2160＝8910（元），
∵8910＞8700，
∴方案一更省钱；
（3）能，购买方案如下：
按照方案一购买15套茶具，则送茶碗30只，需付款15×500＝7500元，
余下的采用方案二购买，需付款30×40×90%＝1080元，
总付款为7500+1080＝8580元，
∵8580＜8700＜8910，
∴此方案最为节省．
22．（10分）如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有三个点A、B、C；其中AB＝2BC，设点A、B、C所对应数点和为m．
（1）若点C为原点，BC＝1，则点A对应的数为 ﹣3 ，点B对应的数为 ﹣1 ，m的值为 ﹣4 ；
（2）若点B为原点，AC＝9，求m的值．
（3）若原点O到点C的距离为6，且OC＝AB，直接写出m的值．
【解答】解：（1）∵点C为原点，BC＝1，
∴B所对应的数为﹣1，
∵AB＝2BC，
∴AB＝2，
∴点A所对应的数为﹣3，
∴m＝﹣3﹣1+0＝﹣4；
故答案为：﹣3，﹣1，﹣4；
（2）∵点B为原点，AC＝9，AB＝2BC，
∴点A所对应的数为﹣6，点C所对应的数为3，
∴m＝﹣6+3+0＝﹣3；
（3）∵原点O到点C的距离为6，
∴点C所对应的数为±6，
∵OC＝AB，
∴AB＝6，
当点C对应的数为6，
∵AB＝6，AB＝2BC，
∴BC＝3，
∴点B所对应的数为3，点A所对应的数为﹣3，
∴m＝3﹣3+6＝6；
当点C所对应的数为﹣6，
∵AB＝6，AB＝2BC，
∴BC＝3，
∴点B所对应的数为﹣9，点A所对应的数为﹣15，
∴m＝﹣15﹣9﹣6＝﹣30
综上所述 m＝6或﹣30．
23．（10分）问题情境
在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°．
操作发现：
（1）在图1中，∠1＝46°，求∠2的度数；
（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2﹣∠1＝120°，说明理由；
实践探究
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分∠BAM，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请直接写出∠1与∠2的数量关系．
【解答】解：（1）∵∠BCA＝90°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝44°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝44°；
（2）理由如下：过点B作BD∥a，
则∠ABD＝180°﹣∠2，
∵a∥b，BD∥a，
∴BD∥b，
∴∠DBC＝∠1，
∵∠ABC＝60°，
∴180°﹣∠2+∠1＝60°，
∴∠2﹣∠1＝120°；
（3）∠1＝∠2，
理由如下：∵AC平分∠BAM，
∴∠BAM＝2∠BAC＝60°，
过点C作CE∥a，
∴∠2＝∠BCE，
∵a∥b，CE∥a，
∴CE∥b，∠1＝∠BAM＝60°，
∴∠ECA＝∠CAM＝30°，
∴∠2＝∠BCE＝60°，
∴∠1＝∠2．
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