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2022-2023学年河南省南阳市南召县九年级（上）期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年河南省南阳市南召县九年级（上）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省南阳市南召县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分；共30分）
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）关于x的方程x2+4kx+2k2＝4的一个解是2，则k值为（ ）
A．2或4 B．0或﹣4 C．4或0 D．﹣2或2
3．（3分）抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
4．（3分）如图，∠α的顶点位于正方形网格的格点上，若tanα，则满足条件的∠α是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
6．（3分）某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”
C．在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
7．（3分）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA，则AB的长是（ ）
A． B． C．60 D．80
8．（3分）如图．随机闭合开关K1、K2、K3中的两个，则能让两盏灯泡L1、L2同时发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE②△DFP∽△BPH③DP2＝PH•PC；④FE：BC，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
12．（3分）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为（0，3）．此二次函数的解析式可以是 ．
13．（3分）比较大小：sin70° tan70°（填“＞”或“＜”或“＝”）．
14．（3分）如图是用杠杆撬石头的示意图，点C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起5cm，已知AB：BC＝10：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压 cm．
15．（3分）如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，则PE+PB的最小值为 ．
三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10＝75分）
16．（10分）（1）计算|3﹣2|+2sin60°（π﹣3.14）0+（）2；
（2）解方程（x﹣1）（x+3）＝12．
17．（9分）数字“122”是中国道路交通事故报警电话．为推进“文明交通行动计划”，公安部将每年的12月2日定为“交通安全日”．数学社团决定从4名同学（小明，小红，小强，小芳）中通过抽签的方式确定2名同学去参加学校组织的“文明交通行动计划”宣传活动．抽签规则：将4名同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片的背面朝上，洗匀后放在桌子上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的3张卡片中随机抽取一张，记下名字．被抽到的同学去参加宣传活动．
（1）“小强被抽中”是 事件（填“不可能”、“必然”、“随机”），第一次抽取卡片抽中小强的概率是 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小强被抽中的概率．
18．（9分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）若y＜﹣3，结合函数图象，直接写出x的取值范围 ．
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣3
0
1
0
…
19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线与BC，AB的交点分别为D，E．若AD＝10，，求AC的长和tanB的值．
20．（9分）某水果商店销售一种进价为40元/kg的优质水果，若售价为50元/kg，则一个月可售出500kg；若售价在50/kg的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10kg．
（1）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（2）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
21．（9分）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE＝50.2°，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i＝1：2.4，在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF＝63.4°，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．（参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）
22．（10分）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2，x1x2．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝ ．x1x2＝ ．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．
23．（10分）问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明．
尝试证明：
（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：；
应用拓展：
（2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；
②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的长（用含m，α的式子表示）．
2022-2023学年河南省南阳市南召县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分；共30分）
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加减法则，二次根式的乘法法则和除法法则进行判断即可．
【解答】解：A．和不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；
B．3和﹣2不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；
C．3，故本选项不符合题意；
D．，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
2．（3分）关于x的方程x2+4kx+2k2＝4的一个解是2，则k值为（ ）
A．2或4 B．0或﹣4 C．4或0 D．﹣2或2
【分析】直接把x＝2代入方程x2+4kx+2k2＝4得4+8k+2k2＝4，然后解关于k的一元二次方程即可．
【解答】解：把x＝2代入方程x2+4kx+2k2＝4，
得4+8k+2k2＝4，
整理得k2+4k＝0，
解得k1＝0，k2＝﹣4，
即k的值为0或﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确记忆能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题关键．
3．（3分）抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
【分析】已知抛物线的顶点式可直接写出顶点坐标．
【解答】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（﹣2，1）．
故选：C．
【点评】本题考查的是抛物线的顶点坐标，即抛物线y＝（x+a）2+h中，其顶点坐标为（﹣a，h）．
4．（3分）如图，∠α的顶点位于正方形网格的格点上，若tanα，则满足条件的∠α是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据正切的定义分别求出每个图形中的α的正切值可得答案．
【解答】解：A．观察图形可得tanα，符合题意；
B．观察图形可得tanα，不符合题意；
C．观察图形可得tanα，不符合题意；
D．观察图形可得tanα，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义并能在解直角三角形中灵活应用是解题的关键．
5．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例得到，即，可计算出BC，然后利用CE＝BE﹣BC进行计算．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，即，
∴BC，
∴CE＝BE﹣BC＝12．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
6．（3分）某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”
C．在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.16附近波动，即其概率P≈0.16，计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案．
【解答】解：A、从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”的概率是0.16，故此选项不符合要求；
B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率0.5＞0.16，故此选项不符合要求；
C、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率是0.67＞0.16，故此选项不符合要求；
D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率0.16，故此选项符合要求，
故选：D．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
7．（3分）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA，则AB的长是（ ）
A． B． C．60 D．80
【分析】利用三角函数定义计算出BC的长，然后再利用勾股定理计算出AB长即可．
【解答】解：∵AC＝100，sinA，
∴BC＝60，
∴AB80，
故选：D．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握正弦定义．
8．（3分）如图．随机闭合开关K1、K2、K3中的两个，则能让两盏灯泡L1、L2同时发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】找出随机闭合开关K1、K2、K3中的两个的情况数以及能让两盏灯泡L1、L2同时发光的情况数，即可求出所求概率．
【解答】解：画树状图，如图所示：
随机闭合开关K1、K2、K3中的两个有六种情况：闭合K1K2，闭合K1K3，闭合K2K1，闭合K2K3，闭合K3K1，闭合K3K2，
能让两盏灯泡L1、L2同时发光的有两种情况：闭合K2K3，闭合K3K2，
则P（能让两盏灯泡L1、L2同时发光）．
故选：D．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，弄清题中的电路图是解本题的关键．
9．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【分析】首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3，
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE②△DFP∽△BPH③DP2＝PH•PC；④FE：BC，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．
【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴BE＝2AE；故①正确；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠FDP＝∠PBD，
∵∠DFP＝∠BPC＝60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正确；
∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴，
∴DP2＝PH•PC，故③正确；
∵∠ABE＝30°，∠A＝90°
∴AEABBC，
∵∠DCF＝30°，
∴DFDCBC，
∴EF＝AE+DF﹣BCBC，
∴FE：BC＝（23）：3
故④正确，
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x≥5 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣5≥0，求出即可．
【解答】解：要使二次根式在实数范围内有意义，必须x﹣5≥0，
解得：x≥5，
故答案为：x≥5．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，能得出关于x的不等式是解此题的关键．
12．（3分）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为（0，3）．此二次函数的解析式可以是 y＝﹣x2+3（答案不唯一） ．
【分析】根据二次函数的性质可得出a＜0，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c＝3，取a＝﹣1，b＝0即可得出结论．
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），
∴c＝3．
取a＝﹣1，b＝0时，二次函数的解析式为y＝﹣x2+3．
故答案为：y＝﹣x2+3（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出a＜0，c＝3是解题的关键．
13．（3分）比较大小：sin70° ＜ tan70°（填“＞”或“＜”或“＝”）．
【分析】直接利用锐角三角函数关系，进而结合分子相同，分母越大，分数越小，进而得出答案．
【解答】解：∵sin70°，tan70°，
∴sin70°＜tan70°．
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了同角三角函数的关系，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
14．（3分）如图是用杠杆撬石头的示意图，点C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起5cm，已知AB：BC＝10：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压 45 cm．
【分析】过点C作水平线PH，过点A作AP⊥PH于点P，过点B作BH⊥PH于点H，由∠APC＝∠BHC＝90°，∠ACP＝∠BCH，证明△ACP∽△BCH，利用相似三角形的性质得出AP＝4BH，进而得出当BN≥8cm时，AP≥32cm，即可得出答案．
【解答】解：如图，过点C作水平线PH，过点A作AP⊥PH于点P，过点B作BH⊥PH于点H，
∵AP⊥PH，BH⊥PH，
∴∠APC＝∠BHC＝90°，
∵∠ACP＝∠BCH，
∴△ACP∽△BCH，
∴，
∵AB：BC＝10：1，
∵AC：BC＝9，
∴AP：BH＝9，即AP＝9BH，
∴当BN≥5cm时，AP≥45cm，
∴要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压45cm，
故答案为：45．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确作出辅助线，构造相似三角形是解决问题的关键．
15．（3分）如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，则PE+PB的最小值为 6 ．
【分析】作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B′E交AC于点P，则PE+PB的最小值为B′E的长度；然后求出B′B和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案．
【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B′E交AC于点P，则PE+PB的最小值为B′E的长度，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4，
∴tan∠ACB，
∴∠ACB＝30°，
由对称的性质可知，B'B＝2BF，B'B⊥AC，
∴BFBC＝2，∠CBF＝60°，
∴B′B＝2BF＝4，
∵BE＝BF，∠CBF＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BE＝BF＝B'F，
∴△BEB'是直角三角形，
∴B′E6，
∴PE+PB的最小值为6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是矩形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P使得PE+PB有最小值．
三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10＝75分）
16．（10分）（1）计算|3﹣2|+2sin60°（π﹣3.14）0+（）2；
（2）解方程（x﹣1）（x+3）＝12．
【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，零指数幂，以及乘方的意义计算即可求出值；
（2）方程整理后，利用公式法求出解即可．
【解答】解：（1）原式＝1+231
＝131
＝﹣2；
（2）方程整理得：x2+2x﹣15＝0，
这里a＝1，b＝2，c＝﹣15，
∵Δ＝4+60＝64＞0，
∴x，
解得：x1＝3，x2＝﹣5．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，实数的运算，零指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则及方程的解法是解本题的关键．
17．（9分）数字“122”是中国道路交通事故报警电话．为推进“文明交通行动计划”，公安部将每年的12月2日定为“交通安全日”．数学社团决定从4名同学（小明，小红，小强，小芳）中通过抽签的方式确定2名同学去参加学校组织的“文明交通行动计划”宣传活动．抽签规则：将4名同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片的背面朝上，洗匀后放在桌子上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的3张卡片中随机抽取一张，记下名字．被抽到的同学去参加宣传活动．
（1）“小强被抽中”是 随机 事件（填“不可能”、“必然”、“随机”），第一次抽取卡片抽中小强的概率是 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小强被抽中的概率．
【分析】（1）由随机事件的定义和概率公式即可得出答案；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小强被抽中的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）“小强被抽中”是随机事件，第一次抽取卡片抽中小强的概率是；
故答案为：随机，；
（2）把小明，小红，小强，小芳4名同学的卡片分别记为：A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小强被抽中的结果有6种，
∴小强被抽中的概率为．
【点评】本题考查了树状图法求概率以及随机事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比；正确画出树状图是解题的关键．
18．（9分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）若y＜﹣3，结合函数图象，直接写出x的取值范围 x＞3或x＜﹣1 ．
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣3
0
1
0
…
【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（1，1），则可设顶点式y＝a（x﹣1）2+1，然后把点（0，0）代入求出a即可；
（2）利用描点法画二次函数图象；
（3）根据y＝﹣3时x的值，再结合函数图象得出y＜﹣3时x的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（1，1），
设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣1）2+1，
把点（0，0）代入y＝a（x﹣1）2+1，得a＝﹣1，
故抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1，即y＝﹣x2+2x；
（2）由（1）知，抛物线顶点为（1，1），对称轴为直线x＝1，过原点，
根据抛物线的对称性，抛物线过（2，0）
抛物线的图象如图所示：
（3）当y＝﹣3时，﹣x2+2x＝﹣3，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
结合函数图象，当y＜﹣3时，x＞3或x＜﹣1．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．
19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线与BC，AB的交点分别为D，E．若AD＝10，，求AC的长和tanB的值．
【分析】在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而利用勾股定理求出CD的长，然后利用线段垂直平分线的性质可得DA＝DB＝10，从而求出BC的长，最后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：在Rt△ACD中，AD＝10，，
∴AC＝AD•sin∠ADC＝108，
∴CD6，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB＝10，
∴BC＝CD+DB＝16，
在Rt△ABC中，tanB，
∴AC的长为8，tanB的值为．
【点评】本题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．（9分）某水果商店销售一种进价为40元/kg的优质水果，若售价为50元/kg，则一个月可售出500kg；若售价在50/kg的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10kg．
（1）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（2）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【分析】（1）设每千克水果售价为x元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可列方程，即可求解．
（2）设每千克水果售价为x元，获得的月利润为w元，则每千克的销售利润为（x﹣40）元，月销售量为（1000﹣10x）千克，利用月利润＝每千克的销售利润×月销售量，即可得出w关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每千克水果售价为x元，
由题意可得：8750＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，
解得：x1＝65，x2＝75，
答：每千克水果售价为65元或75元；
（2）设每千克水果售价为x元，获得的月利润为w元，
则每千克的销售利润为（x﹣40）元，月销售量为[500﹣10（x﹣50）]千克，
依题意得：w＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]
＝﹣10x2+1400x﹣40000
＝﹣10（x﹣70）2+9000．
∵﹣10＜0，
∴当x＝70时，w取得最大值，最大值为9000．
答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大，月利润的最大值是9000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式．
21．（9分）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE＝50.2°，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i＝1：2.4，在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF＝63.4°，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．（参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）
【分析】如图，延长EF交AG于点H，则EH⊥AG，作BP⊥AG于点P，则四边形BFHP是矩形，设EF＝a米，BF＝b米，构建方程组求解．
【解答】解：如图，延长EF交AG于点H，则EH⊥AG，作BP⊥AG于点P，则四边形BFHP是矩形，
∴FB＝PH，FH＝PB，
由i＝1：2.4，可以假设BP＝x，AP＝2.4x，
∵PB2+PA2＝AB2，
∴（x）2+（2.4x）2＝262，
∴x＝10或﹣10（舍去），
∴PB＝FH＝10，AP＝24，
设EF＝a米，BF＝b米，
∵tan∠EBF，
∴2，
∴a≈2b①，
∵tan∠EAH，
∴1.2②，
由①②得a≈47，b≈23.5，
答：塔顶到地面的高度EF约为47米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数，构建方程组解决问题．
22．（10分）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2，x1x2．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝ ．x1x2＝ ．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．
【分析】（1）根据根与系数的关系进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得：m+n，mn，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可；
（3）可把s与t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则有s+t，st，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可．
【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2，x1x2，
故答案为：，；
（2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，
∴m+n，mn，
∴
；
（3）∵实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，
∴s与t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，
∴s+t，st，
∴（s﹣t）2＝（s+t）2﹣4st，
（s﹣t）2＝（）2﹣4×（），
（s﹣t）2，
∴s﹣t，
∴
．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，分式的化简求值，解答的关键是把s，t看作是相应的方程的两个实数根．
23．（10分）问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明．
尝试证明：
（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：；
应用拓展：
（2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；
②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的长（用含m，α的式子表示）．
【分析】（1）证明△CED∽△BAD，由相似三角形的性质得出，证出CE＝CA，则可得出结论；
（2）①由折叠的性质可得出∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，由（1）可知，，由勾股定理求出BC，则可求出答案；
②由折叠的性质得出∠C＝∠AED＝α，则tan∠C＝tanα，方法同①可求出CD，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠E＝∠EAB，∠B＝∠ECB，
∴△CED∽△BAD，
∴，
∵∠E＝∠EAB，∠EAB＝∠CAD，
∴∠E＝∠CAD，
∴CE＝CA，
∴．
（2）解：①∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，
∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，
由（1）可知，，
又∵AC＝1，AB＝2，
∴，
∴BD＝2CD，
∵∠BAC＝90°，
∴BC，
∴BD+CD，
∴3CD，
∴CD；
∴DE；
②∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，
∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，∠C＝∠AED＝α，
∴tan∠C＝tanα，
由（1）可知，，
∴tanα，
∴BD＝CD•tanα，
又∵BC＝BD+CD＝m，
∴CD•tanα+CD＝m，
∴CD，
∴DE．
【点评】本题是相似形综合题，考查了折叠的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/1/20 14:22:04；用户：单静怡；邮箱：zhaoxia39@xyh.com；学号：39428212
2022-2023学年河南省南阳市南召县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分；共30分）
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）关于x的方程x2+4kx+2k2＝4的一个解是2，则k值为（ ）
A．2或4 B．0或﹣4 C．4或0 D．﹣2或2
3．（3分）抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
4．（3分）如图，∠α的顶点位于正方形网格的格点上，若tanα，则满足条件的∠α是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
6．（3分）某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”
C．在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
7．（3分）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA，则AB的长是（ ）
A． B． C．60 D．80
8．（3分）如图．随机闭合开关K1、K2、K3中的两个，则能让两盏灯泡L1、L2同时发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE②△DFP∽△BPH③DP2＝PH•PC；④FE：BC，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
12．（3分）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为（0，3）．此二次函数的解析式可以是 ．
13．（3分）比较大小：sin70° tan70°（填“＞”或“＜”或“＝”）．
14．（3分）如图是用杠杆撬石头的示意图，点C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起5cm，已知AB：BC＝10：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压 cm．
15．（3分）如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，则PE+PB的最小值为 ．
三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10＝75分）
16．（10分）（1）计算|3﹣2|+2sin60°（π﹣3.14）0+（）2；
（2）解方程（x﹣1）（x+3）＝12．
17．（9分）数字“122”是中国道路交通事故报警电话．为推进“文明交通行动计划”，公安部将每年的12月2日定为“交通安全日”．数学社团决定从4名同学（小明，小红，小强，小芳）中通过抽签的方式确定2名同学去参加学校组织的“文明交通行动计划”宣传活动．抽签规则：将4名同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片的背面朝上，洗匀后放在桌子上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的3张卡片中随机抽取一张，记下名字．被抽到的同学去参加宣传活动．
（1）“小强被抽中”是 事件（填“不可能”、“必然”、“随机”），第一次抽取卡片抽中小强的概率是 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小强被抽中的概率．
18．（9分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）若y＜﹣3，结合函数图象，直接写出x的取值范围 ．
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣3
0
1
0
…
19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线与BC，AB的交点分别为D，E．若AD＝10，，求AC的长和tanB的值．
20．（9分）某水果商店销售一种进价为40元/kg的优质水果，若售价为50元/kg，则一个月可售出500kg；若售价在50/kg的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10kg．
（1）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（2）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
21．（9分）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE＝50.2°，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i＝1：2.4，在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF＝63.4°，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．（参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）
22．（10分）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2，x1x2．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝ ．x1x2＝ ．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．
23．（10分）问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明．
尝试证明：
（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：；
应用拓展：
（2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；
②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的长（用含m，α的式子表示）．
2022-2023学年河南省南阳市南召县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分；共30分）
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加减法则，二次根式的乘法法则和除法法则进行判断即可．
【解答】解：A．和不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；
B．3和﹣2不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；
C．3，故本选项不符合题意；
D．，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
2．（3分）关于x的方程x2+4kx+2k2＝4的一个解是2，则k值为（ ）
A．2或4 B．0或﹣4 C．4或0 D．﹣2或2
【分析】直接把x＝2代入方程x2+4kx+2k2＝4得4+8k+2k2＝4，然后解关于k的一元二次方程即可．
【解答】解：把x＝2代入方程x2+4kx+2k2＝4，
得4+8k+2k2＝4，
整理得k2+4k＝0，
解得k1＝0，k2＝﹣4，
即k的值为0或﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确记忆能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题关键．
3．（3分）抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
【分析】已知抛物线的顶点式可直接写出顶点坐标．
【解答】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（﹣2，1）．
故选：C．
【点评】本题考查的是抛物线的顶点坐标，即抛物线y＝（x+a）2+h中，其顶点坐标为（﹣a，h）．
4．（3分）如图，∠α的顶点位于正方形网格的格点上，若tanα，则满足条件的∠α是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据正切的定义分别求出每个图形中的α的正切值可得答案．
【解答】解：A．观察图形可得tanα，符合题意；
B．观察图形可得tanα，不符合题意；
C．观察图形可得tanα，不符合题意；
D．观察图形可得tanα，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义并能在解直角三角形中灵活应用是解题的关键．
5．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例得到，即，可计算出BC，然后利用CE＝BE﹣BC进行计算．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，即，
∴BC，
∴CE＝BE﹣BC＝12．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
6．（3分）某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”
C．在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.16附近波动，即其概率P≈0.16，计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案．
【解答】解：A、从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”的概率是0.16，故此选项不符合要求；
B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率0.5＞0.16，故此选项不符合要求；
C、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率是0.67＞0.16，故此选项不符合要求；
D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率0.16，故此选项符合要求，
故选：D．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
7．（3分）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA，则AB的长是（ ）
A． B． C．60 D．80
【分析】利用三角函数定义计算出BC的长，然后再利用勾股定理计算出AB长即可．
【解答】解：∵AC＝100，sinA，
∴BC＝60，
∴AB80，
故选：D．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握正弦定义．
8．（3分）如图．随机闭合开关K1、K2、K3中的两个，则能让两盏灯泡L1、L2同时发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】找出随机闭合开关K1、K2、K3中的两个的情况数以及能让两盏灯泡L1、L2同时发光的情况数，即可求出所求概率．
【解答】解：画树状图，如图所示：
随机闭合开关K1、K2、K3中的两个有六种情况：闭合K1K2，闭合K1K3，闭合K2K1，闭合K2K3，闭合K3K1，闭合K3K2，
能让两盏灯泡L1、L2同时发光的有两种情况：闭合K2K3，闭合K3K2，
则P（能让两盏灯泡L1、L2同时发光）．
故选：D．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，弄清题中的电路图是解本题的关键．
9．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【分析】首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3，
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE②△DFP∽△BPH③DP2＝PH•PC；④FE：BC，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．
【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴BE＝2AE；故①正确；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠FDP＝∠PBD，
∵∠DFP＝∠BPC＝60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正确；
∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴，
∴DP2＝PH•PC，故③正确；
∵∠ABE＝30°，∠A＝90°
∴AEABBC，
∵∠DCF＝30°，
∴DFDCBC，
∴EF＝AE+DF﹣BCBC，
∴FE：BC＝（23）：3
故④正确，
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x≥5 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣5≥0，求出即可．
【解答】解：要使二次根式在实数范围内有意义，必须x﹣5≥0，
解得：x≥5，
故答案为：x≥5．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，能得出关于x的不等式是解此题的关键．
12．（3分）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为（0，3）．此二次函数的解析式可以是 y＝﹣x2+3（答案不唯一） ．
【分析】根据二次函数的性质可得出a＜0，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c＝3，取a＝﹣1，b＝0即可得出结论．
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），
∴c＝3．
取a＝﹣1，b＝0时，二次函数的解析式为y＝﹣x2+3．
故答案为：y＝﹣x2+3（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出a＜0，c＝3是解题的关键．
13．（3分）比较大小：sin70° ＜ tan70°（填“＞”或“＜”或“＝”）．
【分析】直接利用锐角三角函数关系，进而结合分子相同，分母越大，分数越小，进而得出答案．
【解答】解：∵sin70°，tan70°，
∴sin70°＜tan70°．
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了同角三角函数的关系，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
14．（3分）如图是用杠杆撬石头的示意图，点C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起5cm，已知AB：BC＝10：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压 45 cm．
【分析】过点C作水平线PH，过点A作AP⊥PH于点P，过点B作BH⊥PH于点H，由∠APC＝∠BHC＝90°，∠ACP＝∠BCH，证明△ACP∽△BCH，利用相似三角形的性质得出AP＝4BH，进而得出当BN≥8cm时，AP≥32cm，即可得出答案．
【解答】解：如图，过点C作水平线PH，过点A作AP⊥PH于点P，过点B作BH⊥PH于点H，
∵AP⊥PH，BH⊥PH，
∴∠APC＝∠BHC＝90°，
∵∠ACP＝∠BCH，
∴△ACP∽△BCH，
∴，
∵AB：BC＝10：1，
∵AC：BC＝9，
∴AP：BH＝9，即AP＝9BH，
∴当BN≥5cm时，AP≥45cm，
∴要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压45cm，
故答案为：45．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确作出辅助线，构造相似三角形是解决问题的关键．
15．（3分）如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，则PE+PB的最小值为 6 ．
【分析】作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B′E交AC于点P，则PE+PB的最小值为B′E的长度；然后求出B′B和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案．
【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B′E交AC于点P，则PE+PB的最小值为B′E的长度，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4，
∴tan∠ACB，
∴∠ACB＝30°，
由对称的性质可知，B'B＝2BF，B'B⊥AC，
∴BFBC＝2，∠CBF＝60°，
∴B′B＝2BF＝4，
∵BE＝BF，∠CBF＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BE＝BF＝B'F，
∴△BEB'是直角三角形，
∴B′E6，
∴PE+PB的最小值为6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是矩形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P使得PE+PB有最小值．
三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10＝75分）
16．（10分）（1）计算|3﹣2|+2sin60°（π﹣3.14）0+（）2；
（2）解方程（x﹣1）（x+3）＝12．
【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，零指数幂，以及乘方的意义计算即可求出值；
（2）方程整理后，利用公式法求出解即可．
【解答】解：（1）原式＝1+231
＝131
＝﹣2；
（2）方程整理得：x2+2x﹣15＝0，
这里a＝1，b＝2，c＝﹣15，
∵Δ＝4+60＝64＞0，
∴x，
解得：x1＝3，x2＝﹣5．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，实数的运算，零指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则及方程的解法是解本题的关键．
17．（9分）数字“122”是中国道路交通事故报警电话．为推进“文明交通行动计划”，公安部将每年的12月2日定为“交通安全日”．数学社团决定从4名同学（小明，小红，小强，小芳）中通过抽签的方式确定2名同学去参加学校组织的“文明交通行动计划”宣传活动．抽签规则：将4名同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片的背面朝上，洗匀后放在桌子上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的3张卡片中随机抽取一张，记下名字．被抽到的同学去参加宣传活动．
（1）“小强被抽中”是 随机 事件（填“不可能”、“必然”、“随机”），第一次抽取卡片抽中小强的概率是 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小强被抽中的概率．
【分析】（1）由随机事件的定义和概率公式即可得出答案；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小强被抽中的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）“小强被抽中”是随机事件，第一次抽取卡片抽中小强的概率是；
故答案为：随机，；
（2）把小明，小红，小强，小芳4名同学的卡片分别记为：A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小强被抽中的结果有6种，
∴小强被抽中的概率为．
【点评】本题考查了树状图法求概率以及随机事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比；正确画出树状图是解题的关键．
18．（9分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）若y＜﹣3，结合函数图象，直接写出x的取值范围 x＞3或x＜﹣1 ．
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣3
0
1
0
…
【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（1，1），则可设顶点式y＝a（x﹣1）2+1，然后把点（0，0）代入求出a即可；
（2）利用描点法画二次函数图象；
（3）根据y＝﹣3时x的值，再结合函数图象得出y＜﹣3时x的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（1，1），
设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣1）2+1，
把点（0，0）代入y＝a（x﹣1）2+1，得a＝﹣1，
故抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1，即y＝﹣x2+2x；
（2）由（1）知，抛物线顶点为（1，1），对称轴为直线x＝1，过原点，
根据抛物线的对称性，抛物线过（2，0）
抛物线的图象如图所示：
（3）当y＝﹣3时，﹣x2+2x＝﹣3，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
结合函数图象，当y＜﹣3时，x＞3或x＜﹣1．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．
19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线与BC，AB的交点分别为D，E．若AD＝10，，求AC的长和tanB的值．
【分析】在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而利用勾股定理求出CD的长，然后利用线段垂直平分线的性质可得DA＝DB＝10，从而求出BC的长，最后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：在Rt△ACD中，AD＝10，，
∴AC＝AD•sin∠ADC＝108，
∴CD6，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB＝10，
∴BC＝CD+DB＝16，
在Rt△ABC中，tanB，
∴AC的长为8，tanB的值为．
【点评】本题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．（9分）某水果商店销售一种进价为40元/kg的优质水果，若售价为50元/kg，则一个月可售出500kg；若售价在50/kg的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10kg．
（1）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（2）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【分析】（1）设每千克水果售价为x元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可列方程，即可求解．
（2）设每千克水果售价为x元，获得的月利润为w元，则每千克的销售利润为（x﹣40）元，月销售量为（1000﹣10x）千克，利用月利润＝每千克的销售利润×月销售量，即可得出w关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每千克水果售价为x元，
由题意可得：8750＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，
解得：x1＝65，x2＝75，
答：每千克水果售价为65元或75元；
（2）设每千克水果售价为x元，获得的月利润为w元，
则每千克的销售利润为（x﹣40）元，月销售量为[500﹣10（x﹣50）]千克，
依题意得：w＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]
＝﹣10x2+1400x﹣40000
＝﹣10（x﹣70）2+9000．
∵﹣10＜0，
∴当x＝70时，w取得最大值，最大值为9000．
答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大，月利润的最大值是9000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式．
21．（9分）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE＝50.2°，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i＝1：2.4，在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF＝63.4°，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．（参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）
【分析】如图，延长EF交AG于点H，则EH⊥AG，作BP⊥AG于点P，则四边形BFHP是矩形，设EF＝a米，BF＝b米，构建方程组求解．
【解答】解：如图，延长EF交AG于点H，则EH⊥AG，作BP⊥AG于点P，则四边形BFHP是矩形，
∴FB＝PH，FH＝PB，
由i＝1：2.4，可以假设BP＝x，AP＝2.4x，
∵PB2+PA2＝AB2，
∴（x）2+（2.4x）2＝262，
∴x＝10或﹣10（舍去），
∴PB＝FH＝10，AP＝24，
设EF＝a米，BF＝b米，
∵tan∠EBF，
∴2，
∴a≈2b①，
∵tan∠EAH，
∴1.2②，
由①②得a≈47，b≈23.5，
答：塔顶到地面的高度EF约为47米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数，构建方程组解决问题．
22．（10分）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2，x1x2．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝ ．x1x2＝ ．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．
【分析】（1）根据根与系数的关系进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得：m+n，mn，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可；
（3）可把s与t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则有s+t，st，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可．
【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2，x1x2，
故答案为：，；
（2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，
∴m+n，mn，
∴
；
（3）∵实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，
∴s与t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，
∴s+t，st，
∴（s﹣t）2＝（s+t）2﹣4st，
（s﹣t）2＝（）2﹣4×（），
（s﹣t）2，
∴s﹣t，
∴
．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，分式的化简求值，解答的关键是把s，t看作是相应的方程的两个实数根．
23．（10分）问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明．
尝试证明：
（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：；
应用拓展：
（2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；
②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的长（用含m，α的式子表示）．
【分析】（1）证明△CED∽△BAD，由相似三角形的性质得出，证出CE＝CA，则可得出结论；
（2）①由折叠的性质可得出∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，由（1）可知，，由勾股定理求出BC，则可求出答案；
②由折叠的性质得出∠C＝∠AED＝α，则tan∠C＝tanα，方法同①可求出CD，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠E＝∠EAB，∠B＝∠ECB，
∴△CED∽△BAD，
∴，
∵∠E＝∠EAB，∠EAB＝∠CAD，
∴∠E＝∠CAD，
∴CE＝CA，
∴．
（2）解：①∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，
∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，
由（1）可知，，
又∵AC＝1，AB＝2，
∴，
∴BD＝2CD，
∵∠BAC＝90°，
∴BC，
∴BD+CD，
∴3CD，
∴CD；
∴DE；
②∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，
∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，∠C＝∠AED＝α，
∴tan∠C＝tanα，
由（1）可知，，
∴tanα，
∴BD＝CD•tanα，
又∵BC＝BD+CD＝m，
∴CD•tanα+CD＝m，
∴CD，
∴DE．
【点评】本题是相似形综合题，考查了折叠的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/1/20 14:22:04；用户：单静怡；邮箱：zhaoxia39@xyh.com；学号：39428212
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