2022年湖南省湘潭市湘潭县排头中学中考数学模拟试卷

这是一份2022年湖南省湘潭市湘潭县排头中学中考数学模拟试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列交通标识中，是中心对称图形但不是轴对称图形的为
A．B．C．D．
2．（3分）下列几何体中，俯视图是矩形的是
A．B．C．D．
3．（3分）2022的相反数是
A．B．2022C．D．不能确定
4．（3分）下列运算正确的是
A．B．C．D．
5．（3分）2022年冬奥会在北京举行，北京也成为迄今为止唯一一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市．据了解，北京冬奥会的预算规模为15.6亿美元．其中1560000000用科学记数法表示为
A．B．C．D．
6．（3分）如图，，，则等于
A．B．C．D．
7．（3分）某校九年级一班实施新课改以来，学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，学习委员小玲每周对各小组合作学习的情况进行综合评分．如表是其中一周的统计数据，这组数据的中位数和众数分别是
A．88，90B．90，90C．89，95D．90，93
8．（3分）将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式： ．
10．（3分）数学试卷的选择题都是四选一的单项选择题，小明对某道选择题完全不会做，只能靠猜测获得结果，则小明答对的概率是 ．
11．（3分）如图，与都是等腰直角三角形，若经旋转后能与重合，则旋转了 ．
12．（3分）如图，在等腰梯形中，度，腰，上底，点为坐标原点，在轴的正半轴上，则点的坐标是 ．
13．（3分）如图，已知，，则 ．
14．（3分）小丽微信支付密码是六位数（每一位可显示，由于她忘记了密码的末位数字，则小丽能一次支付成功的概率是 ．
15．（3分）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．其侧面展开图的圆心角为 ．
16．（3分）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为 ．
三、解答题（共10题；共72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再计算：，其中．
19．（6分）如图，是的中点，，．求证：．
20．（6分）如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台，在岸边搭建了三个看台，，，其中，，三点在同一条直线上，看台，到舞台的距离相等，测得，，，小明、小丽分别在，看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台的距离．（结果保留根号）
21．（6分）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交的延长线于点，与交于点，连接、．求证：四边形是菱形．
22．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴（如图）上表示出来．
23．（8分）中华文化源远流长，文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是 部，中位数是 部；
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
24．（8分）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价（元与一次性批发量（件为正整数）之间满足如图所示的函数关系．
（1）直接写出与之间所满足的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？
25．（10分）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，已知，两点坐标分别是，，连接，．
（1）求抛物线的解析式和所在直线的解析式；
（2）将沿所在直线折叠，得到，点的对应点是否落在抛物线的对称轴上，若点在对称轴上，请求出点的坐标；若点不在对称轴上，请说明理由．
26．（10分）如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，为顶点，其中点的坐标为，点的坐标为．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点是线段上的一点，过点作轴的垂线，垂足为，且，求点的坐标．
（3）试问在该二次函数图象上是否存在点，使得的面积是的面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2022年湖南省湘潭市湘潭县排头中学中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下列交通标识中，是中心对称图形但不是轴对称图形的为
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义，对选项逐个判断，即可判断出答案．
【解答】解：、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
、该图形是轴对称图形，但不是中心轴对称图形，不符合题意；
、该图形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意；
、该图形是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
故选：．
【点评】此题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，掌握相关概念是解题的关键，图形绕一点旋转后能够与原图形完全重合则此图形为中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．（3分）下列几何体中，俯视图是矩形的是
A．B．C．D．
【分析】根据简单和几何体的三视图判断方法，判断圆柱、圆锥、三棱柱、球的俯视图，即可解答．
【解答】解：、俯视图为圆，故此选项不合题意；
、俯视图为圆，故此选项不合题意；
、俯视图为三角形，故此选项不合题意；
、俯视图为矩形，正确；
故选：．
【点评】本题为几何体三视图的应用，通过所学知识、日常观察及空间想象即可轻松选出答案，为基础题．
3．（3分）2022的相反数是
A．B．2022C．D．不能确定
【分析】利用相反数的定义判断．
【解答】解：2022的相反数是．
故选：．
【点评】本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．
4．（3分）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据完全平方公式可判断选项，根据合并同类项法则可判断选项，根据积的乘方法则可判断选项，根据二次根式的加法法则可判断选项．
【解答】解：．，选项不符合题意；
．，选项符合题意；
．，选项不符合题意；
．不是同类二次根式，不能合并，选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减法，积的乘方，完全平方公式以及合并同类项法则，掌握相关的法则是解题的关键．
5．（3分）2022年冬奥会在北京举行，北京也成为迄今为止唯一一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市．据了解，北京冬奥会的预算规模为15.6亿美元．其中1560000000用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：1 560 000 000用科学记数法表示为．
故选：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
6．（3分）如图，，，则等于
A．B．C．D．
【分析】根据邻补角的性质求出，证明，根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：，
，
，，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查的是平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理、对顶角相等是解题的关键．
7．（3分）某校九年级一班实施新课改以来，学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，学习委员小玲每周对各小组合作学习的情况进行综合评分．如表是其中一周的统计数据，这组数据的中位数和众数分别是
A．88，90B．90，90C．89，95D．90，93
【分析】根据中位数和众数的定义求解可得．
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：88，89，90，90，90，92，93，95
则众数为90，
中位数为：．
故选：．
【点评】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
8．（3分）将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为
A．B．C．D．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：．
故选：．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式： ．
【分析】直接提取公因式2，再利用公式法分解因式得出答案．
【解答】解：
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
10．（3分）数学试卷的选择题都是四选一的单项选择题，小明对某道选择题完全不会做，只能靠猜测获得结果，则小明答对的概率是 ．
【分析】分析题意可知，共有4个选项，且只有1个选项是正确的；接下来再根据件发生的概率公式（A）列式计算即可．
【解答】解：因为四个答案只有一个对的，所以这个同学答对的概率是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了概率的计算，解题的关键是掌握概率的计算公式．
11．（3分）如图，与都是等腰直角三角形，若经旋转后能与重合，则旋转了 45 ．
【分析】利用旋转的性质可求解．
【解答】解：与都是等腰直角三角形，
，，
，
绕点顺时针旋转后能与重合，
旋转角为，
故答案为：45．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
12．（3分）如图，在等腰梯形中，度，腰，上底，点为坐标原点，在轴的正半轴上，则点的坐标是 ．
【分析】作交于点，可得平行四边形和等边三角形，那么，，进而可求得长，也就求得了点的坐标．
【解答】解：作交于点，
，
四边形是平行四边形，
，，
，度，
是等边三角形，
，
，
点的坐标是．
【点评】解决本题的关键是理解作等腰梯形一腰的平行线可得一个平行四边形和一个等腰三角形．
13．（3分）如图，已知，，则 ．
【分析】根据，可得，进而可得．
【解答】解：，
，
，
则的度数为．
故答案为．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定和性质．
14．（3分）小丽微信支付密码是六位数（每一位可显示，由于她忘记了密码的末位数字，则小丽能一次支付成功的概率是 ．
【分析】由末尾数字是0至9这10个数字中的一个，利用概率公式可得答案．
【解答】解：末尾数字是0至9这10个数字中的一个，
小丽能一次支付成功的概率是，
故答案为．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
15．（3分）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．其侧面展开图的圆心角为 ．
【分析】利用圆锥侧面展开图弧长与其底面周长的长度关系，求出侧面展开图中的度数即可；
【解答】解：设侧面展开图的圆心角为．
由题意，
解得．
故答案为．
【点评】此题考查了圆锥的计算；得到圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解决本题的突破点．
16．（3分）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为 ．
【分析】设清酒斗，醑酒斗，根据“拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设清酒斗，醑酒斗，
依题意得：，
故答案为：．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组、数字常识等知识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
三、解答题（共10题；共72分）
17．（6分）计算：．
【分析】利用特殊角的三角函数值，零指数幂，绝对值的定义，负整数指数幂计算．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，零指数幂，绝对值的定义，负整数指数幂．
18．（6分）先化简，再计算：，其中．
【分析】先把分子分母因式分解，再约分得到同分母的加法运算，从而得到原式，然后把的值代入计算即可．
【解答】解：原式
，
当时，原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值：把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
19．（6分）如图，是的中点，，．求证：．
【分析】根据中点定义求出，然后利用“”证明和全等，再根据全等三角形对应角相等证明即可．
【解答】证明：是的中点，
，
在和中，，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，比较简单，主要利用了三边对应相等，两三角形全等，以及全等三角形对应角相等的性质．
20．（6分）如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台，在岸边搭建了三个看台，，，其中，，三点在同一条直线上，看台，到舞台的距离相等，测得，，，小明、小丽分别在，看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台的距离．（结果保留根号）
【分析】如图作于．，于．解直角三角形，分别求出、即可解决问题．
【解答】解：如图作于．，于．
，，
，
，
，，
在中，，，
在中，，
，
，
答：小明、小丽与舞台的距离分别为和．
【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．（6分）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交的延长线于点，与交于点，连接、．求证：四边形是菱形．
【分析】由平行四边形的性质得出，得出，由证明，得出，由，可证四边形是平行四边形，由，即可得出结论．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
．
．
垂直平分，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决本题的关键．
22．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴（如图）上表示出来．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解①得，
解②得，
所以不等式组的解集为．
解集在数轴上表示为：
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
23．（8分）中华文化源远流长，文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是 1 部，中位数是 部；
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
【分析】（1）根据读3部的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可得到众数和中位数；
（2）根据统计图中的数据，可以得到扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角的度数；
（3）根据（1）中读2部的人数，可以将条形统计图补充完整；
（4）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到相应的概率．
【解答】解：（1）本次调查的人数为：（人，
读2部的学生有：（人，
故本次调查所得数据的众数是1部，中位数是（部，
故答案为：1，2；
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：，
故答案为：72；
（3）由（1）知，读2部的学生有6人，
补全的条形统计图如右图所示；
（4）《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》分别用字母、、、表示，
树状图如下图所示：
一共有16种可能性，其中他们恰好选中同一名著的可能性有4种，
故他们恰好选中同一名著的概率是，
即他们恰好选中同一名著的概率是．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、中位数和众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（8分）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价（元与一次性批发量（件为正整数）之间满足如图所示的函数关系．
（1）直接写出与之间所满足的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？
【分析】（1）认真观察图象，分别写出该定义域下的函数关系式，定义域取值全部是整数；
（2）根据利润（售价成本）件数，列出利润的表达式，求出最值．
【解答】解：（1）当且为整数时，；
当且为整数时，；
当且为整数时，；
（2）设所获利润（元，
当且为整数时，，
元，
当且为整数时，，
，
，
，
，
当时，最大，最大值为578元．
答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元．
【点评】本题主要考查一次函数和二次函数的应用，根据题意列出函数表达式并熟练运用性质是解决问题的关键．
25．（10分）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，已知，两点坐标分别是，，连接，．
（1）求抛物线的解析式和所在直线的解析式；
（2）将沿所在直线折叠，得到，点的对应点是否落在抛物线的对称轴上，若点在对称轴上，请求出点的坐标；若点不在对称轴上，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法可求得函数的表达式；
（2）抛物线的表达式为，点坐标为．可证明．继而可证，则将沿所在直线折叠，点一定落在直线上，延长至，使，过点作轴交轴于点，可证，可得坐标．则可判断点是否在抛物线对称轴上．
【解答】解：（1）抛物线过，
，
，
解得．
抛物线的解析式为．
设所在直线的解析式为，
，
解得．
所在直线的解析式为．
（2）点不在抛物线的对称轴上，理由：
抛物线的解析式为，
点的坐标是．
，，
，
又，
．
，
，
．
将沿折叠，点的对应点一定在直线上．延长到点，使得，过点作轴，垂足为点，如图：
又，
，
，
点的横坐标为．
抛物线的对称轴是直线，
点不在抛物线的对称轴上．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，翻折变换的性质，全等三角形的判定和性质等．熟练运用待定系数法求函数解析式，通过联立成方程组求交点坐标是解题关键．
26．（10分）如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，为顶点，其中点的坐标为，点的坐标为．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点是线段上的一点，过点作轴的垂线，垂足为，且，求点的坐标．
（3）试问在该二次函数图象上是否存在点，使得的面积是的面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）依题意，利用二次函数的顶点式即可求解；
（2）可通过点，点求出线段所在的直线关系式，点在线段上，即可设点的坐标，利用点与点的关系公式，通过即可求解；
（3）分两种情形分别求解，求出直线的解析式，构建方程组确定交点坐标即可．
【解答】解：（1）依题意，设二次函数的解析式为
将点代入得，得
二次函数的表达式为：
（2）依题意，点，点，设直线的解析式为，
代入得，解得
线段所在的直线为，
设点的坐标为：
，
，
，
整理得，
解得，（舍去）．
故点的纵坐标为
点的坐标为
（3）存在点，
当点在轴的上方时，设直线交轴于，设，作于，于．
由题意：，
，
，
，
解得，
直线的解析式为，
由，
解得或，
．
当点在轴下方时，如图2所示，
当点在的延长线上时，存在点使得，
此时，的直线经过原点，设直线的解析式为，
将点代入得，
故，
则有
整理得，，
得（舍去），
当时，，
故点为．
综上所述，点的坐标为或．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
组别
1
2
3
4
5
6
7
8
分数
90
95
90
88
90
92
89
93
组别
1
2
3
4
5
6
7
8
分数
90
95
90
88
90
92
89
93