黑龙江省齐齐哈尔市建华区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷

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黑龙江省齐齐哈尔市建华区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图片中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断即可得答案．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意，B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意，C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意，D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项符合题意，故选：D．【点睛】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的概念，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．结合概念正确判断图形是解题关键．2．用配方法解方程时，原方程应变形为（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数一半的平方即可．【详解】解：，，，，故选：C．【点睛】本题考查用配方法求解一元二次方程，记住移项变号，两边同时加一次项系数一半的平方是解答此题的关键．3．下列关于反比例函数的描述中，正确的是（    ）A．图像在第二、四象限； B．当时，随的增大而减小；C．点在反比例函数的图像上； D．当时，.【答案】B【分析】根据反比例函数的性质依次进行判断即可得．【详解】解：A、，，则图像在第一、三象限，选项说法错误，不符合题意；B、，，则图像在第一、三象限，所以当时，随的增大而减小，选项说法正确，符合题意C、，点不在反比例函数的图像上，选项说法错误，不符合题意；D、，图像在第一、三象限，当时，，选项说法错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的图像与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质．4．如图，、分别是、上两点，与相交于点，下列条件中不能使和相似的是（    ）A． B．C．， D．【答案】C【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．【详解】解：A. ∵，，∴，不合题意，B. ∵，，∴，不合题意，C. ，，不能判定，符合题意，D. ，即，又，和相似，∴，不合题意，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，①有两个对应角相等的三角形相似； ②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似； ③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．掌握以上知识是解题的关键．5．如图所示电路中，灯泡、、无损，若闭合其中一开关，则灯泡能发光的概率是（    ）A．0 B． C． D．1【答案】A【分析】由电路图可知，若仅闭合其中一开关，电路无法形成通路，故灯泡均不能发光，即可获得答案．【详解】解：如图所示电路中，若仅闭合其中一开关，电路无法形成通路，故灯泡均不能发光，所以，闭合其中一开关，灯泡能发光的概率是0．故选：A．【点睛】本题主要考查了概率与物理知识的结合，解题关键是掌握不会发生的事件的概率为0．6．如图是由立方体叠成的立体图形，从正面看，得到的主视图为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】从正面看，由前向后观察的视图叫做主视图，根据定义判断即可．【详解】解：观察立体图形可得：从正面看，一共有两层，底层有2个小正方形，上层有一个小正方形，且在左边，则由前向后观察的视图为：．故选B．【点睛】本题考查了三视图的知识，熟练掌握主视图的定义是解题关键．7．如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．【详解】过C点作，垂足为D则根据旋转性质可知，在中，所以故选B．【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．8．如图，正方形中，，为中点，交于点，则线段的长为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接，首先根据正方形的性质得到，是等腰直角三角形，然后证明出，根据相似三角形的性质求解即可．【详解】如图所示，连接∵四边形是正方形，∴，是等腰直角三角形，∴，∵点O是的中点，点E是的中点，∴且，∴，∴，∵，∴．故选：D．【点睛】此题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判断等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．9．如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，圆心的坐标为，与轴相切于原点，若将圆沿轴向右移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点的个数是（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】先判断图中的特殊直角三角形，画出与该直线相切时的位置，再在圆和直线相交过程中找到所有整数点即可．【详解】在上，令；令Rt中如图所示，当在P点和点时和直线相切，切点分别为M，N当与该直线相交时，横坐标为整数的点即线段之间的三个点．故选：B【点睛】此题考查圆与切线的关系，结合平面直角坐标系求点的坐标，解题关键是画出两种可能性，看图选整数点即可．10．如图，二次函数的图像与轴负半轴交于点，对称轴为直线．以下结论：①；②；③若点，，均在函数图像上，则；④若方程的两根为，且，则．其中正确的个数为（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由该二次函数的图像的对称轴为，可得，再结合图像确定，，易得，即可判断结论①；由图像可知，当时，，将代入即可判断结论②；抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，值越大，据此即可判定结论③；由抛物线的对称性可知抛物线与轴的另一交点为，可得抛物线解析式为，令，作，由图像可知，即可判定结论④．【详解】解：∵根据题意，该二次函数的图像的对称轴为，∴，∴，由图像可知，，，∴，∴，故结论①正确；由图像可知，当时，，∴，故结论②正确；∵抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，值越大，又∵，，，∴，故结论③错误；由抛物线的对称性可知，抛物线与轴的另一交点为，∴抛物线解析式为，令，则有，如图作，由图像可知，故结论④正确．综上所述，正确的结论有①②④，共计3个．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质、二次函数与一元二次方程等知识，熟练运用二次函数的图像与性质是解题关键．二、填空题11．若，则______．【答案】##30度【分析】由，，可得，即可解得答案．【详解】解：∵，，∴，∴，故答案为：【点睛】此题考查了特殊角的锐角三角函数，熟知是解题的关键．12．一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是______．【答案】3π【详解】解：由题意可得，该圆锥的侧面积是×π×22=2π．该圆锥的底面的周长是2π，则底面圆半径是1，面积是π．所以该圆锥的全面积是：2π+π=3π．故答案为：3π．【点睛】本题考查圆锥的侧面积、全面积公式．13．一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黑球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从剩下的球中随机摸出一个球，则两次摸到相同颜色的球的概率为______【答案】##【分析】采用列表法列举即可求解．【详解】列表如下：总计有20种情况，颜色相同的情况有8种，即：两次摸到相同颜色的球的概率为，故答案为：．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．菱形的一条对角线长为6，边的长是关于的方程的一个根，则菱形的面积为______.【答案】或24##24或【分析】求出已知方程的解，确定出的长，再利用勾股定理求出对角线的长，即可求出面积．【详解】解：方程，分解因式得：，可得或，解得：或，当时，另一条对角线为：，则菱形的面积为；当时，另一条对角线为：，则菱形的面积为；故答案为：或24．【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及菱形的性质，解题的关键是熟练掌握方程的解法．15．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，其影长为米，落在地面上的影长为米，则树高为______米．【答案】【分析】设从墙壁的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米，根据竹竿的长度：竹竿影长=树的高度：树的影长，列出比例式求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高．【详解】解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米，根据题意，得，解得，∴树高为（米），故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟知在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．16．中，，，点、点分别为边、边上的点，连接，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，若与相似，则的长为______．【答案】或【分析】根据折叠的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，然后分两种情况：和，再根据相似三角形的性质，计算即可得出答案．【详解】解：如图，将沿直线折叠得到，则，∵，∴，①若，∴，即，解得：；②若，∴，即，解得：，综上可得：的长为或．故答案为：或【点睛】本题考查了折叠的性质、相似三角形的性质，解本题的关键在分两种情况进行讨论．17．如图，在平面直角坐标系中放置一菱形，，点在轴上，，将菱形沿轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2022次，点的落点依次为，，，…，则点的坐标为______.【答案】【分析】连接，根据条件可以求出，画出第次、第次、第次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转次，图形向右平移，由于，因此点向右平移（即），即可到达点，根据点的坐标就可求出点的横坐标．【详解】解：连接，与交于点，如图所示：四边形是菱形，，，，，是等边三角形，，，，，，，，的坐标为，画出第次、第次、第次翻转后的图形，如图所示：由图可知：每翻转次，图形向右平移，，点向右平移即到点，的坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力，发现“每翻转次，图形向右平移”是解决本题的关键．三、解答题18．（1）计算：    （2）解方程：【答案】（1）；（2），【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入，然后去绝对值符号并进行计算即可；（2）将方程变形为一般形式，然后用因式分解法求解方程即可．【详解】解：（1）原式；（2）或，．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值有关计算，因式分解法解一元二次方程；熟记特殊角三角函数值，正确求解一元二次方程是解题的关键．19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、两点.(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式；(2)根据图象，请你直接写出满足条件：的的取值范围.【答案】(1)；(2)或【分析】（1）用待定系数法即可得反比例函数的解析式是，把代入反比例函数得：，即可得的坐标是，把、代入一次函数，进行计算即可得；（2）观察函数图象即可得．【详解】（1）解：∵把代入得：，∴反比例函数的解析式是，∵代入反比例函数得：，∴的坐标是，把、代入一次函数得：，①-②，得，把代入①，得，，∴方程组的解集为，∴一次函数的解析式是；（2）解：从图象可知：的的取值范围是当或．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数，解题的关键是理解题意，掌握一次函数的图象与性质，反比例函数的图像与性质．20．某医院计划选派医护人员去某地参加防疫工作，甲、乙、丙、丁四名医护人员积极报名参加，其中甲、乙、丙三人是共产党员，丁是共青团员，医院决定采用随机抽取的方式确定人选.(1)事件“随机抽取1人，丁恰好被抽中”是______事件；A．不可能；    B．必然；    C．随机.(2)若需要从这4名医护人员中随机抽取2人参加防疫工作，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名医护人员都是共产党员的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据随机事件的定义即可解决问题；（2）先进行列表，得出所有可能出现的结果共有12种，然后利用概率公式即可解决问题．【详解】（1）“随机抽取1人，丁恰好被抽中”是事件；故选：C（2）列表如下：由上可知，所有可能结果共有12种，且每种结果出现的可能性相等，其中抽到的2名医护人员都是共产党员的结果有6种，∴（抽到的2名医护人员都是共产党员）【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，随机事件．解决本题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．如图，四边形是平行四边形，为延长线上一点，连接交于，且．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平行四边形的性质有，即有，结合，即可作答；（2）利用（1）中，可得，即可作答．【详解】（1）证明∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，又，∴；（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，由（1）得，∴，∵，，∴，，即，∴．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，证明是解答本题的关键．22．如图，在中，，点是边上一点，以为直径的与交于点，连接并延长交的延长线于点，且．(1)求证：为的切线；(2)若，，求的半径的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，证明，根据，即可证明，即为的切线；（2）连接，，证明，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解．【详解】（1）证明：如图，连接，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵为半径，∴为的切线；（2）解：如图，连接，∵，，∴，∵，∴，∴，∵是直径，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴，∴的半径．【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，已知正切求边长，综合运用以上知识是解题的关键．23．（1）如图①，中，，，求的面积的最大值；（2）如图②，中，，，，点为上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，交于点，此时若过点作于，则______，的长为______；（3）如图③，中，，，点为上的一动点（点除外），连接，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，连接，则当______时，的面积最大，最值为______．【答案】（1）（2），（3）4，8【分析】（1）设，则，再利用三角形面积公式得到，利用二次函数的性质即可得到答案；（2）利用旋转的性质得到，再证明，即可证明，，求出，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出 ，则； （3）如图所示，过点E作交延长线于G，过点B作交延长线于H，过点C作于D，同理可证，得到，利用等腰三角形的性质和勾股定理求出，进而利用面积法求出，则由勾股定理得，设，则，再仿照（1）的方法求解即可．【详解】解：（1）∵，∴可设，则，∵，∴，∵，∴当时，的面积最大，最大为；（2）由旋转的性质可知，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵在中，，，∴，∴，∴，∴ ∴； （3）如图所示，过点E作交延长线于G，过点B作交延长线于H，过点C作于D，同理可证，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得，设，则，∴，∴当时，有最大值8，∴当时，的面积最大，最大值为8．【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，二次函数的最值问题，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、两点（A在的左侧），与轴交于点，其中，.(1)求该抛物线的解析式；(2)若点，是线段上的两点（在的右侧），，过点作轴，交直线下方抛物线于点，交轴于点，过点作轴于点，连接、.则此时的长为______，当点的坐标为______时，的面积最大，最大值为______；(3)轴上是否存在点，使以点A、点、点为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)该抛物线的解析式(2)1，，(3)存在，、、、【分析】（1）根据抛物线与轴交于点，得，则抛物线解析式为，根据抛物线与轴交于A、两点（A在的左侧），，则当时，，进行计算即可得；（2）由（1）知，，则对称轴为，根据进行计算得，则，设直线的解析式为，把代入中计算得，即可得直线的解析式为，根据，，得，设，根据轴得，过点E作轴，交于点H，则，根据得，即可得，则，设则，即，即可得，当时，有最大值为，则点P的坐标为，把代入得，即可得点P的坐标为，（3）分情况讨论，①当时，设，根据轴得A与M关于y轴对称，根据得，即可得，②当时，即可得，根据点M在点A的左，右两边得点M的坐标为，，③当时，设，根据，得，进行计算得，即可得点M的坐标为．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，，∴，∴抛物线解析式为，∵抛物线与轴交于A、两点（A在的左侧），，∴当时，，，∴该抛物线的解析式；（2）解：由（1）知，，则对称轴为，∵，，∴，设直线的解析式为，把代入中，得，，∴直线的解析式为，∵，，，∴，设，∵轴，∴，如图所示，过点E作轴，交于点H，  ∴，∵，∴，  ∴，∴，设，∴，∴，∴当时，有最大值为，∴点P的坐标为，把代入得，，∴点P的坐标为，故答案为：1，，；（3）存在，、、、解：当时，设，∵轴，∴A与M关于y轴对称，∵，∴，∴，当时，，∵点M在点A的左，右两边，∴点M的坐标为，，当时，设，∵，，∴，，，∴点M的坐标为，综上，轴上存在点，使以点A、点、点为顶点的三角形为等腰三角形，、、、．【点睛】本题考查了二次函数与三角形，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的图像与性质，勾股定理，三角函数，学会分类讨论．甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）