高考数学二轮专题大题优练4 随机变量及其分布(2份打包，教师版+原卷版)

例1．2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图．

（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；

（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且．

（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求；

（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，

求（结果精确到）以及的数学期望．

参考数据：，．若，则．

【答案】（1），；（2）（ⅰ），（ⅱ），．

【解析】（1），

．

（2）（ⅰ）由题知，，所以，，

所以．

（ⅱ）由（ⅰ）知，可得，

，

故的数学期望．

例2．某商场在“双十二”进行促销活动，现有甲、乙两个盒子，甲盒中有3红2白共5个小球，乙盒中有1红4白共5个小球，这些小球除颜色外完全相同．有两种活动规则：

规则一：顾客先从甲盒中随机摸取一个小球，从第二次摸球起，若前一次摸到红球，则还从该盒中摸取一个球，若前一次摸到白球，则从另一个盒中摸取一个球，每摸出1个红球奖励100元，每个顾客只有3次摸球机会（每次摸球都不放回）；

规则二：顾客先从甲盒中随机摸取一个小球，从第二次摸球起，若前一次摸到红球，则要从甲盒中摸球一个，若前一次摸到白球，则要从乙盒中摸球一个，每摸出1个红球奖励100元，每个顾客只有3次摸球机会（每次摸球都不放回）．

（1）按照“规则一”，求一名顾客摸球获奖励金额的数学期望；

（2）请问顾客选择哪种规则进行抽奖更有利，并请说明理由．

【答案】（1）138；（2）选择“规则一”更有利，理由见解析．

【解析】（1）按照“规则一”，设顾客经过3次摸球后摸取的红球个数为，

则可以取0，1，2，3，

则；；

；．

随机变量的分布列为：

在“规则一”下，顾客摸球获奖励金额的数学期望

．

（2）若选“规则二”，设顾客经过3次摸球后摸取的红球个数为，则可以取0，1，2，3，

；；

；．

随机变量的分布列为：

“规则二”下顾客摸球获奖励金额的数学期望为

，

因为，所以选择“规则一”更有利．

例3．2019年6月25日，《固体废物污染环境防治法(修订草案)》初次提请全国人大常委会审议，草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定．草案提出，国家推行生活垃圾分类制度．为了了解人民群众对垃圾分类的认识，某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人(其中450人为女性)的得分(满分：100分)数据，统计结果如表所示：

（1）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表)，请利用正态分布的知识求；

（2）把市民分为对垃圾分类“比较了解”(不低于60分的)和“不太了解”(低于60分的)两类，请完成如下列联表，并判断是否有的把握认为市民对垃圾分类的了解程度与性别有关？

（3）从得分不低于分的被调查者中采用分层抽样的方法抽取名．再从这人中随机抽取人，求抽取的人中男性人数的分布列及数学期望．

参考数据：①；②若，则，，；

③

，．

【答案】（1）；（2）列联表见解析，有的把握认为；（3）分布列见解析，数学期望为．

【解析】（1）由题意知：，

又，，

所以．

（2）由题意得列联表如下：

，

所以有的把握认为市民对垃圾分类的了解程度与性别有关．

（3）不低于分的被调查者的男女比例为，

所以采用分层抽样的方法抽取人中，男性为人，女性为人．

设从这人中随机抽取的人中男性人数为，则的取值为，

，，，，

所以随机变量的分布列为

所以其期望．

1．根据国家深化医药卫生体制改革的总体部署和要求，某地区自2015年起，开始逐步推行“基层首诊、逐级转诊”的医疗制度，从而全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示．

（1）根据图1和图2的信息，估计该地区签约率超过35%低于60%的人群的总人数；

（2）若以图2中年龄在岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，现从该地区年龄在岁居民中随机抽取3人，记抽到的签约人数为，求的分布列及数学期望；

（3）据统计，该地区被访者的签约率约为43%．为把该地区年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释．

2．时值金秋十月，秋高气爽，我校一年一度的运动会拉开了序幕．为了增加运动会的趣味性，大会组委会决定增加一项射击比赛，比赛规则如下：向甲､乙两个靶进行射击，先向甲靶射击一次，命中得2分，没有命中得0分；再向乙靶射击两次，如果连续命中两次得3分，只命中一次得1分，一次也没有命中得0分．小华同学准备参赛，目前的水平是：向甲靶射击，命中的概率是；向乙靶射击，命中的概率为．假设小华同学每次射击的结果相互独立．

（1）求小华同学恰好命中两次的概率；

（2）求小华同学获得总分X的分布列及数学期望．

3．为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现症状的概率均为，且每次给药后是否出现症状与上次给药无关．

（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现次症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；

（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现次症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为，求的分布列和数学期望．

4．某学校对甲、乙、丙、丁四支足球队进行了一次选拔赛，积分前两名的球队将代表学校参加上级比赛．选拔赛采用单循环制（每两个队比赛一场），胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．经过三场比赛后，积分状况如下表所示：

根据以往的比赛情况统计，乙队与丙队比赛，乙队胜或平的概率均为，乙队与丁队比赛，乙队胜、平、负的概率均为，且四个队之间比赛结果相互独立．

（1）求选拔赛结束后，乙队与甲队并列第1名的概率；

（2）设随机变量为选拔赛结束后乙队的积分，求随机变量的分布列与数学期望；

（3）在目前的积分情况下，不论后面的比赛中丙队与丁队相互比赛的结果如何，乙队一定能代表学校参加上级比赛的概率是多少？说明理由．

5．2019年，受非洲猪瘟影响，全国猪肉价格大幅上涨．10月份全国居民消费指数（）同比上涨，创七年新高，其中猪肉价格成为推动居民消费指数上涨的主要因素之一．某学习调查小组为研究某市居民对猪肉市场的信心程度，对当地200名居民在未来一段时间内猪肉价格上涨幅度的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如图所示的频率分布直方图：

（1）求频率分布直方图中a的值，并估算该市居民对猪肉价格上涨幅度的平均心理预期值；

（2）将猪肉价格上涨幅度预期值在和的居民分别定义为对市场“信心十足型”和“信心不足型”，现采用分层抽样的方法从样本中位于这两个区间的居民中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，记X表示这三人中“信心十足型”的人数，求X的分布列、数学期望与方差．

6．某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．

（1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；

（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？

7．某单位在2020年8月8日“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目为投篮游戏．游戏的规则如下：每个参与者投篮3次，若投中的次数多于未投中的次数，得3分，否则得1分．已知甲投篮的命中率为，且每次投篮的结果相互独立．

（1）求甲在一次游戏中投篮命中次数的分布列与期望；

（2）若参与者连续玩次投篮游戏获得的分数的平均值不小于2，即可获得一份大奖．现有和两种选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择？请说明理由．

1．【答案】（1）总人数为万；（2）分布列见解析，数学期望为；（3）着重提高这个年龄段的签约率，详见解析．

【解析】由图可知签约率超过35%低于60%的人群得年龄为岁、岁，

由表1易得所求频率，

所以估计该地区签约率超过35%低于60%的人群的总人数为万．

（2）该地区年龄在岁居民中，抽到的签约人数为可能为0，1，2，3，

易得，

，，

；；

；，

的分布列为

．

（3）应该着重提高这个年龄段的签约率．

由图1，2知，

由以上数据可知这个地区在这个年龄段的人为740万，基数较其他年齡段是最大的，且签约率为，比较低，

所以为把该地区满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应该着重提高这个年龄段的签约率．

2．【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为．

【解析】（1）记：“小华恰好命中两次”为事件A，“小华射击甲靶命中”为事件B，

“小华第一次射击乙靶命中”为事件C，“小华第二次射击乙靶命中”为事件D，

由题意可知，，

由于，

∴，

故甲同学恰好命中一次的概率为．

（2），1，2，3，5．

，，

，，

，

．

3．【答案】（1）；（2）分布列见解析，．

【解析】（1）设“一只白鼠至少能参加一个给药周期”为事件，

则的对立事件为一个给药周期也没有参加完．

设一次给药出现症状为事件，

则一个给药周期也没有参加完的概率为，

所以一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率为．

（2）设事件为“在一个给药周期中某只白鼠至少出现次症状”，

则，

则随机变量的取值为，

，，

，

所以X的分布列为

所以随机变量的数学期望为．

4．【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3），理由见解析．

【解析】（1）设乙队胜、平、负丙队分别为事件，

乙队胜、平、负丁队分别为事件，

则，，，

设事件C为“选拔赛结束后，乙队与甲队并列第一名”，

由目前比赛积分榜可知，甲队一定是第一名，所以“乙队与甲队并列第一名”，

即乙队的积分为7分，即乙队胜丙队和丁队，

所以，

（2）随机变量的所有可能取值为1，2，3，4，5，7，

；

；

；

；

；

，

随机变量的分布列为：

所以．

（3）乙队一定能代表学校参加上级比赛的概率是，理由如下：

当乙队积7分时，乙队与甲队并列第1名，满足题意；

当乙队积5分时，丙队或丁队的可能积分为4，3，2，1，0，乙队一定为第2名，满足题意；

当乙队积分小于5分时，丙队或丁队均有可能积分6分，不合题意，

所以，当乙队的积分为5分或7分时，一定能代表学校参加上级比赛，

其概率为．

5．【答案】（1），预期值为；（2）分布列见解析，，．

【解析】（1）由直方图知，解得．

设该市居民对猪肉价格上涨幅度的平均心理预期值为，

则，

所以该市居民对猪肉价格上涨幅度的平均心理预期值为．

（2）由题意，样本中，“信心十足型”居民有人，

“信心不足型”居民有人．

由分层抽样的定义可知“信心十足型”居民抽取4人，“信心不足型”居民抽取2人．

则X的可能取值为1，2，3，

；；，

故X的分布列为

，

．

6．【答案】（1）分布列见解析，；（2）．

【解析】（1）甲抽奖一次，基本事件的总数为，奖金的所有可能取值为0，30，60，240．

一等奖的情况只有一种，所有奖金为120元的概率为，

三球连号的情况有1，2，3；2，3，4；……8，9，10共8种，

得60元的概率为，

仅有两球连号中，对应1，2与9，10的各有7种：对应2，3；3，4；……8，9各有6种，

得奖金30元的概率为，

得奖金0元的概率为，

的分布列为：

．

（2）由（1）可得乙一次抽奖中中奖的概率为，

四次抽奖是相互独立的，所以中奖次数，

故．

7．【答案】（1）分布列见解析，；（2）甲选择玩10次投篮游戏的获奖概率最大．理由见解析．

【解析】（1）由题意知，

则；；

；，

所以的分布列为

．

（2）由（1）可知在一次游戏中，甲得3分的概率为，得1分的概率为．

若选择，此时要能获得奖品，则需10次游戏的总得分不小于20．

设10次游戏中，得3分的次数为，则，即．

易知，

故此时获奖的概率．

若选择，此时要能获得奖品，则需15次游戏的总得分不小于30．

设15次游戏中，得3分的次数为，则，，

又，所以．

易知，故此时获奖的概率

．

因为，所以甲选择玩10次投篮游戏的获奖概率最大．