高考数学三轮冲刺小题必练12 统计与统计案例(2份打包，教师版+原卷版)

统计与统计案例是高中数学的重要内容．高考主要考查随机抽样、用样本估计总体、变量的相关性、随机事件的概率、古典概型、几何概型、回归分析、独立性检验．其中，用样本估计总体、古典概率的计算、应用回归分析与独立性检验思想方法解决简单实际问题的能力是考查的重点．试题强调应用性，以实际问题为背景，构建数学模型，突出考查统计与概率的思想及考生的数据处理能力和应用意识．

1．【2020全国Ⅰ卷】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系，在个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：

由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由图象可知作为发芽率和温度的回归方程类型最适宜．

【点睛】本题考察回归方程类型的判断．

2．【2020全国Ⅱ卷】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压份订单未配货，预计第二天的新订单超过份的概率为，志愿者每人每天能完成份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于，则至少需要志愿者（    ）

A．名 B．名 C．名 D．名

【答案】B

【解析】积压份订单未配货，次日产生新订单超过份的概率为，

其中份不需要志愿者配货，志愿者只需负责份配货，

也就是需要志愿者配货的为份，故需要名志愿者．

【点睛】本题主要考察事件与概率．

一、选择题．

1．从96名数学教师，24名化学教师，16名地理教师中，用分层抽样的方法抽取一个容量为17的样本，

则应抽取的数学教师人数是（    ）

A．2 B．3 C．12 D．15

【答案】C

【解析】从96名数学教师，24名化学教师，16名地理教师中，

用分层抽样的方法抽取一个容量为17的样本，

则应抽取的数学教师人数是，故选C．

2．近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013－2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是（    ）

①2013－2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加

②2013－2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小

③2016－2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平

A．①②③ B．②③ C．①② D．③

【答案】A

【解析】由图中折线逐渐上升，即每年游客人次逐渐增多，故①正确；

由图在2014年中折线比较平缓，即2014年中游客人次增幅最小，故②正确；

根据图像在2016－2018年这3年中，折线的斜率基本相同，

故每年的增幅基本持平，故③正确，

故选A．

3．袋中共有完全相同的4只小球、编号为1，2，3，4，现从中任取2只小球，则取出的2只球编号之和

是奇数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】在编号为1，2，3，4的小球中任取2只小球，则有，，，，，，共6种取法，

则取出的2只球编号之和是奇数的有，，，，共4种取法，

所以取出的2只球编号之和是奇数的概率为，

故选D．

4．从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一张卡片上的数

大于第二张卡片上的数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，

基本事件总数，

抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有，，，，，，，，，，

共有个基本事件，

∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率，故答案为D．

5．在平面区域，内随机取一点，在所取的点恰好满足的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知所取的点应在图中阴影部分，

从而其概率为，故本题正确答案为C．

6．在区间内随机取一个数a，则关于x的方程无实根的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】关于x的方程无实根，得，，

，，

所以所求的概率为．故选B．

7．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其线性相关系数比较，正确的是（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】B

【解析】由给出的四组数据的散点图可以看出，

图1和图3是正相关，相关系数大于0，则，

图2和图4是负相关，相关系数小于0，则，

图3和图4的点相对更加集中，所以相关性较强，所以接近于1，接近于，

图1和图2的点相对分散一些，所以相关性较弱，所以和比较接近0，

由此可得：，故选B．

8．下列说法：

①残差可用来判断模型拟合的效果；

②设有一个回归方程：，变量增加一个单位时，平均增加5个单位；

③线性回归直线：必过点；

④在一个列联表中，由计算得，则有的把握确认这两个变量间有关系（其中）；

其中错误的个数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】对于①，残差可用来判断模型拟合的效果，

残差越小，拟合效果越好，∴①正确；

对于②，回归方程中，变量增加一个单位时，

平均减少5个单位，∴②错误；

对于③，线性回归方程必过样本中心点，∴③正确；

对于④，在列联表中，由计算得，对照临界值得，

有99%的把握确认这两个变量间有关系，④正确，

综上，其中错误的命题是②，共1个，故选B．

9．通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量的观测值，参照附表，得到的正确结论是（    ）

A．有97．5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B．有97．5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

【答案】C

【解析】∵计算得到统计量值的观测值，

参照题目中的数值表，得到正确的结论是：

在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”，故选C．

10．今年，受新冠肺炎疫情的影响，在全国的许多地方都采取了在家线上学习的方式，而此种方式对学生的自制力、自觉性有极高的要求．然而，在手机面前，有些学生终究无法抵御游戏和短视频的诱惑．从而导致无法专心完成学习任务，成绩下滑；但是对于自制力强，能有效管理自己的学生，手机不仅不会对他们的学习造成负面影响，还能成为他们学习的有力助手．某校某研究学习小组调查研究“学生线上学习智能手机对学习的影响”，从学习成绩优秀与不优秀中分别随机抽查了40名同学，得到了是否使用手机的如下样本数据：

附：，．

根据表中的数据，下列说法中，正确的是（    ）

A．有的把握认为中学生使用手机对学习有影响

B．有的把握认为中学生使用手机对学习有影响

C．可以在犯错误的概率不超过0．025的前提下认为中学生使用手机对学习有影响

D．可以在犯错误的概率不超过0．001的前提下认为中学生使用手机对学习有影响

【答案】B

【解析】，

有的把握认为中学生使用手机对学习有影响，

故选B．

11．根据最小二乘法由一组样本点（其中，2，…，500），求得的回归方程是，

则下列说法不正确的是（    ）

A．样本点可能全部都不在回归直线上

B．若所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为1

C．若所有的样本点都在回归直线上，则的值与相等

D．若回归直线的斜率，则变量x与y呈负相关

【答案】B

【解析】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上故A正确；

所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数可能为，故B错误；

若所有的样本点都在回归直线上，则的值与相等，故C正确；

相关系数r与符号相同，若回归直线的斜率，则，

则变量x与y呈负相关，故D正确，

故选B．

12．已知下列命题：

①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；

②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近于；

③对分类变量与，的观测值越小，“与有关系”的把握程度越大；

④两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好．

则正确命题的个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】对于①，回归直线恒过样本点的中心，可以不过任一个样本点，故①错误；

对于②，两个变量相关性越强，则相关系数r的绝对值就越接近于1，故②错误；

对于③，对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故③错误；

对于④，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故④正确，

故正确命题的个数为1，故选B．

二、填空题．

13．邢台市物价部门对市区的天一城、北国商城、恒大城、家乐园、中北世纪城5家商场的某件商品在7月15号一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：

已知销售量与价格之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是，且，

则其中的______．

【答案】10

【解析】依题意，，

代入回归直线方程得①，

根据题意②，

解①②组成的方程组得，故答案为．

14．我国的旅游资源丰富，是人们假期旅游的好去处，小五现从大理、黄果树瀑布、阳朔、张家界和青海湖中任选两处去旅游，则恰好选中青海湖的概率为______．

【答案】

【解析】依次将大理、黄果树瀑布、阳朔、张家界和青海湖编号为1，2，3，4，5，

则从中任选两处的所有可能情况有，，，，，，，，，，共10种，

恰好选中青海湖的情况有，，，，共4种，

则由古典概型的概率公式得所求概率为，故答案为．

15．在长为3、宽为2的长方形内任取一点，使它到四个顶点的距离均不小于1的概率为______．

【答案】

【解析】如图：

在长方形内取一点，它到四个顶点的距离均不小于1的概率为，

故答案为．

16．某种产品的广告费支出与销售额(单位：万元)之间的关系如下表：

与的线性回归方程为，当广告支出5万元时，随机误差的残差为________．

【答案】

【解析】由题意，当时，，

因此其残差为，故答案为．