高中数学人教B版 (2019)必修 第四册10.3 复数的三角形式及其运算一课一练

10.3 复数的三角形式及其运算——2022-2023学年高一数学人教B版2019必修第四册同步课时训练

1.设复数在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，令对应的复数为的辐角主值为，则(   )

A. B. C. D.

2.设函数，那么是(   )

A. B. C. D.

3.设复数，，则(   )

A. B. C. D.

4.在下列各数中，已表示成三角形式的复数是(   )

A.  B.

C.  D.

5.复数的三角形式是(   )

A. B.

C.  D.

6.复数的辐角主值是(   )

A. B. C. D.

7.设，则复数的辐角主值为(   )

A. B. C. D.

8. （多选）欧拉公式（其中i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数之间的关系，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，下列选项正确的是(   )

A.复数对应的点位于第三象限 B.为纯虚数

C.复数的模等于 D.的共轭复数为

9. （多选）已知复数(其中i为虚数单位),则下列说法正确的是(   )
A.复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限

B.z可能为实数

C.

D.的实部为

10. （多选）已知复数，，则下列命题中正确的是(   )

A. B.

C. D.

11.复数的三角形式的辐角主值为___________.

12.若复数（i为虚数单位），则___________.

13.设复数，则的值是___________.

14.已知复数，求证：.

15.求复数的模和辐角的主值.

答案以及解析

1.答案：C

解析：复数，因按顺时针方向旋转后得到向量，

依题意，

，

因此复数的辐角主值，所以.

故选：C.

2.答案：C

解析：，.

故选：C.

3.答案：C

解析：因为复数，，

所以，

，

，

，

所以，

故选：C.

4.答案：B

解析：复数的三角形式为，，对比选项知B满足.

故选：B.

5.答案：A

解析：由，则.

故选：A.

6.答案：D

解析：复数

，

所以复数的辐角主值是.

故选：D.

7.答案：B

解析：，

因为，

所以，所以，

所以该复数的辐角主值为.

故选：B.

8.答案：BC

解析：由题知，而，，则复数对应的点位于第二象限，故A错误；

，则为纯虚数，故B正确；

，则的模为，故C正确；

，其共轭复数为，故D错误.

故选：BC.

9.答案：BCD

解析：因为，所以，所以，所以，所以A选项错误；
当时，，复数z是实数，故B选项正确；，故C选项正确；
,所以的实部是,故D选项正确.故选BCD.

10.答案：ACD

解析：，故A正确；

，，，则B不正确；

显然成立，故C正确；，设，则，故D正确.

故选ACD.

11.答案：

解析：由辐角主值的概念知，的辐角主值为.

故答案为：.

12.答案：

解析：因为复数，其实部和虚部分别-1，，且在第二象限

故幅角的正切值，由于，则，

故答案为：.

13.答案：0

解析：由，可得，

所以，又，

所以，又，

所以.

故答案为：0.

14.答案：证明见解析

解析：证明：因为，则，

所以，

，

所以，，

因此，.

15.答案：2；

解析：依题意，，

所以复数的模为2，辐角的主值为.