【备考2023】高考数学重难点专题特训学案（全国通用）——21 空间几何体的结构特征、表面积、体积 （原卷版 解析版）

重难点21   空间几何体的结构特征、表面积、体积

1.三视图画法的基本原则

长对正，高平齐，宽相等；画图时看不到的线画成虚线．

2．由三视图还原几何体的步骤

3.通常利用空间几何体的表面展开图解决以下问题：①求几何体的表面积或侧面积；②求几何体表面上任意两个点的最短表面距离．

4.求空间几何体的体积的常用方法

5．多面体的内切球与外接球常用的结论

(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝

(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝

(3)设正四面体的棱长为a，则它的高为H＝，内切球半径，外接球半径

主要考查几何体体积与表面积计算，此类问题属于中档题目；球与棱柱、棱锥的切接问题仍然是2023年高考考查的热点.

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．如图，已知高为3的棱柱的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥的体积为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】三棱锥的体积为：

故选：C

2．正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，

因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，

所以该棱台的高，

下底面面积，上底面面积，

所以该棱台的体积.

故选：D.

3．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设正方形边长为，圆柱底面半径为，易知圆柱高为，，，

全面积为，而侧面积为，

所以全面积与侧面积之比这．

故选：A．

4．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．

故选：A．

5．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．

棱台上底面积，下底面积，

∴

．

故选：C．

6．在长方体中，如果，，那么点到直线的距离等于（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】在长方体中，因为，，

所以，

,

，

所以点到直线的距离为：.

故选：C

7．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.

故选：B.

8．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由已知得，正三棱锥的底面是正三角形，且底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以，该底面的正三角形的外接圆的半径就是球的半径，且该正三棱锥的高也是球的半径，所以，，如图，，且，底面的面积为，故

故选：D

9．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，

设圆锥和圆锥的高之比为，即，

设球的半径为，则，可得，所以，，

所以，，，

，则，所以，，

又因为，所以，，

所以，，，

因此，这两个圆锥的体积之和为.

故选：B.

10．已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，

且，故.

因为，故，

故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，

而三角形内切圆的圆心为，半径为，

故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为

故选：B

11．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，

则，

所以，

又，

则，

所以，

所以甲圆锥的高，

乙圆锥的高，

所以.

故选：C.

12．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】[方法一]：【最优解】基本不等式

设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，

设四边形ABCD对角线夹角为，

则

（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）

即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为

又设四棱锥的高为，则，

当且仅当即时等号成立.

故选：C

[方法二]：统一变量＋基本不等式

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，

(当且仅当，即时，等号成立)

所以该四棱锥的体积最大时，其高.

故选：C．

[方法三]：利用导数求最值

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则，

，，单调递增， ，，单调递减，

所以当时，最大，此时．

故选：C.

二、填空题

13．在球面上有四点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，则这个球的表面积是           

【答案】

【解析】依题意，两两垂直，且，

由此补形成正方体如下图所示，

则四面体的外接球，也即是正方体的外接球，

所以求的半径为，

所以球的表面积为.

故答案为：

14．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是_____________．

【答案】

【解析】由题意圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，设母线为，底面半径为，则，且，，，，

所以圆锥的侧面积．

故答案为：．

15．已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．

【答案】.

【解析】如图：

取的中点为，的中点为，的中点为，

因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，

又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，

因为，所以侧面，

设为侧面与球面的交线上的点，则，

因为球的半径为，，所以，

所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，

因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，

因为，所以，

所以根据弧长公式可得.

故答案为：.

16．学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.

【答案】118．8

【解析】由题意得， ，

四棱锥O−EFG的高3cm， ∴．

又长方体的体积为，

所以该模型体积为，

其质量为．

三、解答题

17．如图，长方体框架三边的长分别为6、8、3.6，与底面的对角线垂直于E．

(1)证明；

(2)求的长．

【答案】(1)证明见解析(2)

【解析】（1）证明：⊥平面，

∴⊥．

又AE⊥，且，

∴⊥平面，平面,

（2）由已知，

则

∴，

∴

∴.

18．如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且．

（Ⅰ）若为线段的中点，求证平面；

（Ⅱ）求三棱锥体积的最大值；

（Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

【解析】（Ⅰ）在中，因为，为的中点，

所以．又垂直于圆所在的平面，所以．

因为，所以平面．

（Ⅱ）因为点在圆上，

所以当时，到的距离最大，且最大值为．

又，所以面积的最大值为．

又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为．

（Ⅲ）在中，，，所以．

同理，所以．

在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示．

当，，共线时，取得最小值．

又因为，，所以垂直平分，

即为中点．从而，

亦即的最小值为．