【备考2023】高考数学重难点专题特训学案（全国通用）——27 抛物线 （原卷版 解析版）

重难点27  抛物线

1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.

2.焦半径公式

(1)若点P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，抛物线的焦点为F，准线为l，则线段PF叫做抛物线的焦半径，则|PF|＝x0＋.

(2)若点P(x0，y0)是抛物线y2＝－2px(p>0)上一点，抛物线的焦点为F，准线为l，则线段PF叫做抛物线的焦半径，则|PF|＝－x0＋.

(3)若点P(x0，y0)是抛物线x2＝2py(p>0)上一点，抛物线的焦点为F，准线为l，则线段PF叫做抛物线的焦半径，则|PF|＝y0＋.

(4)若点P(x0，y0)是抛物线x2＝－2py(p>0)上一点，抛物线的焦点为F，准线为l，则线段PF叫做抛物线的焦半径，则|PF|＝－y0＋.

3．过x2＝2py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过点.

2023年命题角度：（1）抛物线的定义及应用；（2）抛物线的标准方程与几何性质；（3）直线与抛物线的位置关系．

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（    ）

A．2 B．3 C．6 D．9

2．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ）

A．2 B． C．3 D．

3．已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个交点，若，则（    ）

A． B． C． D．

4．设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（    ）．

A．经过点 B．经过点

C．平行于直线 D．垂直于直线

5．抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ）

A．1 B．2 C． D．4

6．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=

A．2 B．3

C．4 D．8

7．已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为

A． B． C． D．

8．已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点

重合，是C的准线与E的两个交点，则

A． B． C． D．

9．设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则

A． B． C． D．

10．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．3

11．已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

12．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为

A．16 B．14 C．12 D．10

二、填空题

13．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.

14．设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．

15．设已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线与抛物线相交于A，B两点.若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_____________.

16．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．

三、解答题

17．已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

（2）若，求|AB|．

18．已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.

（1）求C1的离心率；

（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.