广东省广州市花都区2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份广东省广州市花都区2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了若分式有意义，则x的取值范围是，下列运算正确的是，下列因式分解变形正确的是等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省广州市花都区八年级第一学期期末数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≠2 C．x≠0 D．x≠﹣2
2．若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（　　）
A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm
3．如图，已知AB＝AC，点D、E分别在线段AB、AC上，BE与CD相交于点O，添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（　　）

A．∠B＝∠C B．AE＝AD C．BD＝CE D．BE＝CD
4．下列运算正确的是（　　）
A．a3•a4＝a12 B．a2+a2＝a4 C．（a3）4＝a12 D．（ab）2＝ab2
5．下列因式分解变形正确的是（　　）
A．2a2﹣4a＝2（a2﹣2a） B．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2
C．﹣a2+4＝（a+2）（a﹣2） D．a2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）
6．将分式中的x、y的值同时扩大2倍，则分式的值（　　）
A．扩大2倍 B．缩小到原来的
C．保持不变 D．无法确定
7．多项式x2+mx+25是完全平方式，那么m的值是（　　）
A．10 B．20 C．±10 D．±20
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则AD的长为（　　）

A．1.5 B．2 C．3 D．4
9．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（　　）

A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C
10．如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题（共6小题，满分18分）
11．计算a2•（﹣6ab）的结果是 　 　．
12．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 　 　．
13．因式分解：x2y﹣4y＝　 　．
14．若2m＝5，4n＝3，则2m+2n＝　 　．
15．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE＝　 　°．

16．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF．当△BDF的周长最小时，∠DBF的度数是　 　．

三．解答题（本题共9题，合计72分）
17．计算：a3•a+（﹣a2）3÷a2．
18．已知：如图，BC＝DC，∠1＝∠2，求证：△ABC≌△ADC．

19．已知2x2﹣7x＝7，求代数式（2x﹣3）2﹣（x﹣3）（2x+1）的值．
20．先化简，然后从﹣1≤x≤2的范围内选取一个你喜欢的整数作为x的值代入求值，
21．如图所示，
（1）写出顶点C的坐标；
（2）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出B1的坐标；
（3）若点A2（a，b）与点A关于x轴对称，求a﹣b的值．

22．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E是BC上一点，AB＝BE，连接AE，BD是∠ABC的角平分线，交AE于点F，交AC于点D，连接DE．
（1）若∠C＝50°，求∠CAE的度数；
（2）求证：DE＝AD．

23．如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．
（1）尺规作图：在直线BC的下方，过点B作∠CBE＝∠CBA，作NC的延长线，与BE相交于点 E．
（2）求证：△BEC是等边△BEC；
（3）求证：∠AMN＝60°．

24．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．
（1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是 　 　；
（2）如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a、b、c之间满足怎样的等量关系；
（3）利用（1）（2）的结论，如果直角三角形两直角边满足a+b＝17，ab＝60，求斜边c的值．

25．如图，已知等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，以BC为边在点A的另一侧作等边△BCD，点F，G分别在线段BC，BD上，∠CDF＝15°，且CF＝BG，CG与DF相交于点H，延长DF交AC于E．
（1）求证：△EHC是等边三角形；
（2）试判断线段AE和DH的数量关系，并说明理由．
（3）若点M是AC边上的动点，AB＝a，AE＝b，BC＝c，求△BMD周长的最小值（结果用含a，b，c的整式表示）．



参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≠2 C．x≠0 D．x≠﹣2
【分析】分式有意义时，分母x﹣2≠0，由此求得x的取值范围．
解：依题意得：x﹣2≠0，
解得x≠2．
故选：B．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零．
2．若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（　　）
A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm
【分析】首先设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得6﹣3＜x＜6+3，再解不等式即可．
解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：
6﹣3＜x＜6+3，
解得：3＜x＜9，
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
3．如图，已知AB＝AC，点D、E分别在线段AB、AC上，BE与CD相交于点O，添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（　　）

A．∠B＝∠C B．AE＝AD C．BD＝CE D．BE＝CD
【分析】根据全等三角形的判定定理判断．
解：A、当∠B＝∠C时，利用ASA定理可以判定△ABE≌△ACD；
B、当AE＝AD时，利用SAS定理可以判定△ABE≌△ACD；
C、当BD＝CE时，得到AD＝AE，
利用SAS定理可以判定△ABE≌△ACD；
D、当BE＝CD时，不能判定△ABE≌△ACD；
故选：D．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
4．下列运算正确的是（　　）
A．a3•a4＝a12 B．a2+a2＝a4 C．（a3）4＝a12 D．（ab）2＝ab2
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
解：A、a3•a4＝a7，故A不符合题意；
B、a2+a2＝2a2，故B不符合题意；
C、（a3）4＝a12，故C符合题意；
D、（ab）2＝a2b2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．下列因式分解变形正确的是（　　）
A．2a2﹣4a＝2（a2﹣2a） B．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2
C．﹣a2+4＝（a+2）（a﹣2） D．a2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）
【分析】A提取公因式，B、C利用公式，D利用十字相乘法，先分解因式，再判断对错．
解：∵选项A提取公因式不彻底，2a2﹣4a＝2a（a﹣2），故A错误；
a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故选项B正确；
﹣a2+4＝﹣（a2﹣4）＝﹣（a+2）（a﹣2）≠（a+2）（a﹣2），故选项C错误；
a2﹣5a﹣6＝（a﹣6）（a+1）≠（a﹣2）（a﹣3），故选项D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法、十字相乘法是解决本题的关键．
6．将分式中的x、y的值同时扩大2倍，则分式的值（　　）
A．扩大2倍 B．缩小到原来的
C．保持不变 D．无法确定
【分析】应用分式的基本性质进行计算即可得出答案．
解：根据题意，x、y的值同时扩大2倍，
＝＝．
所以分式的值不变．
故选：C．
【点评】本题重要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质进行求解是解决本题的关键．
7．多项式x2+mx+25是完全平方式，那么m的值是（　　）
A．10 B．20 C．±10 D．±20
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
解：由于（x±5）2＝x2±10x+25
∴m＝±10
故选：C．
【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则AD的长为（　　）

A．1.5 B．2 C．3 D．4
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BDC＝30°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，再求出∠ABC，然后求出∠ABD＝15°，从而得到∠ABD＝∠A，根据等角对等边可得AD＝BD，从而得解．
解：∵∠DBC＝60°，∠C＝90°，
∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝2BC＝2×1＝2，
∵∠C＝90°，∠A＝15°，
∴∠ABC＝90°﹣15°＝75°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝75°﹣60°＝15°，
∴∠ABD＝∠A，
∴AD＝BD＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质熟记解题的关键．
9．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（　　）

A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C
【分析】证明△ADE≌△ADB即可判断A，B正确，再根据同角的补角相等，证明∠EDC＝∠BAC即可．
解：由作图可知，∠DAE＝∠DAB，∠DEA＝∠B＝90°，
∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADB（AAS），
∴DB＝DE，AB＝AE，
∵∠AED+∠B＝180°
∴∠BAC+∠BDE＝180°，
∵∠EDC+∠BDE＝180°，
∴∠EDC＝∠BAC，
故A，B，C正确，
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】过点P作PK⊥AB，垂足为点K．证明Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD，利用全等三角形的性质即可解决问题．
解：过点P作PK⊥AB，垂足为点K．

∵PK⊥AB，PD⊥BC，∠ABP＝∠CBP，
∴PK＝PD，
在Rt△BPK和Rt△BPD中，
，
∴Rt△BPK≌Rt△BPD（HL），
∴BK＝BD，
∵∠APC+∠ABC＝180°，且∠ABC+∠KPD＝180°，
∴∠KPD＝∠APC，
∴∠APK＝∠CPD，故①正确，
在△PAK和△PCD中，
，
∴△PAK≌△PCD（ASA），
∴AK＝CD，PA＝PC，故②正确，
∴BK﹣AB＝BC﹣BD，
∴BD﹣AB＝BC﹣BD，
∴AB+BC＝2BD，故③正确，
∵Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD（ASA），
∴S△BPK＝S△BPD，S△APK＝S△PDC，
∴S四边形ABCP＝S四边形KBDP＝2S△PBD．故④正确．
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
二．填空题（共6小题，满分18分）
11．计算a2•（﹣6ab）的结果是 　﹣2a3b　．
【分析】根据单项式乘单项式的运算法则进行求解即可．
解：a2•（﹣6ab）
＝×（﹣6）a2+1b
＝﹣2a3b．
故答案为：﹣2a3b．
【点评】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对单项式乘单项式的运算法则的掌握．
12．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 　6　．
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2＝6，
∴这个多边形的边数为6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
13．因式分解：x2y﹣4y＝　y（x﹣2）（x+2）　．
【分析】首先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可．
解：x2y﹣4y＝y（x2﹣4）＝y（x﹣2）（x+2）．
故答案为：y（x﹣2）（x+2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式分解因式是解题关键．
14．若2m＝5，4n＝3，则2m+2n＝　15　．
【分析】根据同底数幂的乘法法则求解．
解：4n＝22n＝3，
2m+2n＝2m•22n＝5×3＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则．
15．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE＝　80　°．

【分析】由等腰三角形的性质可得∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，由外角性质可得∠O＝25°，即可求解．
解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，
∵∠DCE＝∠O+∠CDO＝2∠O，
∴∠DEC＝2∠O，
∴∠BDE＝∠O+2∠DEC＝3∠O＝75°，
∴∠O＝25°，
∴∠DCE＝∠DEC＝50°，
∴∠CDE＝80°，
故答案为：80．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题关键．
16．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF．当△BDF的周长最小时，∠DBF的度数是　30°　．

【分析】连接CF，由条件可以得出∠ABE＝∠CBF，再根据等边三角形的性质就可以证明△BAE≌△BCF，从而可以得出∠BCF＝∠BAD＝30°，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD＝FG，依据当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，可得△BDF的周长最小，再根据等边三角形的性质即可得到∠DBF的度数．
解：如图，连接CF，
∵△ABC、△BEF都是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°，
∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△BAE和△BCF中，
，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴∠BCF＝∠BAD＝30°，
如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD＝FG，
∴当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，且BG⊥CG时，△BDF的周长最小，
由轴对称的性质，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG，
∴△DCG是等边三角形，
∴DG＝DC＝DB，
∴∠DBG＝∠DGB＝∠CDG＝30°，
故答案为：30°．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
三．解答题（本题共9题，合计72分）
17．计算：a3•a+（﹣a2）3÷a2．
【分析】根据同底数幂的乘法和除法的运算法则，幂的乘方的运算法则解答即可．
解：原式＝a4+（﹣a6）÷a2
＝a4﹣a6÷a2
＝a4﹣a4
＝0．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法和除法的运算法则，幂的乘方的运算法则，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
18．已知：如图，BC＝DC，∠1＝∠2，求证：△ABC≌△ADC．

【分析】根据∠1＝∠2，求得∠ACB＝∠ACD，再利用SAS即可求证结论
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠ACB＝∠ACD，
∵AC＝AC，BC＝DC，
∴△ABC≌△ADC．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
19．已知2x2﹣7x＝7，求代数式（2x﹣3）2﹣（x﹣3）（2x+1）的值．
【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则把原式化简，把2x2﹣7x＝7代入计算，得到答案．
解：（2x﹣3）2﹣（x﹣3）（2x+1）
＝4x2﹣12x+9﹣2x2﹣x+6x+3
＝2x2﹣7x+12，
当2x2﹣7x＝7时，原式＝7+12＝19．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
20．先化简，然后从﹣1≤x≤2的范围内选取一个你喜欢的整数作为x的值代入求值，
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
解：原式＝•
＝，
∵x≠±1，x≠2，
∴可取x＝0，
则原式＝﹣．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
21．如图所示，
（1）写出顶点C的坐标；
（2）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出B1的坐标；
（3）若点A2（a，b）与点A关于x轴对称，求a﹣b的值．

【分析】（1）根据点的坐标的定义写出坐标即可；
（2）作出A、B、C三点关于y轴的对称点A1、B1、C1即可；
（3）根据轴对称的性质求出a、b的值即可；
解：（1）C（﹣2，﹣1）．
（2）△ABC关于y轴对称的△A1B1C1如图所示；

如图，B1（﹣3，1）．

（3）∵A（1，2）与A2（a，b）关于x轴对称，
可得：a＝1，b＝﹣2，
∴a﹣b＝3．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
22．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E是BC上一点，AB＝BE，连接AE，BD是∠ABC的角平分线，交AE于点F，交AC于点D，连接DE．
（1）若∠C＝50°，求∠CAE的度数；
（2）求证：DE＝AD．

【分析】（1）根据角平分线定义和三角形内角和定理即可解决问题；
（2）证明△ABD≌△EBD（SAS），即可解决问题．
【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∵∠C＝50°，
∴∠ABC＝40°，
∵AB＝BE，BD是∠ABC的角平分线，
∴BD⊥AE，∠ABD＝∠CBD＝ABE＝20°，
∴∠AFD＝90°，
∴∠ADB＝90°﹣20°＝70°，
∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°；
（2）证明：在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴AD＝ED．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形．
23．如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．
（1）尺规作图：在直线BC的下方，过点B作∠CBE＝∠CBA，作NC的延长线，与BE相交于点 E．
（2）求证：△BEC是等边△BEC；
（3）求证：∠AMN＝60°．

【分析】（1）以B为圆心，以任意长为半径画弧，交AB、BC两边为D和F，以F为圆心，以DF为半径画弧，交前弧于G，作射线BG，交NC的延长线于E，则∠CBE＝∠CBA；
（2）证明△BCE三个角都是60°，可得结论；
（3）作辅助线，构建三角形全等，证明△ABM≌△EBM（SAS），得AM＝EM，∠BAM＝∠BEM，证明∠CMN＝∠BEM＝∠BAM，根据三角形外角的性质可得结论．
解：（1）如图所示：

（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ACH＝120°，
∵CN平分∠ACH，
∴∠HCN＝∠BCE＝60°，
∵∠CBE＝∠CBA＝60°，
∴∠EBC＝∠BCE＝∠BEC＝60°，
∴△BEC是等边△BEC；
（3）证明：连接ME，
∵△ABC和△BCE是等边三角形，
∴AB＝BC＝BE，
在△ABM和△EBM中，
∵，
∴△ABM≌△EBM（SAS），
∴AM＝EM，∠BAM＝∠BEM，
∵AM＝MN，
∴MN＝EM，
∴∠N＝∠CEM，
∵∠HCN＝∠N+∠CMN＝60°，
∠BEC＝∠BEM+∠CEM＝60°，
∴∠CMN＝∠BEM＝∠BAM，
∵∠AMC＝∠ABC+∠BAM＝∠AMN+∠CMN，
∴∠AMN＝60°．
【点评】此题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质和判定，作一个角等于已知角的基本作图，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．
24．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．
（1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是 　a2+b2＝（a+b）2﹣2ab　；
（2）如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a、b、c之间满足怎样的等量关系；
（3）利用（1）（2）的结论，如果直角三角形两直角边满足a+b＝17，ab＝60，求斜边c的值．

【分析】（1）阴影部分是两个正方形的面积和，阴影部分也可以看出大正方形的面积减去两个长方形的面积即可得出答案；
（2）中间的是边长为c的正方形，因此面积为c2，也可以从边长为（a+b）正方形面积减去四个直角三角形的面积即可；
（3）利用（2）中的结论，代入计算即可．
【解答】解（1）方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即a2+b2；
方法二：阴影部分也可以看作边长为（a+b）的面积，减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即（a+b）2﹣2ab，
由两种方法看出a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（2）中间正方形的边长为c，因此面积为c2，
也可以看作从边长为（a+b）的面积减去四个两条直角边分别a、b的面积，即c2＝（a+b）2﹣2ab，
也就是c2＝a2+b2，
所以c2＝a2+b2；
（3）∵a+b＝17，ab＝60，
∴c2＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝172﹣2×60
＝169，
∴c＝13，
答：斜边的长为13．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提，将公式进行适当的变形是解决问题的关键．
25．如图，已知等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，以BC为边在点A的另一侧作等边△BCD，点F，G分别在线段BC，BD上，∠CDF＝15°，且CF＝BG，CG与DF相交于点H，延长DF交AC于E．
（1）求证：△EHC是等边三角形；
（2）试判断线段AE和DH的数量关系，并说明理由．
（3）若点M是AC边上的动点，AB＝a，AE＝b，BC＝c，求△BMD周长的最小值（结果用含a，b，c的整式表示）．

【分析】（1）由△CBG≌△DCF，推出∠BCG＝∠CDF＝15°，∠DCH＝45°，推出∠EHC＝∠CDF+∠DCH＝60°，只要证明∠EHC＝∠ECH＝∠CEH＝60°，即可解决问题；
（2）如图2中，如图2中，连接BE．由△CBE≌△CDH，可得DH＝BE，∠CHD＝∠BEC＝120°，推出∠AEB＝60°，在Rt△ABE中，由∠ABE＝30°，即可推出BE＝2AE，由此即可解决问题；
（3）如图3中，延长DE交BA的延长线于B′，连接MB′．由△EAB≌△EAB′，推出MB＝MB′，推出MB+MD＝MB′+MD≥B′D，推出BM+MD的最小值为DB′，推出△MBD的周长最小值＝BD+DB′＝BD+DH+EH+EB＝BD+2DH+EC＝BD+4AE+EH，由此即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1中，

∵△BCD是等边三角形，
∴∠CBD＝∠BCD＝60°，BC＝CD，
∵CF＝BG，
∴△CBG≌△DCF，
∴∠BCG＝∠CDF＝15°，∠DCH＝45°，
∴∠EHC＝∠CDF+∠DCH＝60°，
∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠ECH＝∠ACB+∠BCG＝60°，
∴∠EHC＝∠ECH＝∠CEH＝60°，
∴△ECH是等边三角形．

（2）解：如图2中，如图2中，连接BE．

∵△ECH是等边三角形，
∴CE＝CH，∠ECH＝∠BCD＝60°，
∴∠ECB＝∠HCD，
∵CB＝CD，
∴△CBE≌△CDH，
∴DH＝BE，∠CHD＝∠BEC＝120°，
∴∠AEB＝60°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝30°，
∴BE＝2AE，
∴DH＝2AE．

（3）解：如图3中，延长DE交BA的延长线于B′，连接MB′．

∵∠AEB＝∠AEB′＝∠HEC＝60°，EA＝EA，∠EAB＝∠EAB′，
∴△EAB≌△EAB′，
∴MB＝MB′，
∴MB+MD＝MB′+MD≥B′D，
∴BM+MD的最小值为DB′，
∴△MBD的周长最小值＝BD+DB′＝BD+DH+EH+EB＝BD+2DH+EC＝BD+4AE+EH＝c+4b+a﹣b＝a+3b+c．
【点评】本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用对称解决最短问题，属于中考压轴题．