人教版高中数学高考一轮复习训练--　圆的方程

考点规范练42　圆的方程

一、基础巩固

1.以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0,2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为(　　)

A.(x-1)2+(y-1)2=5 B.(x+1)2+(y+1)2=5

C.(x-1)2+y2=5 D.x2+(y-1)2=5

2.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为,则实数a的值为(　　)

A.2 B.0或2 C. D.-2

3.已知圆心在y轴上,且过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是(　　)

A.x2+y2+10y=0 B.x2+y2-10y=0

C.x2+y2+10x=0 D.x2+y2-10x=0

4.圆(x+2)2+(y-12)2=4关于直线x-y+8=0对称的圆的方程为(　　)

A.(x+3)2+(y+2)2=4 B.(x+4)2+(y-6)2=4

C.(x-4)2+(y-6)2=4 D.(x+6)2+(y+4)2=4

5.圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是(　　)

A.1+ B.2 C.1+ D.2+2

6.(多选)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法正确的是(　　)

A.圆M的圆心为(4,-3)

B.圆M被x轴截得的弦长为8

C.圆M的半径为25

D.圆M被y轴截得的弦长为6

7.已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是　　　　,半径是　　　　.

8.若圆C经过坐标原点与点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是　　　　　　　　　　.

9.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是　　　　　　　　　　　　　　　. 

10.已知A为圆x2+(y-2)2=1上一动点,定点B的坐标为(6,1).若W为x轴上一动点,则|AW|+|BW|的最小值等于　　　　　. 

11.已知圆M过点P(10,4),且与直线4x+3y-20=0相切于点A(2,4).

(1)求圆M的标准方程;

(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且|BC|=|OA|,求直线l的方程.

12.已知点P(x,y)在圆C:x2+y2-6x-6y+14=0上,

(1)求的最大值和最小值;

(2)求x+y的最大值和最小值.

二、综合应用

13.若直线y=kx与圆x2+y2-4x+1=0的两个交点关于直线x+y+b=0对称,则(　　)

A.k=-1,b=2 B.k=1,b=2

C.k=1,b=-2 D.k=-1,b=-2

14.若圆x2+y2-4x+2y+a=0与x轴、y轴均有公共点,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,1] B.(-∞,0]

C.[0,+∞) D.[5,+∞)

15.已知圆C过点(4,6),(-2,-2),(5,5),点M,N在圆C上,则△CMN的面积的最大值为(　　)

A.100 B.25 C.50 D.

16.已知圆C截y轴所得的弦长为2,圆心C到直线l:x-2y=0的距离为,且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1,则圆C的方程为　　　　　　　　. 

17.已知动点P(x,y)满足x2+y2-2|x|-2|y|=0,O为坐标原点,则的最大值为　　　　　. 

18.已知圆x2+y2+4x-12y+1=0关于直线ax-by+6=0(a>0,b>0)对称,求的最小值.

19.在平面直角坐标系Oxy中,已知圆P在x轴上截得的线段长为2,在y轴上截得的线段长为2.

(1)求圆心P的轨迹方程;

(2)若点P到直线y=x的距离为,求圆P的方程.

三、探究创新

20.在平面直角坐标系Oxy中,圆C过点(0,-1),(3+,0),(3-,0).

(1)求圆C的方程.

(2)是否存在实数a,使得圆C与直线x+y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.

考点规范练42　圆的方程

1.A　由题意得,点(a,1)到两条直线的距离相等,且为圆的半径r,

,

解得a=1.

∴r=,

∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5.

2.B　圆的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=5,

则圆心(1,2)到直线x-y+a=0的距离为,

解得a=0或a=2.

3.B　根据题意,设半径为r,圆心坐标为(0,r),则圆的方程为x2+(y-r)2=r2,将点(3,1)代入,得32+(1-r)2=r2,解得r=5,故圆的方程为x2+(y-5)2=25,即x2+y2-10y=0.

4.C　由圆(x+2)2+(y-12)2=4可得圆心坐标为(-2,12),半径为2,则所求圆的圆心与点(-2,12)关于直线x-y+8=0对称,且半径为2.设所求圆的圆心坐标为(a,b),

则

解得

故所求圆的方程为(x-4)2+(y-6)2=4.故选C.

5.A　将圆的方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离d=,故圆上的点到直线x-y=2的距离的最大值为d+1=+1.故选A.

6.ABD　圆M的方程可化为(x-4)2+(y+3)2=25,圆心坐标为(4,-3),半径为5.

显然选项C不正确.ABD均正确.

7.(-2,-4)　5　由已知得a2=a+2,解得a=2或a=-1.

当a=2时,方程不满足表示圆的条件,故舍去.

当a=-1时,原方程为x2+y2+4x+8y-5=0,可化为(x+2)2+(y+4)2=25,表示以(-2,-4)为圆心,5为半径的圆.

8.(x-2)2+　因为圆C经过点(0,0)和(4,0),

所以设圆心坐标为(2,m).

又因为圆C与直线y=1相切,

所以=|1-m|,

解得m=-

所以圆C的方程为(x-2)2+

9.(x-2)2+(y+1)2=1　设圆上任一点坐标为(x0,y0),则有=4.设连线的中点坐标为(x,y),则代入=4中,得(x-2)2+(y+1)2=1.

10.3-1　如图,

作点B(6,1)关于x轴的对称点B'(6,-1),连接圆心与点B',与圆的交点为A,则|AB'|即为|AW|+|BW|的最小值,|AB'|=-1=3-1.

11.解 (1)过点A(2,4)且与直线4x+3y-20=0垂直的直线方程为3x-4y+10=0,又AP的垂直平分线的方程为x=6,则圆心M的坐标为(6,7),所以半径r=|AM|==5,所以圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25.

(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.

设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,

则圆心M到直线l的距离d=

因为|BC|=|OA|==2,而r2=d2+,

所以25=+5,解得m=5或m=-15.

故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.

12.解 方程x2+y2-6x-6y+14=0可化为(x-3)2+(y-3)2=4,则圆C的半径为2.

(1)

表示圆上的点P与原点O连线的斜率,显然当PO与圆C相切时,斜率最大或最小,如图所示.

设切线方程为y=kx,即kx-y=0,由圆心C(3,3)到切线的距离等于圆C的半径,可得=2,解得k=

所以的最大值为,最小值为

(2)

设x+y=b,则b表示动直线y=-x+b在y轴上的截距,显然当动直线y=-x+b与圆C相切时,b取得最大值或最小值,如图所示.

由圆心C(3,3)到切线x+y=b的距离等于圆C的半径,可得=2,即|b-6|=2,解得b=6±2所以x+y的最大值为6+2,最小值为6-2

13.C　圆x2+y2-4x+1=0的标准方程为(x-2)2+y2=3.

因为直线y=kx与圆(x-2)2+y2=3的两个交点关于直线x+y+b=0对称,所以直线y=kx与直线x+y+b=0垂直,直线x+y+b=0经过圆的圆心(2,0),所以k=1,b=-2.

14.A　圆的方程可化为(x-2)2+(y+1)2=5-a,

可得圆心坐标为(2,-1),半径为r=

因为圆与x轴、y轴都有公共点,所以

解得a≤1.

故选A.

15.D　设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点(4,6),(-2,-2),(5,5)的坐标分别代入可得,解得故圆C的方程为x2+y2-2x-4y-20=0,即(x-1)2+(y-2)2=25,故△CMN的面积S=|CM|·|CN|·sin∠MCN5×5=故选D.

16.(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2　设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则点C到x轴、y轴的距离分别为|b|,|a|.

由题意可知解得

故所求圆C的方程为(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2.

17.2表示曲线上的任意一点(x,y)到原点的距离.

方程x2+y2-2|x|-2|y|=0可化为(|x|-1)2+(|y|-1)2=2,可知动点P的轨迹是半径为的4段圆弧围成的图形.

当x>0,y>0时,圆心坐标为(1,1),圆心到原点的距离为,则圆弧上的点到原点的最大距离为2

同理,在其他情况下最大距离也为2,故的最大值为2

18.解 圆x2+y2+4x-12y+1=0的标准方程为(x+2)2+(y-6)2=39,

∵圆x2+y2+4x-12y+1=0关于直线ax-by+6=0(a>0,b>0)对称,

∴该直线经过圆心(-2,6),

即-2a-6b+6=0,

∴a+3b=3.又a>0,b>0,

(a+3b)

=1++910+2=,

当且仅当,即a=b=时取等号.

故的最小值为

19.解 (1)设点P(x,y),圆P的半径为r,则y2+2=r2,x2+3=r2.∴y2+2=x2+3,即y2-x2=1.

∴圆心P的轨迹方程为y2-x2=1.

(2)设点P的坐标为(x0,y0),

则,即|x0-y0|=1.

∴y0-x0=±1,即y0=x0±1.

①当y0=x0+1时,由=1,得(x0+1)2-=1.

∴x0=0,y0=1,∴r2=3.

∴圆P的方程为x2+(y-1)2=3.

②当y0=x0-1时,由=1,得(x0-1)2-=1.

∴x0=0,y0=-1,∴r2=3.

∴圆P的方程为x2+(y+1)2=3.

综上所述,圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.

20.解 (1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,把点(0,-1),(3+,0),(3-,0)的坐标分别代入,

得

解得

故圆C的方程为x2+y2-6x+8y+7=0.

(2)由得2x2+(2a-14)x+a2-8a+7=0.

∵圆C与直线x+y+a=0交于A,B两点,

∴Δ=(2a-14)2-8(a2-8a+7)>0,解得-5<a<7.

设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=7-a,x1x2=,y1y2=(-x1-a)(-x2-a)=x1x2+a(x1+x2)+a2.

∵OA⊥OB,

∴x1x2+y1y2=2x1x2+a(x1+x2)+a2=0,

∴2+(7-a)a+a2=0,整理,得a2-a+7=0,Δ'=1-28<0,该方程无解,

∴不存在实数a,使得圆C与直线x+y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB.