2023年中考数学二轮专题复习《二次函数压轴题-构建相似三角形问题》（2份打包，教师版+原卷版）

2023年中考数学二轮专题复习

《二次函数压轴题-构建相似三角形问题》

1.如图，已知直线y=﹣x＋3的图象分别交x轴于A点，交y轴于B点，抛物线y=﹣x2＋bx＋c经过点A、B两点，并与x轴交于另一点D，顶点为C．

(1)求C、D两点的坐标；

(2)求tan∠BAC；

(3)在y轴上是否存在一点P，使得以P、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣2，0)，点B(4，0)，与y轴交于点C(0，8)，连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B(不含O点和B点)，且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．

(1)求抛物线的表达式；

(2)连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；

(3)作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．

3.如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，﹣2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）H是C关于x轴的对称点，P是抛物线上的一点，当△PBH与△AOC相似时，求符合条件的P点的坐标（求出两点即可）；

（3）过点C作CD∥AB，CD交抛物线于点D，点M是线段CD上的一动点，作直线MN与线段AC交于点N，与x轴交于点E，且∠BME=∠BDC，当CN的值最大时，求点E的坐标．

4.抛物线y=ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)．

(1)求该抛物线所对应的函数解析式；

(2)该抛物线与直线y=x＋3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.

①连接PC、PD，如图①，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．

②连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图②， 是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

5.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，﹣3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．

(3)直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．

6.如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y=x﹣2交于B，C两点．

(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；

(2)求证：△ABC是直角三角形；

(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

7.如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c(a≠0)交x轴于A、B两点，A点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，4)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点M是线段AC(不包括A、C两点)上一点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P，求线段PM的长的最大值，并写出此时点M的坐标；

(3)过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，设点Q是CE上方的抛物线上一点，连接CQ，过点Q作QF∥y轴，交CG于点F，若以Q、C、F为顶点的三角形和△BOC相似，求点Q的坐标．

8.如图,直线y=﹣x﹣2与x轴,y轴分别交于点A,点B,两动点D,E分别从点A,点B同时出发向点O运动(运动到点O停止)，运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒,设运动时间为t秒,以点A为顶点的抛物线经过点E,过点E作x轴的平行线,与抛物线的另一个交点为点G,与AB相交于点F．

(1)求点A,点B的坐标；

(2)用含t的代数式分别表示EF和AF的长；

(3)当四边形ADEF为菱形时,试判断△AFG与△AGB是否相似,并说明理由．

(4)是否存在t的值,使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在,请说明理由．

9.如图，已知二次函数y=ax2﹣bx﹣c(a≠0)的图象经过点A(1，0)，B(2，0)，C(0，﹣2)，

直线x=m(m＞2)与x轴交于点D.

(1)求二次函数的解析式；

(2)在直线x=m(m＞2)上有一点E(点E在第四象限)，使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标(用含m的代数式表示)；

(3)在(2)成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出F点的坐标；若不存在，请说明理由.

10.如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1，0)，B(2，0)，与y轴相交于点C.

(1)求二次函数的解析式；

(2)若点E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC的面积最大时，求点E的坐标，并求出四边形ABEC的最大面积；

(3)若点M在抛物线上，且在y轴的右侧.⊙M与y轴相切，切点为D.以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出点M的坐标.

11.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+1经过点A(4，﹣3)，顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点(0，2)且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．

(1)求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；

(2)①当P点运动到A点处时，计算：PO=   ，PH=   ，由此发现，PO   PH(填“＞”、“＜”或“=”)；

②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；

(3)如图2，设点C(1，﹣2)，问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

12.如图，抛物线y=0.5x2+mx+n与直线y=﹣0.5x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．                           

（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；             

（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：                           

（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．                           

（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？