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第17讲 计数原理与概率统计-高考数学二轮复习讲义+分层训练（上海高考专用）
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这是一份第17讲 计数原理与概率统计-高考数学二轮复习讲义+分层训练（上海高考专用），文件包含第17讲计数原理与概率统计解析版docx、第17讲计数原理与概率统计原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共63页， 欢迎下载使用。
第17讲 计数原理与概率统计
【考点梳理】
一、 两个基本计数原理
1.分类加法计数原理
做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法.则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法，……，做第n个步骤有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.
3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
二、 排列与组合
1.排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.
(2)C＝＝
＝(n，m∈N+，且m≤n).特别地C＝1
性质
(1)0！＝1；A＝n！.
(2)C＝C；C＝C＋C
三、 二项式定理
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N+)；
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2.二项式系数的性质
性质
性质描述
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性
二项式系数C
当k＜(n∈N+)时，是递增的
当k＞(n∈N+)时，是递减的
二项式
系数最
大值
当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与取得最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
四、离散型随机变量及其分布列
1.样本点和样本空间
随机试验的每一个可能的结果称为样本点，记作ω；随机试验的所有样本点组成的集合称为样本空间，记作Ω.
2.概率与频率
(1)概率定义：在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).
(2)概率与频率的关系：概率可以通过概率来“测量”，频率是频率的一个近似.
3.事件的关系与运算
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A
(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
A＝B
并事件
(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅
P(A∪B)＝1
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).
5.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
6.古典概型
具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.
(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.
(2)每一个试验结果出现的可能性相同.
3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.
7.古典概型的概率公式
P(A)＝.
五、条件概率与事件的独立性、正态分布
1.离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列及性质
(1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率为p1，p2，…，pn，则表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X的分布列.
(2)离散型随机变量分布列的性质：
①pi≥0(i＝1，2，3，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1；
③P(xi≤x≤xj)＝pi＋pi＋1＋…＋pj.
3.常见离散型随机变量的分布列
(1)二点分布：如果随机变量X的分布列为
X
1
0
P
p
q
其中0
4.条件概率及其性质
条件概率的定义
条件概率公式
对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号“P(B|A)”表示
P(B|A)＝，其中P(A)>0，A∩B称为事件A与B的交(或积)
5.事件的独立性
(1)相互独立的定义：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝P(B).这时，称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.
(2)概率公式
条件
公式
A，B相互独立
P(A∩B)＝P(A)×P(B)
A1，A2，…，An相互独立
P(A1∩A2∩…∩An) ＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)
6.全概率公式
(1)完备事件组：
设Ω是试验E的样本空间，事件A1，A2，…，An是样本空间的一个划分，满足：
①A1∪A2∪…∪An＝Ω.
②A1，A2，…，An两两互不相容，则称事件A1，A2，…，An组成样本空间Ω的一个完备事件组.
(2)全概率公式
设S为随机试验的样本空间，A1，A2，…，An是两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，Ai＝S，则对任一事件B，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)称满足上述条件的A1，A2，…，An为完备事件组.
7.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
①定义：在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验.
②概率公式：在一次试验中事件A发生的概率为p，则n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n).
(2)二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为q＝1－p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中k＝0，1，2，…，n.于是X的分布列：
X
0
1
…
k
…
n
P
Cp0qn
Cpqn－1
…
Cpkqn－k
…
Cpnq0
此时称离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p).
8.正态分布
(1)正态曲线：正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线，其函数表达式为f(x)＝e－，x∈R(其中μ，σ为参数，且σ>0，－∞<μ<＋∞).
(2)正态曲线的性质
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交，与x轴之间的面积为1；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.
(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ
1.获取数据的基本途径
获取数据的基本途径包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等.
(1)统计报表是指各级企事业、行政单位按规定的表格形式、内容、时间要求报送程序，自上而下统一布置，提供统计资料的一种统计调查方式.
(2)年鉴是以全面、系统、准确地记述上年度事物运动、发展状况为主要内容的资料性工具书.汇辑一年内的重要时事、文献和统计资料，按年度连续出版的工具书.
2.总体、样本、样本容量
要考察的对象的全体叫做总体，每一个考察对象叫做个体，从总体中被抽取的考察对象的集体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量.
3.简单随机抽样
(1)定义：从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样.
(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.
(3)应用范围：总体中的个体数较少.
4.分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.
(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.
5.频率分布直方图
(1)频率分布表的画法：
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.
(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)
横轴表示样本数据，纵轴表示，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率.
6.频率分布折线图和总体密度曲线
(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.
(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.
7.样本的数字特征
数字特征
定义
众数
在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数
中位数
将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数
平均数
样本数据的算术平均数，即＝
方差
s2＝[(x1－)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，其中s为标准差
8.百分位数
如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数.可表示为：一组n个观测值按数值大小排列.如，处于p%位置的值称第p百分位数.
七、统计案例
1.变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.
(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关.
2.回归分析
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.其基本步骤是：(ⅰ)画散点图；(ⅱ)求回归直线方程；(ⅲ)用回归直线方程作预报.
(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.
(2)回归直线方程的求法——最小二乘法.
设具有线性相关关系的两个变量x，y的一组观察值为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，则回归直线方程＝x＋的系数为：
称为样本点的中心.
（3）相关系数
①计算相关系数r，r有以下性质：|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱；②|r|>r0.05，表明有95%的把握认为变量x与y之间具有线性相关关系，回归直线方程有意义；否则寻找回归直线方程毫无意义.
3.独立性检验
（1）2×2列联表
B
总计
A
n11
n12
n1＋
A
n21
n22
n2＋
总计
n＋1
n＋2
n
其中n1＋＝n11＋n12，n2＋＝n21＋n22，n＋1＝n11＋n21，n＋2＝n12＋n22，n＝n11＋n21＋n12＋n22.
(2)χ2统计量
χ2＝.
(3)两个临界值：3.841与6.635
当χ2>3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；
当χ2>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；
当χ2≤3.841时，认为事件A与B是无关的.
【解题方法和技巧】
一、两个基本计数原理
1.应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.
在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.
2.(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.
(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.
3.混合问题一般是先分类再分步.
4.要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.
二、排列组合
1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.
2.排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题倍除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.
三、二项式定理
1.二项式定理及通项的应用
(1)对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用.有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理.
(2)运用二项式定理一定要牢记通项Tk＋1＝Can－kbk，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题.
(3)在通项Tk＋1＝Can－kbk(n∈N+)中，要注意有n∈N+，k∈N，k≤n，即k＝0，1，2，…，n.
2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
四、随基变量及其分布列
1.随机试验、样本空间与随机事件的关系
每一个随机试验相应地有一个样本空间，样本空间的子集就是随机事件.
2.对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).
3.对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一个发生.
4.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算.
(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反).
5.古典概型计算三步曲
第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个.
6.确定基本事件个数的方法
列举法、列表法、树状图法或利用排列、组合.
7.对于随机变量X的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率.
8.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率.
9.古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)＝＝，其中，在实际应用中P(B|A)＝是一种重要的求条件概率的方法.
10.全概率公式的理论和实用意义在于：
在较复杂情况下直接计算P(B)不易，但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算.
11.二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位.
(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.(2)对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Cpkqn－k.其中k＝0，1，…，n，q＝1－p.
五、抽样与统计图表，统计案例
1.统计报表有三个显著优点：来源可靠、回收率高、方式灵活.
2.年鉴集辞典、手册、年表、图录、书目、索引、文摘、表谱、统计资料、指南、便览于一身，具有资料权威、反应及时、连续出版、功能齐全的特点.
3.两种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这两种抽样方法的客观性和公平性.若样本容量为n，总体容量为N，每个个体被抽到的概率是.
4.分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样.
5.用样本估计总体是统计的基本思想.
用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用.
6.(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量，与每个样本数据有关，这是中位数、众数所不具有的性质.
(2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度就越大.
7.频率分布表和频率分布直方图都可直观描述样本数据的分布规律.
8.求回归方程，关键在于正确求出系数a^，b^ ，由于a^ ，b^ 的计算量大，计算时应仔细谨慎，分步进行，避免因计算而产生错误.
9.回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法.主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程.
【考点剖析】
【考点1】概率及其性质（共1小题）
1．（2022•宝山区校级模拟）设A，B为随机事件，P为事件出现的概率．下列阴影部分中能够表示的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点2】古典概型及其概率计算公式（共8小题）
2．（2022•黄浦区二模）一个袋子中装有大小与质地均相同的m个红球和n个白球（4≤m＜n），现从中任取两球，若取出的两球颜色相同的概率等于取出两球颜色不同的概率，则满足m+n≤30的所有有序数对（m，n）为 ．
3．（2022•青浦区二模）受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是 .（结果用最简分数表示）
4．（2022•杨浦区二模）已知集合，从集合A中任取一个元素a，使函数y＝xa是奇函数且在（0，+∞）上递增的概率为 ．
5．（2022•虹口区二模）在所有由1，2，3，4，5这五个数字组成的无重复数字的五位数中，任取一个数，则取出的数是奇数的概率为 ．
6．（2022•闵行区二模）核酸检测是疫情防控的一项重要举措．某相邻两个居民小区均计划在下月的1日至7日这七天时间内，随机选择其中的连续三天做核酸检测，则这两个居民小区至少有一天同时做核酸检测的概率为 ．
7．（2022•静安区二模）上海进博会是世界上第一个以进口为主题的国家级展览会，每年举办一次．现有6名志愿者去两个进博会场馆工作，每个场馆都需要3人，则甲乙两人被分配到同一个场馆的概率是 ．
8．（2022•徐汇区二模）上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是 .（结果用最简分数表示）
9．（2022•浦东新区校级二模）通过手机验证码登录哈罗单车App，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码（a1，a2，a3，a4）满足a1＜a2＜a3＜a4，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为 ．
【考点3】列举法计算基本事件数及事件发生的概率（共1小题）
10．（2022•杨浦区模拟）三阶矩阵中有9个不同的数aij（i＝1，2，3；j＝1，2，3），从中任取三个，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 （结果用分数表示）
【考点4】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式（共4小题）
11．（2022•浦东新区二模）甲乙两射手独立地射击同一目标，他们的命中率分别为0.8和0.9，则在一次射击中，目标被击中的概率为 ．
12．（2022•长宁区二模）已知随机事件A、B互相独立，且P（A）＝0.7，P（B）＝0.4，则＝ ．
13．（2022•宝山区二模）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，则p＝ ．
14．（2022•浦东新区校级二模）一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为 ．
【考点5】离散型随机变量的期望与方差（共1小题）
15．（2022•闵行区校级模拟）在检测中为减少检测次数，我们常采取“n合1检测法”，即将n个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均未感染病毒；若为阳性，则还需对本组的每个人再做检测．现有20k（k∈N*）人，已知其中有2人感染病毒．
（1）若k＝5，并采取“20合1检测法”，求共检测25次的概率；
（2）设采取“10合1检测法”的总检测次数为X，采取“20合1检测法”的总检测次数为Y，若仅考虑总检测次数的期望值，当k为多少时，采取“20合1检测法”更适宜？请说明理由．
【考点6】分层抽样方法（共3小题）
16．（2022•静安区二模）2022年2月4日至2月20日春节期间，第24届冬奥会在北京市和张家口市联合举行．共有3个冬奥村供运动员和代表队官员入住，其中北京冬奥村的容量约为2250人，延庆冬奥村的容量约1440人，张家口冬奥村的容量约2610人．为了解各冬奥村服务质量，现共准备了140份调查问卷，采用分层抽样的方法，则需在延庆冬奥村投放的问卷数量是（ ）
A．58份 B．50份 C．32份 D．19份
17．（2022•黄浦区二模）某高中为了了解学生收看空中课堂的具体情况，利用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中随机抽取了150名进行问卷调查，其中从高一年级的学生中抽取了40名，从高二年级的学生中抽取了50名，若高三年级共有学生420名，则该高中共有学生 名．
18．（2022•闵行区二模）某学校志愿者协会有高一年级120人，高二年级100人，高三年级20人，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，若从高二年级100人中抽取的人数为10，则n＝ ．
【考点7】系统抽样方法（共1小题）
19．（2022•奉贤区模拟）某班有42位同学，学号依次为01、02、…、42，现采用系统抽样方法抽取了一个容量为6的样本，且随机抽得的第一个学号为03，则抽得的最大的学号是 ．
【考点8】频率分布直方图（共2小题）
20．（2022•金山区二模）某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内高三年级在校学生中抽取100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如图频率直方图．根据此频率直方图，下列结论中不正确的是（ ）
A．所抽取的学生中有25人在2小时至2.5小时之间完成作业
B．该地高三年级学生完成作业的时间超过3小时的概率估计为35%
C．估计该地高三年级学生的平均做作业的时间超过2.7小时
D．估计该地高三年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间
21．（2022•浦东新区校级二模）电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5小时的观众称为“足球迷”，并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5小时的观众称为“铁杆足球迷”．
（1）试估算该市“足球迷”的人数，并指出其中“铁杆足球迷”约为多少人；
（2）该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10万名观众．根据调查，如果票价定为100元/张，则非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看．如果票价提高10x元/张（x∈N），则“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少10x%，“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少%．问票价至少定为多少元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过10万人？
【考点9】众数、中位数、平均数（共2小题）
22．（2022•松江区二模）在2022北京冬奥会单板滑雪U型场地技巧比赛中，6名评委给A选手打出了6个各不相同的原始分，经过“去掉其中一个最高分和一个最低分”处理后，得到4个有效分．则经处理后的4个有效分与6个原始分相比，一定会变小的数字特征是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
23．（2022•崇明区二模）已知一组数据4，2a，3﹣a，5，6的平均数为4，则实数a的值等于 ．
【考点10】极差、方差与标准差（共5小题）
24．（2022•浦东新区二模）甲乙两工厂生产某种产品，抽取连续5个月的产品生产产量（单位：件）情况如下：甲：80、70、100、50、90；乙：60、70、80、55、95，则下列说法中正确的是（ ）
A．甲平均产量高，甲产量稳定
B．甲平均产量高，乙产量稳定
C．乙平均产量高，甲产量稳定
D．乙平均产量高，乙产量稳定
25．（2022•徐汇区二模）某高校举行科普知识竞赛，所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（ ）
A．60 B．70 C．80 D．100
26．（2022•浦东新区校级模拟）从总体中抽取6个样本：4，5，6，10，7，4，则总体方差的点估计值为 ．
27．（2022•杨浦区模拟）在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于 ．
28．（2022•青浦区校级模拟）已知一组数x1，x2，…，xn的方差是4，则2x1﹣1，2x2﹣1，…，2xn﹣1的标准差是 ．
【考点11】分类加法计数原理（共1小题）
29．（2022•崇明区二模）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：
（1）每位学生每天最多选择1项；
（2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：
时间
周一
周二
周三
周四
周五
课后服务
音乐、阅读、
体育、编程
口语、阅读、
编程、美术
手工、阅读、
科技、体育
口语、阅读、
体育、编程
音乐、口语、
美术、科技
若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有 种．（用数值表示）
【考点12】排列、组合及简单计数问题（共5小题）
30．（2022•奉贤区模拟）某校高二年级共有6个班级，现有4名交流生要安排到该年级的2个班级，且每班安排2名，则不同的安排方案种数为 ．
31．（2022•长宁区二模）将编号为1，2，3，4的4个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，若放在同一盒子里的2个小球编号不相邻，则共有 种不同的放法．
32．（2022•黄浦区校级模拟）2021年7月，上海浦东美术馆正式对外开放，今年计划招募15名志愿者担任“采访者”和“讲述者”两项工作（每人只能承担一项工作），对“采访者”和“讲述者”的要求如下：
志愿者类型
所需人数
备注
采访者
10
男女比例为1：1
讲述者
5
男、女比例不限
现有10名女生，10名男生报名，则符合要求的方案有 个．
33．（2022•宝山区校级模拟）受新冠肺炎疫情影响，上海市启动了新一轮防控．以下为上海某高校某天计划餐食及其单价．每个套餐提供3种类型食物，其中至少有一种荤食和一种素食（每个套餐中的食品种类不重复），且总价不能高于10元，则可行的搭配方案种类数量为 ．
种类
荤食①
荤食②
素食①
素食②
素食③
单价（元）
4.00
5.00
1.00
2.50
3.00
34．（2022•浦东新区校级模拟）甲乙丙丁四位同学分别去甘肃、内蒙古、北京三个地方调研新冠疫情发展情况，每个地方至少一个人去，且甲乙两人不能去同一个地方，则不同分法的种数有 种
【考点13】二项式定理（共6小题）
35．（2022•普陀区二模）在（2x+y）5的展开式中，含x3y2项的系数为 ．
36．（2022•奉贤区二模）在（x+）n的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为 ．
37．（2022•虹口区二模）若an为（1+x）n的二项展开式中x2项的系数，则＝ ．
38．（2022•徐汇区三模）已知多项式，则a3＝ ．
39．（2022•宝山区校级模拟）已知二项式（x3﹣2）6，在其展开式中二项式系数最大的一项的系数为 ．
40．（2022•浦东新区校级模拟）二项式（﹣）15的常数项为 （用具体数值表示）．
【真题模拟题专练】
一．选择题（共1小题）
1．（2022•杨浦区二模）上海入夏的标准为：立夏之后，连续五天日平均气温不低于22℃．立夏之后，测得连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定上海入夏的是（ ）
A．总体均值为25℃，中位数为23℃
B．总体均值为25℃，总体方差大于0℃2
C．总体中位数为23℃，众数为25℃
D．总体均值为25℃，总体方差为1℃2
二．填空题（共26小题）
2．（2022•上海）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 ．
3．（2022•普陀区二模）从集合{a，b，c}的非空子集中随机任取两个不同的集合M和N，则使得M∩N＝∅的不同取法的概率为 （结果用最简分数表示）．
4．（2022•松江区二模）从1，2，3，4，5这五个数字中任意选取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为 ．
5．（2022•徐汇区三模）某校航模队甲组有10名队员，其中4名女队员，乙组也有10名队员，其中6名女队员．现采用分层抽样（层内采用不放回随机抽样）从甲、乙两组中共抽取4名队员进行技术考核，则从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的概率为 ．
6．（2022•上海模拟）在北京冬奥会火炬传递的某次活动中，有编号为1、2、3、4、5的5名火炬手．若从中随机选择2人，则选出的火炬手编号相邻的概率为 ．
7．（2022•黄浦区模拟）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ．
8．（2022•长宁区二模）已知四个数1，2，4，a的平均数为4，则这四个数的中位数是 ．
9．（2022•宝山区二模）若一组数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的方差σ2＝ ．
10．（2022•浦东新区校级模拟）已知数据1，3，5，7，x（0＜x＜9）的平均数与中位数相等，则这组数据的方差为 ．
11．（2022•黄浦区模拟）已知m∈N*，用非负整数n1、n2表示m，m＝n1+，若Am为其表示方法的数组（n1，n2）的个数，则Am＝ ．
12．（2022•上海）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为 .（用数字作答）
13．（2022•青浦区校级模拟）如图，由6×6＝36个边长为1个单位的小正方形组成一个大正方形．某机器人从C点出发，沿若小正方形的边走到D点，每次可以向右走一个单位或者向上走一个单位．如果要求机器人不能接触到线段AB，那么不同的走法共有 种．
14．（2022•徐汇区校级模拟）对于定义域为D的函数f（x），若对任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）为“不严格单调增函数”，若函数f（x）的定义域D＝{1，2，3，4，5}，值域为A＝{6，7，8}，则函数f（x）为“不严格单调增函数”的概率是 ．
15．（2022•闵行区校级二模）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为 ．（用数字作答）
16．（2022•宝山区模拟）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 种．
17．（2022•浦东新区校级二模）定义域为集合{1，2，3，…，12}上的函数f（x）满足：①f（1）＝1；②|f（x+1）﹣f（x）|＝1（x＝1，2，…，11）；③f（1）、f（6）、f（12）成等比数列；这样的不同函数f（x）的个数为 ．
18．（2022•浦东新区校级模拟）新型冠状病毒疫情期间，5位党员需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有 种不同安排方法．（用数字作答）
19．（2022•上海）二项式（3+x）n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，则n＝ ．
20．（2022•上海）在（x3+）12的展开式中，则含项的系数为 ．
21．（2022•金山区二模）（1﹣2x）4的二项展开式中x2项的系数为 ．（结果用数字作答）
22．（2022•浦东新区二模）的二项展开式中的常数项为 ．
23．（2022•黄浦区校级模拟）已知二项式，则其展开式中x3的系数为 ．
24．（2022•黄浦区模拟）已知a＞0，若展开式中x5的系数为，则常数a的值为 ．
25．（2022•浦东新区校级二模）求值：＝
26．（2022•浦东新区校级二模）若将函数f（x）＝x6表示成f（x）＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…+a6（x﹣1）6，则a3的值等于
27．（2022•宝山区模拟）在（1﹣x3）（1+x）10展开式中，x5的系数是 ．
第17讲 计数原理与概率统计
【考点梳理】
一、 两个基本计数原理
1.分类加法计数原理
做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法.则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法，……，做第n个步骤有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.
3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
二、 排列与组合
1.排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.
(2)C＝＝
＝(n，m∈N+，且m≤n).特别地C＝1
性质
(1)0！＝1；A＝n！.
(2)C＝C；C＝C＋C
三、 二项式定理
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N+)；
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2.二项式系数的性质
性质
性质描述
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性
二项式系数C
当k＜(n∈N+)时，是递增的
当k＞(n∈N+)时，是递减的
二项式
系数最
大值
当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与取得最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
四、离散型随机变量及其分布列
1.样本点和样本空间
随机试验的每一个可能的结果称为样本点，记作ω；随机试验的所有样本点组成的集合称为样本空间，记作Ω.
2.概率与频率
(1)概率定义：在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).
(2)概率与频率的关系：概率可以通过概率来“测量”，频率是频率的一个近似.
3.事件的关系与运算
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A
(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
A＝B
并事件
(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅
P(A∪B)＝1
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).
5.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
6.古典概型
具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.
(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.
(2)每一个试验结果出现的可能性相同.
3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.
7.古典概型的概率公式
P(A)＝.
五、条件概率与事件的独立性、正态分布
1.离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列及性质
(1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率为p1，p2，…，pn，则表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X的分布列.
(2)离散型随机变量分布列的性质：
①pi≥0(i＝1，2，3，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1；
③P(xi≤x≤xj)＝pi＋pi＋1＋…＋pj.
3.常见离散型随机变量的分布列
(1)二点分布：如果随机变量X的分布列为
X
1
0
P
p
q
其中0
4.条件概率及其性质
条件概率的定义
条件概率公式
对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号“P(B|A)”表示
P(B|A)＝，其中P(A)>0，A∩B称为事件A与B的交(或积)
5.事件的独立性
(1)相互独立的定义：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝P(B).这时，称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.
(2)概率公式
条件
公式
A，B相互独立
P(A∩B)＝P(A)×P(B)
A1，A2，…，An相互独立
P(A1∩A2∩…∩An) ＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)
6.全概率公式
(1)完备事件组：
设Ω是试验E的样本空间，事件A1，A2，…，An是样本空间的一个划分，满足：
①A1∪A2∪…∪An＝Ω.
②A1，A2，…，An两两互不相容，则称事件A1，A2，…，An组成样本空间Ω的一个完备事件组.
(2)全概率公式
设S为随机试验的样本空间，A1，A2，…，An是两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，Ai＝S，则对任一事件B，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)称满足上述条件的A1，A2，…，An为完备事件组.
7.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
①定义：在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验.
②概率公式：在一次试验中事件A发生的概率为p，则n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n).
(2)二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为q＝1－p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中k＝0，1，2，…，n.于是X的分布列：
X
0
1
…
k
…
n
P
Cp0qn
Cpqn－1
…
Cpkqn－k
…
Cpnq0
此时称离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p).
8.正态分布
(1)正态曲线：正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线，其函数表达式为f(x)＝e－，x∈R(其中μ，σ为参数，且σ>0，－∞<μ<＋∞).
(2)正态曲线的性质
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交，与x轴之间的面积为1；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.
(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ
1.获取数据的基本途径
获取数据的基本途径包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等.
(1)统计报表是指各级企事业、行政单位按规定的表格形式、内容、时间要求报送程序，自上而下统一布置，提供统计资料的一种统计调查方式.
(2)年鉴是以全面、系统、准确地记述上年度事物运动、发展状况为主要内容的资料性工具书.汇辑一年内的重要时事、文献和统计资料，按年度连续出版的工具书.
2.总体、样本、样本容量
要考察的对象的全体叫做总体，每一个考察对象叫做个体，从总体中被抽取的考察对象的集体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量.
3.简单随机抽样
(1)定义：从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样.
(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.
(3)应用范围：总体中的个体数较少.
4.分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.
(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.
5.频率分布直方图
(1)频率分布表的画法：
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.
(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)
横轴表示样本数据，纵轴表示，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率.
6.频率分布折线图和总体密度曲线
(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.
(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.
7.样本的数字特征
数字特征
定义
众数
在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数
中位数
将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数
平均数
样本数据的算术平均数，即＝
方差
s2＝[(x1－)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，其中s为标准差
8.百分位数
如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数.可表示为：一组n个观测值按数值大小排列.如，处于p%位置的值称第p百分位数.
七、统计案例
1.变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.
(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关.
2.回归分析
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.其基本步骤是：(ⅰ)画散点图；(ⅱ)求回归直线方程；(ⅲ)用回归直线方程作预报.
(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.
(2)回归直线方程的求法——最小二乘法.
设具有线性相关关系的两个变量x，y的一组观察值为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，则回归直线方程＝x＋的系数为：
称为样本点的中心.
（3）相关系数
①计算相关系数r，r有以下性质：|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱；②|r|>r0.05，表明有95%的把握认为变量x与y之间具有线性相关关系，回归直线方程有意义；否则寻找回归直线方程毫无意义.
3.独立性检验
（1）2×2列联表
B
总计
A
n11
n12
n1＋
A
n21
n22
n2＋
总计
n＋1
n＋2
n
其中n1＋＝n11＋n12，n2＋＝n21＋n22，n＋1＝n11＋n21，n＋2＝n12＋n22，n＝n11＋n21＋n12＋n22.
(2)χ2统计量
χ2＝.
(3)两个临界值：3.841与6.635
当χ2>3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；
当χ2>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；
当χ2≤3.841时，认为事件A与B是无关的.
【解题方法和技巧】
一、两个基本计数原理
1.应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.
在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.
2.(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.
(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.
3.混合问题一般是先分类再分步.
4.要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.
二、排列组合
1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.
2.排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题倍除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.
三、二项式定理
1.二项式定理及通项的应用
(1)对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用.有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理.
(2)运用二项式定理一定要牢记通项Tk＋1＝Can－kbk，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题.
(3)在通项Tk＋1＝Can－kbk(n∈N+)中，要注意有n∈N+，k∈N，k≤n，即k＝0，1，2，…，n.
2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
四、随基变量及其分布列
1.随机试验、样本空间与随机事件的关系
每一个随机试验相应地有一个样本空间，样本空间的子集就是随机事件.
2.对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).
3.对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一个发生.
4.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算.
(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反).
5.古典概型计算三步曲
第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个.
6.确定基本事件个数的方法
列举法、列表法、树状图法或利用排列、组合.
7.对于随机变量X的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率.
8.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率.
9.古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)＝＝，其中，在实际应用中P(B|A)＝是一种重要的求条件概率的方法.
10.全概率公式的理论和实用意义在于：
在较复杂情况下直接计算P(B)不易，但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算.
11.二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位.
(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.(2)对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Cpkqn－k.其中k＝0，1，…，n，q＝1－p.
五、抽样与统计图表，统计案例
1.统计报表有三个显著优点：来源可靠、回收率高、方式灵活.
2.年鉴集辞典、手册、年表、图录、书目、索引、文摘、表谱、统计资料、指南、便览于一身，具有资料权威、反应及时、连续出版、功能齐全的特点.
3.两种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这两种抽样方法的客观性和公平性.若样本容量为n，总体容量为N，每个个体被抽到的概率是.
4.分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样.
5.用样本估计总体是统计的基本思想.
用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用.
6.(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量，与每个样本数据有关，这是中位数、众数所不具有的性质.
(2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度就越大.
7.频率分布表和频率分布直方图都可直观描述样本数据的分布规律.
8.求回归方程，关键在于正确求出系数a^，b^ ，由于a^ ，b^ 的计算量大，计算时应仔细谨慎，分步进行，避免因计算而产生错误.
9.回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法.主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程.
【考点剖析】
【考点1】概率及其性质（共1小题）
1．（2022•宝山区校级模拟）设A，B为随机事件，P为事件出现的概率．下列阴影部分中能够表示的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点2】古典概型及其概率计算公式（共8小题）
2．（2022•黄浦区二模）一个袋子中装有大小与质地均相同的m个红球和n个白球（4≤m＜n），现从中任取两球，若取出的两球颜色相同的概率等于取出两球颜色不同的概率，则满足m+n≤30的所有有序数对（m，n）为 ．
3．（2022•青浦区二模）受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是 .（结果用最简分数表示）
4．（2022•杨浦区二模）已知集合，从集合A中任取一个元素a，使函数y＝xa是奇函数且在（0，+∞）上递增的概率为 ．
5．（2022•虹口区二模）在所有由1，2，3，4，5这五个数字组成的无重复数字的五位数中，任取一个数，则取出的数是奇数的概率为 ．
6．（2022•闵行区二模）核酸检测是疫情防控的一项重要举措．某相邻两个居民小区均计划在下月的1日至7日这七天时间内，随机选择其中的连续三天做核酸检测，则这两个居民小区至少有一天同时做核酸检测的概率为 ．
7．（2022•静安区二模）上海进博会是世界上第一个以进口为主题的国家级展览会，每年举办一次．现有6名志愿者去两个进博会场馆工作，每个场馆都需要3人，则甲乙两人被分配到同一个场馆的概率是 ．
8．（2022•徐汇区二模）上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是 .（结果用最简分数表示）
9．（2022•浦东新区校级二模）通过手机验证码登录哈罗单车App，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码（a1，a2，a3，a4）满足a1＜a2＜a3＜a4，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为 ．
【考点3】列举法计算基本事件数及事件发生的概率（共1小题）
10．（2022•杨浦区模拟）三阶矩阵中有9个不同的数aij（i＝1，2，3；j＝1，2，3），从中任取三个，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 （结果用分数表示）
【考点4】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式（共4小题）
11．（2022•浦东新区二模）甲乙两射手独立地射击同一目标，他们的命中率分别为0.8和0.9，则在一次射击中，目标被击中的概率为 ．
12．（2022•长宁区二模）已知随机事件A、B互相独立，且P（A）＝0.7，P（B）＝0.4，则＝ ．
13．（2022•宝山区二模）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，则p＝ ．
14．（2022•浦东新区校级二模）一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为 ．
【考点5】离散型随机变量的期望与方差（共1小题）
15．（2022•闵行区校级模拟）在检测中为减少检测次数，我们常采取“n合1检测法”，即将n个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均未感染病毒；若为阳性，则还需对本组的每个人再做检测．现有20k（k∈N*）人，已知其中有2人感染病毒．
（1）若k＝5，并采取“20合1检测法”，求共检测25次的概率；
（2）设采取“10合1检测法”的总检测次数为X，采取“20合1检测法”的总检测次数为Y，若仅考虑总检测次数的期望值，当k为多少时，采取“20合1检测法”更适宜？请说明理由．
【考点6】分层抽样方法（共3小题）
16．（2022•静安区二模）2022年2月4日至2月20日春节期间，第24届冬奥会在北京市和张家口市联合举行．共有3个冬奥村供运动员和代表队官员入住，其中北京冬奥村的容量约为2250人，延庆冬奥村的容量约1440人，张家口冬奥村的容量约2610人．为了解各冬奥村服务质量，现共准备了140份调查问卷，采用分层抽样的方法，则需在延庆冬奥村投放的问卷数量是（ ）
A．58份 B．50份 C．32份 D．19份
17．（2022•黄浦区二模）某高中为了了解学生收看空中课堂的具体情况，利用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中随机抽取了150名进行问卷调查，其中从高一年级的学生中抽取了40名，从高二年级的学生中抽取了50名，若高三年级共有学生420名，则该高中共有学生 名．
18．（2022•闵行区二模）某学校志愿者协会有高一年级120人，高二年级100人，高三年级20人，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，若从高二年级100人中抽取的人数为10，则n＝ ．
【考点7】系统抽样方法（共1小题）
19．（2022•奉贤区模拟）某班有42位同学，学号依次为01、02、…、42，现采用系统抽样方法抽取了一个容量为6的样本，且随机抽得的第一个学号为03，则抽得的最大的学号是 ．
【考点8】频率分布直方图（共2小题）
20．（2022•金山区二模）某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内高三年级在校学生中抽取100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如图频率直方图．根据此频率直方图，下列结论中不正确的是（ ）
A．所抽取的学生中有25人在2小时至2.5小时之间完成作业
B．该地高三年级学生完成作业的时间超过3小时的概率估计为35%
C．估计该地高三年级学生的平均做作业的时间超过2.7小时
D．估计该地高三年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间
21．（2022•浦东新区校级二模）电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5小时的观众称为“足球迷”，并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5小时的观众称为“铁杆足球迷”．
（1）试估算该市“足球迷”的人数，并指出其中“铁杆足球迷”约为多少人；
（2）该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10万名观众．根据调查，如果票价定为100元/张，则非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看．如果票价提高10x元/张（x∈N），则“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少10x%，“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少%．问票价至少定为多少元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过10万人？
【考点9】众数、中位数、平均数（共2小题）
22．（2022•松江区二模）在2022北京冬奥会单板滑雪U型场地技巧比赛中，6名评委给A选手打出了6个各不相同的原始分，经过“去掉其中一个最高分和一个最低分”处理后，得到4个有效分．则经处理后的4个有效分与6个原始分相比，一定会变小的数字特征是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
23．（2022•崇明区二模）已知一组数据4，2a，3﹣a，5，6的平均数为4，则实数a的值等于 ．
【考点10】极差、方差与标准差（共5小题）
24．（2022•浦东新区二模）甲乙两工厂生产某种产品，抽取连续5个月的产品生产产量（单位：件）情况如下：甲：80、70、100、50、90；乙：60、70、80、55、95，则下列说法中正确的是（ ）
A．甲平均产量高，甲产量稳定
B．甲平均产量高，乙产量稳定
C．乙平均产量高，甲产量稳定
D．乙平均产量高，乙产量稳定
25．（2022•徐汇区二模）某高校举行科普知识竞赛，所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（ ）
A．60 B．70 C．80 D．100
26．（2022•浦东新区校级模拟）从总体中抽取6个样本：4，5，6，10，7，4，则总体方差的点估计值为 ．
27．（2022•杨浦区模拟）在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于 ．
28．（2022•青浦区校级模拟）已知一组数x1，x2，…，xn的方差是4，则2x1﹣1，2x2﹣1，…，2xn﹣1的标准差是 ．
【考点11】分类加法计数原理（共1小题）
29．（2022•崇明区二模）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：
（1）每位学生每天最多选择1项；
（2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：
时间
周一
周二
周三
周四
周五
课后服务
音乐、阅读、
体育、编程
口语、阅读、
编程、美术
手工、阅读、
科技、体育
口语、阅读、
体育、编程
音乐、口语、
美术、科技
若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有 种．（用数值表示）
【考点12】排列、组合及简单计数问题（共5小题）
30．（2022•奉贤区模拟）某校高二年级共有6个班级，现有4名交流生要安排到该年级的2个班级，且每班安排2名，则不同的安排方案种数为 ．
31．（2022•长宁区二模）将编号为1，2，3，4的4个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，若放在同一盒子里的2个小球编号不相邻，则共有 种不同的放法．
32．（2022•黄浦区校级模拟）2021年7月，上海浦东美术馆正式对外开放，今年计划招募15名志愿者担任“采访者”和“讲述者”两项工作（每人只能承担一项工作），对“采访者”和“讲述者”的要求如下：
志愿者类型
所需人数
备注
采访者
10
男女比例为1：1
讲述者
5
男、女比例不限
现有10名女生，10名男生报名，则符合要求的方案有 个．
33．（2022•宝山区校级模拟）受新冠肺炎疫情影响，上海市启动了新一轮防控．以下为上海某高校某天计划餐食及其单价．每个套餐提供3种类型食物，其中至少有一种荤食和一种素食（每个套餐中的食品种类不重复），且总价不能高于10元，则可行的搭配方案种类数量为 ．
种类
荤食①
荤食②
素食①
素食②
素食③
单价（元）
4.00
5.00
1.00
2.50
3.00
34．（2022•浦东新区校级模拟）甲乙丙丁四位同学分别去甘肃、内蒙古、北京三个地方调研新冠疫情发展情况，每个地方至少一个人去，且甲乙两人不能去同一个地方，则不同分法的种数有 种
【考点13】二项式定理（共6小题）
35．（2022•普陀区二模）在（2x+y）5的展开式中，含x3y2项的系数为 ．
36．（2022•奉贤区二模）在（x+）n的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为 ．
37．（2022•虹口区二模）若an为（1+x）n的二项展开式中x2项的系数，则＝ ．
38．（2022•徐汇区三模）已知多项式，则a3＝ ．
39．（2022•宝山区校级模拟）已知二项式（x3﹣2）6，在其展开式中二项式系数最大的一项的系数为 ．
40．（2022•浦东新区校级模拟）二项式（﹣）15的常数项为 （用具体数值表示）．
【真题模拟题专练】
一．选择题（共1小题）
1．（2022•杨浦区二模）上海入夏的标准为：立夏之后，连续五天日平均气温不低于22℃．立夏之后，测得连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定上海入夏的是（ ）
A．总体均值为25℃，中位数为23℃
B．总体均值为25℃，总体方差大于0℃2
C．总体中位数为23℃，众数为25℃
D．总体均值为25℃，总体方差为1℃2
二．填空题（共26小题）
2．（2022•上海）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 ．
3．（2022•普陀区二模）从集合{a，b，c}的非空子集中随机任取两个不同的集合M和N，则使得M∩N＝∅的不同取法的概率为 （结果用最简分数表示）．
4．（2022•松江区二模）从1，2，3，4，5这五个数字中任意选取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为 ．
5．（2022•徐汇区三模）某校航模队甲组有10名队员，其中4名女队员，乙组也有10名队员，其中6名女队员．现采用分层抽样（层内采用不放回随机抽样）从甲、乙两组中共抽取4名队员进行技术考核，则从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的概率为 ．
6．（2022•上海模拟）在北京冬奥会火炬传递的某次活动中，有编号为1、2、3、4、5的5名火炬手．若从中随机选择2人，则选出的火炬手编号相邻的概率为 ．
7．（2022•黄浦区模拟）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ．
8．（2022•长宁区二模）已知四个数1，2，4，a的平均数为4，则这四个数的中位数是 ．
9．（2022•宝山区二模）若一组数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的方差σ2＝ ．
10．（2022•浦东新区校级模拟）已知数据1，3，5，7，x（0＜x＜9）的平均数与中位数相等，则这组数据的方差为 ．
11．（2022•黄浦区模拟）已知m∈N*，用非负整数n1、n2表示m，m＝n1+，若Am为其表示方法的数组（n1，n2）的个数，则Am＝ ．
12．（2022•上海）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为 .（用数字作答）
13．（2022•青浦区校级模拟）如图，由6×6＝36个边长为1个单位的小正方形组成一个大正方形．某机器人从C点出发，沿若小正方形的边走到D点，每次可以向右走一个单位或者向上走一个单位．如果要求机器人不能接触到线段AB，那么不同的走法共有 种．
14．（2022•徐汇区校级模拟）对于定义域为D的函数f（x），若对任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）为“不严格单调增函数”，若函数f（x）的定义域D＝{1，2，3，4，5}，值域为A＝{6，7，8}，则函数f（x）为“不严格单调增函数”的概率是 ．
15．（2022•闵行区校级二模）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为 ．（用数字作答）
16．（2022•宝山区模拟）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 种．
17．（2022•浦东新区校级二模）定义域为集合{1，2，3，…，12}上的函数f（x）满足：①f（1）＝1；②|f（x+1）﹣f（x）|＝1（x＝1，2，…，11）；③f（1）、f（6）、f（12）成等比数列；这样的不同函数f（x）的个数为 ．
18．（2022•浦东新区校级模拟）新型冠状病毒疫情期间，5位党员需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有 种不同安排方法．（用数字作答）
19．（2022•上海）二项式（3+x）n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，则n＝ ．
20．（2022•上海）在（x3+）12的展开式中，则含项的系数为 ．
21．（2022•金山区二模）（1﹣2x）4的二项展开式中x2项的系数为 ．（结果用数字作答）
22．（2022•浦东新区二模）的二项展开式中的常数项为 ．
23．（2022•黄浦区校级模拟）已知二项式，则其展开式中x3的系数为 ．
24．（2022•黄浦区模拟）已知a＞0，若展开式中x5的系数为，则常数a的值为 ．
25．（2022•浦东新区校级二模）求值：＝
26．（2022•浦东新区校级二模）若将函数f（x）＝x6表示成f（x）＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…+a6（x﹣1）6，则a3的值等于
27．（2022•宝山区模拟）在（1﹣x3）（1+x）10展开式中，x5的系数是 ．
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