第08讲 等差、等比数列-高考数学二轮复习讲义+分层训练（上海高考专用）

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【考点梳理】
数列的概念及简单表示法
1.数列的定义
按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.
4.数列的通项公式
(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
等差数列及其前n项和
1.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+，d为常数).
(2)如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，且A＝eq \f(x＋y,2).
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）d,2)＝eq \f(n（a1＋an）,2).
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也为等差数列.
三、等比数列及其前n项和
1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.
数学语言表达式：eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项，其中G＝±eq \r(xy).
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq \f(a1（1－qn）, 1－q )＝eq \f(a1－anq,1－q).
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，
ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
【解题方法和技巧】
1.等差数列的判断方法
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；
(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；
(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；
(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.
注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．
2.等比数列的判断方法有：
(1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N＋)，则{an}是等比数列．
(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．
3.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，
则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝；
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
4.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
5.等差数列的前n项和公式
若已知首项a1和末项an，则Sn＝，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝na1＋d.
6.等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn＝＝.
【考点剖析】
【考点1】数列的概念及其表示方法
一、单选题
1．（2020·上海高三专题练习）已知数列的前项和为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题
2．（2020·上海高三专题练习）已知数列满足对任何正整数n均有，设，则数列的前2020项之和为________.
【考点2】等差数列及其前n项和
一、解答题
1．已知数列前项积为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求证：．
2．已知数列的前n项和为，若，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)从下面两个条件中选一个，求数列的前n项的和．
①；
②．
3．已知数列满足，前项的和，且.
(1)写出，并求出数列的通项公式；
(2)在①；②这两个条件中任选一个补充在下面横线中，并加以解答.若数列满足___________，求实数使得数列是等差数列.
（注：如果求解了两个问题，则按照第一个问题解答给分）
4．记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最大值．
5．（2020·上海高三专题练习）数列满足，，求的值和.
【考点3】等比数列及其前n项和
一、单选题
1．（2020·上海高三专题练习）设数列，下列判断一定正确的是（ ）
A．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列
B．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列
C．若对任意正整数m，n，都有成立，则为等比数列
D．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列
2．已知数列为等比数列，其前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、解答题
3．已知正项数列的前n项和为，，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
4．已知数列的前项和为 ，，，，且满足：，其中且.
(1)求.
(2)求数列的前项和.
5．设为数列的前项和，已知，.若数列满足，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和.
【真题模拟题专练】
一、单选题
1．（2022·上海黄浦·二模）记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③有两个不相等的实根的是（ ）．
A．方程①有实根，且②有实根
B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根
D．方程①无实根，且②无实根
2．（2017·上海·高考真题）已知、、为实常数，数列的通项，，则“存在，
使得、、成等差数列”的一个必要条件是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·上海·模拟预测）已知数列，以下两个命题：①若都是递增数列，则都是递增数列；②若都是等差数列，则都是等差数列，下列判断正确的是（ ）
A．①②都是真命题B．①②都是假命题
C．①是真命题， ②是假命题D．①是假命题， ②是真命题
4．（2022·上海交大附中模拟预测）设等差数列，首项．设实系数一元二次方程的两根为．若存在唯一的，使得，则公差的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·上海崇明·二模）已知无穷等比数列中，，它的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．数列是递减数列
C．数列存在最小项D．数列存在最大项
6．（2022·上海徐汇·二模）设数列，若存在常数，对任意小的正数，总存在正整数，当时，，则数列为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（ ）
A．若等比数列是收敛数列，则公比
B．等差数列不可能是收敛数列
C．设公差不为0的等差数列的前项和为，则数列一定是收敛数列
D．设数列的前项和为，满足，，则数列是收敛数列
7．（2022·上海青浦·二模）设各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数，使、、成等比数列，则公差的所有可能取值的个数为（ ）
A．B．C．D．无穷多
8．（2021·上海市大同中学三模）已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题
9．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知公差为的等差数列，其中，则____________．
10．（2013·上海·高考真题（理））设非零常数d是等差数列的公差，随机变量等可能地取值，则方差__________
11．（2022·上海·模拟预测）等差数列中，，则数列的公差为______
12．（2022·上海虹口·二模）已知等比数列的前项和为，公比，且为与的等差中项，.若数列满足，其前项和为，则_________.
13．（2022·上海静安·二模）数列满足，，若对于大于2的正整数，，则__________.
14．（2022·上海闵行·二模）已知无穷等比数列的各项均为正整数，且，则满足条件的不同数列的个数为___________；
15．（2022·上海徐汇·三模）已知一簇双曲线：，设双曲线的左､右焦点分别为､，是双曲线右支上一动点，的内切圆与轴切于点，则___________.
16．（2022·上海市七宝中学模拟预测）定义在上的函数满足，，已知，则数列的前项和______.
17．（2022·上海浦东新·二模）若各项均为正数的有穷数列满足，（，，），2022，则满足不等式的正整数的最大值为________．
三、解答题
18．（2022·上海·位育中学模拟预测）设是两个数列，为直角坐标平面上的点.对三点共线.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足:，其中是第三项为8， 公比为 4的等比数列. 求证: 点列在同一条直线上;
(3)记数列的前项和分别为和，对任意自然数，是否总存在与相关的自然数，使得? 若存在，求出与的关系，若不存在，请说明理由.
19．（2022·上海·高考真题）已知数列，，的前项和为.
(1)若为等比数列，，求；
(2)若为等差数列，公差为，对任意，均满足，求的取值范围.
20．（2022·上海黄浦·模拟预测）有以下真命题：已知等差数列，公差为d，设是数列中的任意m个项，若①，则有②.
(1)当时，试写出与上述命题中的①，②两式相对应的等式；
(2)若为等差数列，，且，求的通项公式.
(3)试将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中，写出相应的真命题，并加以证明.
21．（2022·上海长宁·二模）甲、乙两人同时分别入职两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．
(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）
(2)设甲、乙两人入职第年的月基础工资分别为、元，记，讨论数列的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．
22．（2022·上海闵行·二模）已知是公差为的等差数列，前项和为的平均值为4，的平均值为12.
(1)求证：；
(2)是否存在实数，使得对任意恒成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由.
23．（2022·上海青浦·二模）治理垃圾是改善环境的重要举措．地在未进行垃圾分类前每年需要焚烧垃圾量为200万吨，当地政府从2020年开始推进垃圾分类工作，通过对分类垃圾进行环保处理等一系列措施，预计从2020年开始的连续5年，每年需要焚烧垃圾量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年需要焚烧垃圾量为上一年的（记2020年为第年）.
(1)写出地每年需要焚烧垃圾量与治理年数的表达式；
(2)设为从2020年开始n年内需要焚烧垃圾量的年平均值，证明数列为递减数列．
24．（2022·上海静安·二模）若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质A”.
①()；②存在实数，使得对任意，有成立.
(1)设，试判断是否具有“性质A”；
(2)设递增的等比数列的前n项和为，若，证明：数列具有“性质A”，并求出A的取值范围；
(3)设数列的通项公式，若数列具有“性质A”，其满足条件的A的最大值，求的值.
25．（2022·上海崇明·二模）已知集合 （Z是整数集，是大于3的正整数）．若含有项的数列满足：任意的，都有，且当时有，当时有或，则称该数列为数列．
(1)写出所有满足且的数列；
(2)若数列为数列，证明：不可能是等差数列；
(3)已知含有100项的数列满足是公差为等差数列，求所有可能的值
26．（2022·上海金山·二模）对于集合且，定义且.集合A中的元素个数记为，当时，称集合A具有性质.
(1)判断集合是否具有性质，并说明理由；
(2)设集合，且具有性质，若中的所有元素能构成等差数列，求的值；
(3)若集合A具有性质，且中的所有元素能构成等差数列，问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
27．（2013·上海·高考真题（理））给定常数，定义函数，数列满足.
（1）若，求及；
（2）求证：对任意，；
（3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由.
28．（2022·上海虹口·二模）对于项数为的数列，若满足：，且对任意，与中至少有一个是中的项，则称具有性质.
(1)分别判断数列1，3，9和数列2，4，8是否具有性质，并说明理由；
(2)如果数列，，，具有性质，求证：，；
(3)如果数列具有性质，且项数为大于等于5的奇数.判断是否为等比数列？并说明理由.
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项
间的大
小关系
递增数列
an＋1＞an
其中n∈N+
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列